Höchstgeschwindigkeit einer Rakete mit einem Potential relativistischer Geschwindigkeiten

Nehmen wir die Rakete zum Start mit einer Anfangsmasse von$M_{0}$und Masse mit einer Rate auszuwerfen$\frac{dm}{dt}$, also nach einiger Zeit$t$, es hat eine Gesamtmasse ausgestoßen$m$. Weiterhin sei die Ausstoßgeschwindigkeit gegeben durch$v_{e}$der Einfachheit halber. Dann haben wir unter Verwendung der Formel für den relativistischen Impuls, dass der von der Rakete gewonnene Impuls dem Impuls des ausgestoßenen Raketentreibstoffs entspricht (wir nehmen auch an, dass die Rakete aus dem Stand startet):

$$\begin{align*} \frac{dm}{dt}v_{e} &=\frac{d}{dt}\left(\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\right)\\ m\,v_{e} &=\frac{(M_{0}-m)v}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}}}\\ \frac{m^{2}v_{e}^{2}}{(M_{0}-m)^{2}}&= \frac{v^{2}}{1-\left(\frac{v}{c}\right)^{2}} \end{align*}$$

Nach etwas Algebra erhalten Sie das Endergebnis,

$$v=\frac{v_{e}}{\sqrt{\left(\frac{M_{0}-m}{m}\right)^2+\left(\frac{v_{e}}{c}\right)^{2}}}$$

Die Endgeschwindigkeit der Rakete wird dann als Funktion der Masse angegeben$M_{0}-m$der Rakete selbst, die Masse$m$des ausgestoßenen Kraftstoffs und der Geschwindigkeit$v_{e}$an dem der Kraftstoff ausgestoßen wurde. Daher ist die richtige Antwort definitiv alles andere als die Länge der Rakete.

Nehmen Sie die anfängliche Raketenmasse zu sein$M$und die kumulierte Menge an ausgestoßenem Treibmittel sein$m$, die austauschbar als dynamische Variable und für die endgültige Antwort verwendet wird. Einheitenweise werde ich ausschließlich verwenden$\beta=v/c$zur Darstellung von Geschwindigkeiten aller Art. Ich vermeide absichtlich die Verwendung von Zeit in meinen Gleichungen. Das Wesentliche des Problems ist, dass die Geschwindigkeit von der Menge des bis zu diesem Zeitpunkt ausgestoßenen Treibmittels (und den Problemparametern) abhängt, also werde ich eine Lösung dafür finden$\beta(m)$, also die Geschwindigkeit des Fahrzeugs als Funktion der bis dahin ausgestoßenen Masse. Ich werde das Problem im "Ruhe"-Referenzrahmen betrachten, der formaler durch die Trägheitsreferenz definiert ist, für die dies gilt$v(0)=0$. Ich werde die Abkürzung von verwenden$\gamma$Funktion,$\gamma(\beta) = (1-\beta^2)^{-1/2}$.

Die erste wirkliche Physik, die ich hier machen werde, besteht darin, eine bestimmte Reaktion zu zerlegen. Ich definiere den spezifischen Zeitpunkt, von dem ich spreche, als den Punkt, an dem die sich bewegende Rakete eine Masse von hat$M-m+dm$. Es wird dann ausgeworfen$dm$Bei Geschwindigkeit$\beta_e$relativ zu sich selbst in der der Bewegung entgegengesetzten Richtung. Dieser Ausstoß erhöht den Impuls der Rakete um$dp$wenn sich der Impuls der ausgestoßenen Masse ändert$p_{dm}$Zu$p_{dm}'$bei Geschwindigkeiten von$\beta$Und$\beta_{dm}'$. Um letzteres zu erhalten, muss eine relativistische Geschwindigkeitsaddition durchgeführt werden.

$$\beta_{dm}' = \frac{\beta-\beta_{e}}{1-\beta \beta_e}$$

Nun wird die Reaktionsimpulsbilanz geschrieben.

$$dp = p_{dm} - p_{dm}' = dm \gamma(\beta) \beta - dm \gamma(\beta_{dm}') \beta_{dm}'$$ $$\frac{dp}{dm} = \gamma(\beta) \beta - \gamma(\beta_{dm}') \beta_{dm}' = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e}\right)^2}}$$

Nun hoffe ich, dass an diesem Punkt offensichtlich ist, was ich tue. Ich versuche, eine Differentialgleichung zu formulieren, wo$m$ist die unabhängige Variable und wir lösen nach auf$\beta(m)$. Aber wir brauchen immer noch die linke Seite dieser Gleichung. Um dies zu finden, müssen wir weiter über die Gleichgewichte der angegebenen Wechselwirkung nachdenken und die Impulsänderung des nicht ausgestoßenen Teils der Rakete finden.$dp$, danach können Näherungen gemacht werden. Der Impuls des nicht ausgestoßenen Teils der Rakete ist$p$vor dem Auswurf u$p'$nach dem Auswurf.

$$dp = p' - p = (M-m) (\beta' \gamma(\beta') - \beta \gamma(\beta))$$ $$\beta'-\beta = d\beta << \beta_e$$ $$dp = (M-m) ((\beta+d\beta) \gamma(\beta+d\beta) - \beta \gamma(\beta))$$

Serienerweiterung 2. Ordnung ca$d\beta=0$.

$$dp = (M-m) d\beta \gamma(\beta)^3$$

Alternativ kann dies durch Differenzieren gefunden werden. Der Grund, warum einfaches Differenzieren so schwierig ist, liegt darin, dass Sie identifizieren müssen, wovon Sie die Ableitung nehmen. Um mit der Physik der Situation vereinbar zu sein, musste ich ein Special einführen$m''$Variable, die eine invariante Form von ist$m$, obwohl sie den gleichen Wert haben. Grundsätzlich,$m''$ist vom Verlust nicht betroffen$dm$Aber$m$Ist. Ab hier muss ich anfangen zu schreiben$\beta$bezüglich$\beta(m)$auch, was das Ziel ist. Verzeihen Sie die plötzliche Änderung der Notation. Hier ist der Kalkül-Ansatz zu$dp$.

$$\beta = \beta(m)$$ $$\frac{dp}{dm} = \frac{d}{dm} \left( (M-m'') \beta(m) \gamma(\beta(m)) \right) = (M-m'') \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3$$

Beide Ansätze liefern den erforderlichen Ausdruck für den nächsten Schritt, der darin besteht, einfach die Differentialgleichung zu schreiben, die die Lösung des Problems darstellt. Verzeihen Sie den Wechsel zurück zum Unterdrücken der$m$wieder Abhängigkeit (damit es auf die Leitung passt), nur wissen, dass es wirklich so ist$\beta(m)$und das$\beta_e$ist konstant.

$$(M-m) \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3 = \frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}} - \frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e} \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{\beta-\beta_e}{1-\beta \beta_e}\right)^2}}$$ $$\beta(0)=0$$

Und wir sind fertig. Dies ist Ihre Antwort. Mit$M$Und$\beta_e$angegeben finden Sie$\beta(m)$das ist die Geschwindigkeit der Rakete als Funktion der ausgestoßenen Masse, aber denken Sie daran$m<M$. Ich gebe ein Beispieldiagramm. Dies zeigt die Funktion von$\beta$, was wiederum der Bruchteil der Lichtgeschwindigkeit ist, mit der die Rakete geht.

$\beta_e=0.1$Und$M=1$

Es gibt natürlich einige Annäherungen, die Sie erhalten können. Eine Taylorerweiterung 2. Ordnung der RHS der obigen diff-Gleichung führt zu der folgenden Lösung.

$$\beta = tanh \left( \beta_e ln(\frac{M}{M-m}) \right)$$

Und wenn Sie noch weiter vereinfachen ($tanh(x)=x$) erhalten Sie die klassische Version.

$$\beta = \beta_e ln(\frac{M}{M-m})$$

Die erste davon scheint eine ziemlich gute Annäherung zu sein, aber nur für$\beta_e<<1$. Offensichtlich$\beta_e$Und$m$sind für die Antwort relevant, es sei denn, Sie haben andere Annahmen getroffen als ich. Ich halte es jedoch für sehr wahrscheinlich, dass derjenige, der die Frage argumentiert hat, nur 1 Antwort von a, b, c hat, kein kohärentes Argument dafür hat.

Edit: hatte$\sqrt{2}$Faktor falsch, weil ich eine Gleichung falsch eingegeben habe. Es wurde jetzt behoben, in Übereinstimmung mit Wikipedia für die erste Annäherung.

Wenn$\beta=1$

In diesem Fall wird sogar die allererste Gleichung geschrieben$\beta_{dm}'$ist ungültig, und wir müssen zur Berechnung an das Reißbrett zurückkehren$dp$. Ich muss dies unter Berücksichtigung der Emission eines einzelnen Photons angehen, also wird meine Notation so sein$dp$Und$dm$beziehen sich auf die Änderung von Impuls und Masse der Rakete nach Ansicht des stationären Beobachters aufgrund der Emission eines einzelnen Photons. Die Frequenz des Lichts wird entsprechend dem Raumfahrzeug sein$\lambda_e$und im stationären Rahmen,$\lambda_o$.

$$dp = \frac{h}{\lambda_o}$$

$$p c = \frac{h c}{\lambda_o} = E = c^2 dm \rightarrow dm = \frac{h}{c \lambda_o}$$

$$\frac{dp}{dm} = c$$

Es stellt sich heraus, dass wir nichts mit der Rotverschiebung tun müssen oder sogar die Lichtfrequenz kennen müssen! Damit hatte ich eigentlich gerechnet, also ist es ok. Mein vorheriger$dp$war übrigens die falsche Einheit. Ich hätte schreiben sollen$p=c \beta \gamma(\beta)$, aber wenn Sie mit der Antwort in Bezug auf finden$\beta$, warum dann die Mühe? Also werde ich es einfach so verfälschen$dp/dm=1$. Jetzt können wir den vorherigen Ausdruck für diese Menge nehmen und ihn gleich 1 setzen, um das DE für zu finden$\beta(m)$.

$$\frac{dp}{dm} = (M-m) \frac{d\beta}{dm} \gamma(\beta)^3 = 1$$

$$\beta(0) = 0$$

Die Lösung:

$$\beta = ln{ \frac{M}{M-m} } \sqrt{ \frac{1}{ 1+ ln{ \frac{M}{M-m} }^2 } }$$

Ich werde dies mit allen anderen besprochenen planen.

M = 1,0, beta_e = 0,5

• Zassou - Meine Antwort in Form der vollständigen Diff-Gleichung. Numerisch konnte ich nur bis zu auswerten$m=0.8$
• Wikipedia - die tanh( ln( .. ))-Lösung, die auch im Wikipedia-Artikel dafür steht, ist gültig für$\beta_e<<1$, und zeigt deshalb eine gewisse Abweichung vom tatsächlichen hier, und wann$\beta_e$sich 1 nähert, können Sie eine viel stärkere Krümmung der Kurve sehen
• Jerry - Formel, die er in seiner Antwort gab
• Newton - offensichtlich der klassische Fall, fliegt natürlich zu Super-Leuchtgeschwindigkeiten davon
• Photon - Gleichung, die ich gerade gegeben habe - beachten Sie, dass dies seitdem NICHT dasselbe Problem löst$\beta_e$ist anders, was durch die Anfangssteigung belegt wird

Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe.

Erstens braucht man eine RIESIGE Brennstoffressource, um irgendetwas zu erreichen, das auch nur annähernd mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar ist, was für eine Rakete in praktischer Größe praktisch fast unmöglich ist.

Wir können die Geschwindigkeit der Rakete berechnen, indem wir annehmen, dass das Gas mit konstanter Rate und konstanter Geschwindigkeit ausgestoßen wird.

Wenn wir bedenken, dass die Auswurfrate konstant = ist$\alpha$bei konstanter Geschwindigkeit haben wir dann$(m_0 - \alpha \times t) \times \frac {dv}{dt} - \alpha{v_0} = - (m_0 - \alpha{t})g$Lösen wir es, finden wir,

$v = -gt + v_0ln(\frac{m_0}{m_0 - \alpha t})$

Für einen allgemeinen Fall, in dem die Ausstoßrate nicht konstant ist, müssen wir die genaue Abhängigkeit der Gasmasse von der Zeit kennen und die Gleichung lösen,

$m\frac{dv}{dt} + v_0 \frac{dm}{dt} = F$

Zweitens benötigt die Rakete, wie in SR üblich, wenn sie sich der Lichtgeschwindigkeit bezüglich eines stationären Trägheitsbeobachters nähert, immer mehr Energie, um weiter zu beschleunigen. Es erfordert eine unendliche Menge an Energie, um die exakte Lichtgeschwindigkeit zu erreichen, die die Grenzgeschwindigkeit für jedes physikalische Objekt ist.

$E = \frac {E_0}{\sqrt {1- v^2/c^2}}$

$E_0$ist die Ruhemassenenergie der Rakete und$E$ist die benötigte Energie, um die Geschwindigkeit zu erreichen$v$,$c$ist die Lichtgeschwindigkeit. Es ist klar, dass als$v$Ansätze$c$,$E$Ansätze$\infty$

Letztendlich ist es also das Naturgesetz, das die von der Rakete (oder einem anderen physischen Objekt) erreichbare Höchstgeschwindigkeit begrenzt.

Beide Antworten 1 und 2 sind die richtigen Antworten. Es scheint, dass Ihr Lehrer einige mentale Sprünge gemacht hat (und erwartet hat, dass Sie mitkommen), um es auf Antwort # 1 einzugrenzen.

Unter Berücksichtigung gravitativer und relativistischer Überlegungen (und für praktische Raketen im Weltraum ist dies vernünftig) und unter der Annahme eines idealen Raketentriebwerks kann die endgültige Raketengeschwindigkeit ausgedrückt werden als:

Pv = Ev x ln((Pm+Em)/Pm)

Wo:

Pv = Geschwindigkeit der leeren Rakete (Nutzlast).

Pm = Masse der leeren Rakete (Nutzlast).

Ev = Abgasgeschwindigkeit von Raketentriebwerksgasen.

Em = Gesamtmasse des ausgestoßenen Treibmittels (Brennstoff + Oxidationsmittel).

„ln(x)“ bedeutet „den natürlichen Logarithmus von x nehmen“.

Ich glaube, ich habe in der Antwort von sb1 etwas gesehen, das sich dieser Form annähert.

Aus der Gleichung können Sie ersehen, dass die endgültige Nutzlastgeschwindigkeit linear proportional zur Abgasgeschwindigkeit und sehr nicht-linear proportional zu Em/Pm ist.

Der erste mentale Sprung, den Ihr Lehrer wollte, war, dass Sie erkennen, dass es praktische Einschränkungen für Ev gibt. Wenn Sie die Geschwindigkeit einer modernen Rakete, die an die Grenzen der neuesten Wissenschaft geht, um 45 % erhöhen möchten, können Sie nicht einfach losgehen und eine Kombination aus Treibstoff und Rakete schnappen, die Ev um 45 % erhöht. Das haben wir nicht.

Der zweite mentale Sprung, den Ihr Lehrer wollte, war, dass Sie erkennen, dass er "Treibstoffmenge" als Prozentsatz der gesamten Raketenmasse meinte. Wenn Sie diesen Prozentsatz erhöhen, haben Sie mehr Hebelwirkung, um die endgültige Nutzlastgeschwindigkeit zu erhöhen.

Da es für einen relativistischen Fall keine richtige Antwort gibt, habe ich mich entschieden, eine meiner Meinung nach richtige Antwort einzureichen.

Wir gehen von der Raketenbewegungsbeziehung aus, die sowohl für relativistische als auch für nicht-relativistische Fälle korrekt ist:

$$\frac{d}{dt}M\overrightarrow v=\overrightarrow u\frac{dM}{dt};\overrightarrow u= \overrightarrow {u'}+\overrightarrow v$$

Wo$M$ist die Gesamtmasse einer Rakete (einschließlich Treibstoff),$\overrightarrow v$ist der Geschwindigkeitsvektor der Rakete und$\overrightarrow u$ist der Geschwindigkeitsvektor des Gasstrahls.$\overrightarrow {u'}$ist der Geschwindigkeitsvektor der ausgestoßenen Masse in Bezug auf die Rakete.

$\overrightarrow v$Und$\overrightarrow u$werden relativ zum Trägheitskoordinatensystem genommen, das sich mit der Bewegung befasst (und nicht relativ in Bezug auf den Flugkörper).

Im relativistischen Fall gilt:

$$M=\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ Wo $M'$ist eine variable Ruhemasse der Rakete im beweglichen Koordinatensystem, das an der Rakete angebracht ist. Nach dem Ersetzen und Überspringen der Mathematik wird die reativistische Bewegungsgleichung als angezeigt

$$\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{d\overrightarrow v}{dt}=(\overrightarrow u- \overrightarrow v)\frac{d}{dt}\left (\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right )$$

Nehmen wir an, dass die Beschleunigung in positiver Richtung erfolgt$x$-Achse. Dann wird die letzte Gleichung:

$$\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\frac{dv}{dt}=(u_x-v)\frac{d}{dt}\left (\frac{M'}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right )$$ Nach dem reativistischen Gesetz der Geschwindigkeitsaddition gilt:

$$u'_x=\frac{u_x-v}{1-\frac{vu_x}{c^2}}$$ Wo $u'_x$die Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse in Bezug auf den Flugkörper ist.

Nach dem Ersetzen und Überspringen der Mathematik haben wir:

$$\frac{dM'}{M'}=-\frac{1}{u'}\frac{dv}{1-\frac{v^2}{c^2}}$$ Hier nahmen wir $u'_x=-u'$

Nach der Integration haben wir endlich:

$$\frac{M'}{M'_0}=\left(\frac{c-v}{c+v}\right)^{\frac{c}{2u'}}$$ Wo $M'_0$ist die Gesamtmasse der Rakete im Ruhezustand ( $v=0$).

Für einen Photonenraketenfall genügt die Substitution$u'=c$Hier.