Vorzeichenwechsel der Schwarzschild-Koordinate in 0≤r≤2GM0≤r≤2GM0\leq r \leq 2GM

In Schwarzschild-Koordinaten ist der Vorzeichenwechsel der$g_{00}$Und$g_{11}$Komponenten der Metrik bedeutet, dass in gewisser Weise$t$wird eine "räumliche" Koordinate und$r$eine „zeitliche“: die „Zukunft“ weist in Richtung abnehmend$r$statt zu erhöhen$t$, können Sie das sehen, wenn Sie sich die Lichtkegel in Schwarzschild-Koordinaten ansehen , siehe zum Beispiel diese Abbildung

Schwarzschild-Lichtkegel in Schwarzschild-Koordinaten (aus MTW , Seite 848)

Darüber hinaus innerhalb der Oberfläche$r = r_\text{S} = 2M$Sie können nicht positiv sein$\mathrm{d}s^2$ohne Nicht-Null$\mathrm{d}r^2$Aufgrund des Vorzeichenwechsels müssen Sie sich also in einem Schwarzschild-Schwarzen Loch bewegen. Dies ist wiederum anhand der obigen Lichtkegel zu sehen: Die Wortleitung kann nicht konstant bleiben$r$.

Die Tatsache, dass nach dem Überqueren des Ereignishorizonts Lichtkegel in Richtung des$r = 0$Singularität gilt auch unter Verwendung anderer Koordinaten, wie z. B. Kruskal-Szekeres-Koordinaten

Schwarzschild-Metrik in Kruskal-Szekeres-Koordinaten (siehe die vollständige Definition der Koordinaten im Wikipedia-Artikel ):

$$\begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \frac{4r_{\text{S}}^{3}}{r}\mathrm{e}^{-r/r_{\text{S}}}(\mathrm{d}v^{2} - \mathrm{d}u^{2}) - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}$$

Schwarzschild-Lichtkegel in Kruskal-Szekeres-Koordinaten. Der$r = 0$Region ist die mit dem nach innen gezahnten Rand (aus MTW , Seite 848)

und Eddington-Finkelstein-Koordinaten

Schwarzschild-Metrik in Eddington-Finkelstein-Koordinaten (siehe die vollständige Definition der Koordinaten im Wikipedia-Artikel ):

$$\begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \biggl(1 - \frac{r_{\text{S}}}{r}\biggr)\mathrm{d}\tilde{v}^{2} - 2\mathrm{d}\tilde{v}\mathrm{d}r - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}$$

Schwarzschild-Lichtkegel in Eddington-Finkelstein-Koordinaten (aus MTW , Seite 849)

Der Vorzeichenwechsel hat in Schwarzschild-Koordinaten eine physikalische Bedeutung, weil Schwarzschild$t$Und$r$Koordinaten haben physikalische Bedeutungen ($t$ist die ferne Zeit ,$r$der reduzierte Umfang ), wobei mir keine einfache physikalische Bedeutung der Kruskal-Szekeres bekannt ist$u$Und$v$Koordinaten oder des Eddington-Finkelstein$\tilde{v}$Koordinate. Beachten Sie, dass$u$,$v$Und$\tilde{v}$Koordinaten mischen das ursprüngliche Schwarzschild$t$Und$r$Koordinaten. Abhängig von den verwendeten Koordinaten gibt es nicht immer einen Vorzeichenwechsel in den metrischen Komponenten (in Kruskal-Szekeres-Koordinaten gibt es überhaupt keinen Vorzeichenwechsel), also nehmen Sie diesen Wechsel nicht als allgemeine Regel.

Der metrische Kerr-Tensor mit Boyer-Lindquist-Koordinaten (kurz beschrieben in dieser Einführung in die Kerr-Raumzeit von Matt Visser) lautet

$$\begin{equation} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} (\Delta - a^{2}\sin^{2}\theta)\Sigma^{-1} & 0 & 0 & a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta \\ 0 & -\Delta^{-1}\Sigma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\Sigma & 0 \\ a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta & 0 & 0 & -\bigl((r^{2} + a^{2}) + a^{2}\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta\bigr)\sin^{2}\theta \end{pmatrix} \end{equation}$$ mit $$\begin{align} \Delta &= r^{2} - r_{\text{S}}r + a^{2}, \\ \Sigma &= r^{2} + a^{2}\cos^{2}\theta. \end{align}$$ Der$g_{00}$Komponente ändert ihr Vorzeichen auf den Flächen $$r_{\text{E}}^{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}\cos^{2}\theta}$$ Stattdessen,$g_{11}$ändert sein Vorzeichen auf den Flächen $$r_{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}}$$ die das Äußere bestimmen (mit$+$Zeichen) und das innere (mit$-$Vorzeichen) Ereignishorizonte. Sie ändern also ihr Vorzeichen auf zwei verschiedenen Oberflächen. Wie Jerry Schirmer in einem Kommentar darauf hinwies , würde dies auch in der Schwarzschild-Geometrie mit Kerr-ähnlichen nicht-diagonalen Koordinaten auftreten (z. B. tritt es bei Eddington-Finkelstein-Koordinaten auf). Dies bedeutet nicht, dass sich die Signatur der Metrik ändert: Es wird immer einen negativen (positiven) Eigenwert und drei weitere positive (negative) Eigenwerte geben. In einem nichtdiagonalen metrischen Tensor (wie dem Schwarzschild-Tensor in Eddington-Finkelstein-Koordinaten oder dem Kerr-Tensor in Boyer-Lindquist-Koordinaten) sind die diagonalen Komponenten des metrischen Tensors nicht unbedingt die Eigenwerte.