Impulserhaltung + Energieerhaltung + 2. Newtonsches Gesetz = Widerspruch?

Wenn sich ein Körper mit einer Masse von 1 kg mit einer konstanten Geschwindigkeit von 1 m/s bewegt und mit einem ruhenden Körper mit derselben Masse kollidiert (elastischer Stoß), wissen wir aus Impulserhaltung und Energieerhaltung, dass der erste Körper es tun wird stoppen und der andere Körper beginnt sich mit 1 m/s zu bewegen.

Das zweite Newtonsche Gesetz besagt das F = M D v D T , also muss die Geschwindigkeit stetig sein (sonst hat sie keine Ableitung).

Bei unserem Stoß beträgt die Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoß 0 m/s, später 1 m/s. Aus dem Zwischenwertsatz erhalten wir, dass die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt 0,5 m/s beträgt.

Die beiden Körper sind massengleich, daher ergibt sich aus der Impulserhaltung, dass zu diesem Zeitpunkt die Geschwindigkeit des ersten Körpers ebenfalls 0,5 m/s beträgt.

Die Berechnung der gesamten kinetischen Energie wird uns geben ∑ E k = 0,25  J

vor dem Stoß ist die gesamte kinetische Energie ∑ E k = 0,5  J

Das scheint ein Widerspruch zur Energieerhaltung zu sein.

Vermisse ich etwas?

Wir behandeln Kollisionen normalerweise als augenblicklich, um die Dinge zu vereinfachen, aber wie Sie betonen, würde ein realistischeres Modell die Geschwindigkeiten als kontinuierlich behandeln. Für diesen Fall ist es hilfreich, sich die beiden Körper als Gruppen von Atomen vorzustellen, die durch Federn verbunden sind. Während der Zeit, in der die beiden Körper kollidieren, werden sie komprimiert und die imaginären Federn speichern die Energie als potentielle Energie. Wie Sie sich vorstellen können, federn die Federn zurück und geben danach schnell Energie ab. Bei elastischen Stößen wird die Energie zu 100 % wieder in kinetische Energie umgewandelt.
Dies ist eine Antwort. Tatsächlich ist es die Antwort. Es ist also kein Kommentar.

Antworten (4)

Es besteht kein Widerspruch zwischen Impuls- und Energieerhaltung und Newtons 2. Gesetz. Ihre Analyse hat einen kleinen Fehler, der die Schlussfolgerung falsch macht.

Insbesondere bedeutet die Energieerhaltung nicht die Erhaltung der kinetischen Energie. Kinetische Energie ist im Allgemeinen nicht erhalten. Daher reicht es nicht aus, eine Änderung der kinetischen Energie zu finden, um die Nichterhaltung der Energie zu zeigen. Stattdessen müssten Sie eine Änderung der Gesamtenergie anzeigen. Wie andere angedeutet haben, ist in diesem Fall die andere Energie elastische potentielle Energie. Die Gesamtenergie bleibt erhalten.

Nun könnte man sagen, dass kinetische Energie nicht im Allgemeinen erhalten bleibt, aber dass kinetische Energie bei einem elastischen Stoß erhalten bleibt. Man könnte also sagen, dass der obige Einwand zwar im Allgemeinen richtig wäre, aber in diesem speziellen Fall nicht gilt.

Dies ist jedoch ein Missverständnis der Bedeutung eines elastischen Stoßes. Ein elastischer Stoß bedeutet, dass die kinetische Energie unmittelbar vor dem Stoß gleich der kinetischen Energie unmittelbar nach dem Stoß ist. Es sagt nichts über die kinetische Energie während des Stoßes aus. Auch hier widerspricht die kinetische Energie, die in die elastische potentielle Energie übergeht, auch nicht der elastischen Kollisionsbeschränkung.

Schließlich haben Sie in Kommentaren argumentiert, dass keine elastische potentielle Energie in einem infinitesimalen Körper gespeichert werden kann. Dies ist einfach eine falsche Behauptung als mathematisches Modell. Wenn Sie die tatsächliche Mathematik aufschreiben, werden Sie feststellen, dass die Menge an elastischer potentieller Energie wann gespeichert wird v = 0,5   M / S ist konstant und unabhängig von der Größe des Objekts, egal wie klein es ist.

Wir wissen aus Impulserhaltung und Energieerhaltung, dass der erste Körper stoppt und der andere Körper beginnt, sich mit 1 m/s zu bewegen.

Kinetische Energie bleibt nur erhalten, wenn der Stoß vollkommen elastisch ist. Das bedeutet, dass während des Kontakts der beiden Objekte ein Teil der Energie als elastische potentielle Energie gespeichert wird, die später wieder in kinetische Energie umgewandelt wird.

also aus Impulserhaltung

Der Impuls bleibt nur dann erhalten, wenn keine äußeren Kräfte auf das Teilchensystem einwirken. Wir sagen auch, dass der Impuls erhalten bleibt, wenn äußere Kräfte viel kleiner sind als die Kollisionskraft, die sich zwischen den Teilchen bildet, aber das ist nur eine Annäherung. Wenn Sie mehr wissen möchten, prüfen Sie, was Impuls im Zusammenhang mit Kräften ist.

Das scheint ein Widerspruch zur Energieerhaltung zu sein.

Vermisse ich etwas?

Ja, beim (elastischen) Stoß wird ein Teil der Energie als elastische potentielle Energie gespeichert.

Nach dem, was ich auf der Website der Khan-Akademie gefunden habe, existiert elastische potentielle Energie nur, wenn eine Kraft versucht, den Körper zu verformen. Aber wenn die Körper in meinem Fall unendlich klein sind (wie in der einfachen Newtonschen Mechanik), dann gibt es so etwas wie eine "Verformung" nicht. (Ich weiß, dass unendlich kleine Körper nicht wirklich existieren, aber ich frage nach der Newtonschen Mechanik, nicht nach unserem wirklichen Universum. Sie können sich meine Frage als eine Frage zu einem mathematischen Modell vorstellen.)
@Ben Wenn Sie Kollisionen in der Newtonschen Mechanik untersuchen, gibt es keine Annahme über den punktartigen Charakter der Objekte. Man kann sie punktuell betrachten, aber dann gibt es keine Zwischenphase zwischen Anfangs- und Endzustand. Entweder betrachten Sie einen idealisierten Fall oder einen realistischeren. Du kannst nicht die Hälfte von beidem haben.

Die Lösung besteht darin, dass Energie in der Verformung der Objekte gespeichert wird. Um Ihr Argument aufrechtzuerhalten, könnten Sie Inkompressibilität annehmen. Allerdings geht bei dieser Grenze das Zeitintervall, in dem sich beide Objekte gleichzeitig bewegen, gegen Null. In dieser Grenze gilt also Ihr Argument nicht mehr. Diese Grenze würde auch eine infinitesimale Größe erfordern, um mit der speziellen Relativitätstheorie kompatibel zu sein.

Die Zeit geht gegen Null – na und? Energie- und Impulserhaltungen und das zweite Newtonsche Gesetz gelten immer noch, also ist alles gleich.
@Ben Wenn die Interaktionszeit Null ist, sind die Geschwindigkeiten diskontinuierlich, und daher ist Ihr Mittelwertargument nicht anwendbar.
Wie kann Geschwindigkeit unstetig sein? Ich habe aus Newtons zweitem Gesetz gezeigt, dass es stetig sein muss (siehe meine ursprüngliche Frage oben).
@ben Es liegt an dir. Wenn Sie die Objekte als kompressibel betrachten, muss die potenzielle Energie berücksichtigt werden. Wenn Sie dies nicht akzeptieren, müssen die Körper inkompressibel sein, aber dies impliziert, dass die Geschwindigkeiten diskontinuierlich und die Kraft unendlich sind.

Die Gesamtenergie des Systems muss konstant sein und ist vor und nach dem Stoß die kinetische Energie eines der Körper.

Aber während der sehr kleinen δ T von dem, was wir Kontakt nennen, kann die potentielle elektrostatische Energie zwischen den Atomen der Oberfläche nicht vernachlässigt werden. Genau diese potentielle Energie ist die Quelle der Kraft des Aufpralls auf die Objekte.

Also während δ T die kinetische Energie ist kleiner, und die Summe aus potentieller und kinetischer Energie bleibt konstant.

Impulserhaltung + Energieerhaltung + 2. Newtonsches Gesetz = Widerspruch?
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