Ich habe eine Frage zur Painlevé-Gullstrand (PG)-Metrik mit Faktor 2

Nein, im Allgemeinen sind die Differentiale nicht wirklich "Multiplikationen" als solche (ich kann darauf eingehen, wenn Sie möchten). Wenn Sie also expandieren, müssen Sie schreiben

Sie können das Linienelement mit diesem allgemeinen Ansatz schreiben:

$ds^2=\begin{bmatrix} dT & dr \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} g_{00} & g_{01} \\ g_{01} & g_{11} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} dT \\ dr \\ \end{bmatrix} \qquad (1)$

Die Metrik$g_{\mu\nu}$muss symmetrisch sein!

aus Gleichung (1) erhalten wir:

$ds^2=g_{00} \,dT^2+2\,dT\,dr\,g_{01}+g_{11}\,dr^2$

Vergleichen Sie nun die Koeffizienten mit Ihrem Linienelement:

$g_{00}=\frac{r_s}{r}-1$

$2\,g_{01}=2\sqrt{\frac{r_s}{r}}$

$g_{01}=\sqrt{\frac{r_s}{r}}$

$g_{11}=1$

Nein, die metrischen Komponenten außerhalb der Diagonale sind es$g_{rT}=g_{Tr}=\sqrt{\frac{r_s}{r}}$ohne Faktor 2.