Wie lässt sich die Unabhängigkeit von Impuls und Energieerhaltung bei einem 2-Körper-Kollision elementar erklären?

Geben Sie ihm ein Beispiel für inelastische Stöße und erklären Sie, warum der Impuls erhalten bleibt, die kinetische Energie jedoch nicht. Wenn Sie die Argumentation erklären (alle Kräfte sind intern, daher bleibt der Impuls erhalten) und dass es Verluste gibt, sodass KE des Systems in Wärme / Schall / anderen Energieformen verloren geht, sollte er auf die Idee kommen, dass die beiden verschiedene Bestien sind . Auf einer solchen Ebene ist es am besten, mit Gegenbeispielen zu veranschaulichen.

Angenommen, jemand schlägt vor, dass sich nach einer vollkommen elastischen Kollision zwei Billardkugeln jeweils doppelt so schnell bewegen wie zuvor (und entgegengesetzt zu ihrer ursprünglichen Richtung). Sie können ihm das Gegenteil nicht mit der Impulserhaltung beweisen, aber Sie können ihm das Gegenteil mit der Energieerhaltung beweisen. Daher hat die Energieerhaltung Implikationen, die die Impulserhaltung nicht hat.

Angenommen, wir haben zwei identische Billardkugeln, eine wandert nach Osten und eine nach Westen, mit der gleichen Geschwindigkeit, und sie kollidieren. Angenommen, jemand behauptet, dass beide Kugeln jetzt mit der gleichen Geschwindigkeit nach Westen fliegen werden. Sie können ihm das Gegenteil nicht mit der Energieerhaltung beweisen, aber Sie können ihm das Gegenteil mit der Impulserhaltung beweisen. Daher hat die Impulserhaltung Implikationen, die die Energieerhaltung nicht hat.

Für ein Teilchen in einem 1D externen zeitabhängigen Feld gibt es keine Energie- und Impulserhaltungssätze, aber es gibt zwei unabhängige Erhaltungsgrößen. Dies liegt daran, dass die Differentialgleichung von zweiter Ordnung ist und von zwei unabhängigen Anfangsdaten begleitet wird - der Anfangsposition und der Anfangsgeschwindigkeit. Sehen Sie hier ein Beispiel .

Alle folgenden Erläuterungen gelten für Grundschüler. Stellen Sie zunächst sicher, dass er/sie versteht, dass Impuls eine Vektorgröße und Energie ein Skalar ist. Vielleicht kennt er/sie auch Newtons 2. Bewegungsgesetz. Der Impuls eines Systems ist in einer bestimmten Richtung einzigartig. Wenn für ein gegebenes System die äußere Nettokraft (auf das System) Null ist, ändert sich der Nettoimpuls des Systems nicht . Er kann argumentieren, dass sich so was an Energie auch nicht ändern wird. Ja, aber wir können eine Situation haben, in der wir Kraft auf einen Körper ausüben und sein Impuls sich ändert, aber die Energie nicht . (Eine Kraft, die immer senkrecht zur Bewegungsrichtung wirkt). Ich hoffe, dass dies den Anstoß zur Diskussion gibt.

Betrachten Sie der Einfachheit halber eine nichtrelativistische Kollision zwischen zwei Punktteilchen gleicher Masse in ihrem Schwerpunktsystem. Aus der totalen Impulserhaltung wissen wir, dass das Schwerpunktsystem (COM) ein Inertialsystem ist . Außerdem, wenn Partikel$1$irgendwann$t$Stellung hat${\bf r}_1$und Geschwindigkeit${\bf v}_1$(relativ zum COM-Frame), dann Partikel$2$ist völlig diktiert, um eine entgegengesetzte Position zu haben${\bf r}_2=-{\bf r}_1$und entgegengesetzter Geschwindigkeit${\bf v}_2=-{\bf v}_1$. Aus der COM-Perspektive ist das Zwei-Teilchen-System also vollständig durch die Kenntnis des Teilchenzustands bestimmt$1$allein.

Bisher haben wir nur Impulserhaltung verwendet, und es spielt keine Rolle, ob der Stoß elastisch, teilelastisch oder unelastisch ist. Das obige gilt unabhängig davon.

Lassen Sie uns nun eine Kollision in erster und letzter Instanz untersuchen$t_i$und$t_f$lange vor und lange nachdem die Kollision stattfindet. Beachten Sie, dass wir bereits alle Informationen im Impulserhaltungsgesetz vollständig extrahiert haben, um zu dem Schluss zu kommen, dass es sich um ein beliebiges Teilchen handelt$1$tut, das Teilchen$2$würde das Gegenteil bewirken. Es sind keine weiteren Informationen verfügbar. Insbesondere die Impulserhaltung gibt uns keinen Hinweis darauf, wie die Anfangs- und Endgeschwindigkeit des Teilchens ist$1$sind verwandt.

Beschränken wir uns schließlich auf einen elastischen Stoß. Die kinetische Energieerhaltung ist in diesem Zusammenhang die unabhängige Aussage über Anfangs- und Endgeschwindigkeit$v_{1i}=v_{1f}$von Teilchen$1$gleich sind (immer noch relativ zum COM-Frame gemessen).

Impuls und Energie sind beide unterschiedlich, je nachdem, womit ich die Bewegung eines Objekts vergleiche. Wenn ich in einem Zug sitze, habe ich keinen Impuls oder keine kinetische Energie relativ zum Zug. Im Vergleich zu den Feldern außerhalb des Zuges habe ich aber viel Schwung und Energie. Wenn ich aus dem Zug springe, werde ich relativ zu den Feldern anhalten, also müssen der Impuls und die Energie relativ zu den Feldern irgendwo hin. Andererseits bewege ich mich dann relativ zum Zug, also muss der Schwung und die Energie dafür auch irgendwo herkommen.

Der Unterschied zwischen Impuls und Energie ergibt sich daraus, dass die Kräfte, die meine Geschwindigkeit verändern, sowohl über eine gewisse Zeit als auch über eine gewisse Distanz wirken müssen.

Angenommen, die Kraft, die mich verlangsamt, ist konstant und die Kraft lässt mich nicht herumwirbeln oder mich in Stücke zerbrechen. Das ist die Art von wilder Idealisierung, die der Physik bei 16-Jährigen einen schlechten Ruf einbringt, aber es ist eine erste Annäherung, von der aus wir zu einer zweiten Annäherung übergehen können, die besser ist, und noch niemand hat sich eine bessere erste Annäherung ausgedacht. Wenn der Zug doppelt so schnell fährt, muss die Kraft doppelt so lange wirken , um mich zum Stehen zu bringen, das ist die Impulsänderung, aber die Kraft muss viermal so lange wirken , um mich zum Stehen zu bringen, das ist die Veränderung der Energie.

Das wird sehr schwierig, weil jemand in einem Flugzeug, das sich sehr schnell bewegt, die Kraft für die gleiche Zeit wirken sieht, wie jemand, der im Feld steht, die Kraft für die Zeit wirken sieht, aber die Person im Flugzeug sieht die Kraft für viel mehr Distanz wirken , denn als die Truppe begann, war ich zum Beispiel direkt neben dem Flugzeug, aber als die Truppe endete, war ich weit zurück. Die Energieänderung aus der Sicht der Person im Flugzeug war also viel größer als jemand in den Feldern denkt, obwohl sich alle einig sind, dass die Impulsänderung dieselbe war.

Um zu einer anderen Analogie zu wechseln, die Energie ist wichtig, weil sie bestimmt, wie weit ich brauche, um ein Auto mit der Bremse anzuhalten, also bestimmt sie, ob ich gegen die Mauer stoße, die ich plötzlich vor mir sehe. Das Momentum bestimmt, wie lange es dauert, bis es zum Stehen kommt, aber ich kann mir nicht sofort eine wirklich anschauliche Situation vorstellen, in der das wichtig ist.

Man kann endlos verschiedene Situationen konstruieren. Es kann natürlich in Gleichungen gemacht werden, aber Sie müssen entscheiden, ob das angemessen ist. Es würde mich interessieren, ob es etwas an dieser Antwort gibt, von dem Sie glauben, dass es klarer gemacht werden könnte. Es ist sicherlich nicht vollständig. Willkommen von einem Engländer in den USA.

EDIT: Natürlich wird mir über Nacht klar, dass ich den Naturschutz kein einziges Mal erwähne. Aus der Sicht des oben Gesagten reicht es aus, anzumerken, dass beide aufgrund des dritten Newtonschen Gesetzes verstanden werden können, das laut Wikipedia lautet: "Die gegenseitigen Kräfte der Aktion und Reaktion zwischen zwei Körpern sind gleich, entgegengesetzt und kollinear" . Als Ergebnis können wir sagen, dass die Energie, die einem Objekt hinzugefügt wird, von dem anderen Objekt weggenommen wird, und dasselbe gilt für den Impuls. Die Unabhängigkeit der beiden Erhaltungssätze besteht im Wesentlichen gerade darin, dass die beiden Größen unabhängig sind.

Ich habe beschlossen, ein paar vereinfachte Gleichungen hinzuzufügen,

Wirklich, dieses Zeug sollte spezialisierten Pädagogen überlassen werden, von denen sich die besten die Zeit nehmen werden, nicht nur neue Wege zu finden, Ideen zu erklären, sondern auch zu untersuchen, wie gut verschiedene Erklärungsstrategien für verschiedene Arten von Schülern funktionieren, aber ich habe es immer getan Ich war gelegentlich daran interessiert, mich in diese Denkweise hineinzuversetzen. Es ist immer wieder demütigend zu entdecken, wie viel Kreativität erforderlich ist, um es gut zu machen.

Wie so oft wird das Herumsuchen in Wikipedia, beginnend mit der Seite zu Newtons Gesetzen, die ich oben erwähnt habe, einige Edelsteine ​​​​unter den zu vielen Informationen für die Zwecke Ihrer Frage ergeben. Besonders gut gefällt mir der abschließende Kommentar, dass „die Energieerhaltung fast zwei Jahrhunderte nach Newtons Leben entdeckt wurde, wobei die lange Verzögerung auf die Schwierigkeit zurückzuführen ist, die Rolle mikroskopischer und unsichtbarer Energieformen wie Wärme und Infrarotlicht zu verstehen. "

Betrachten Sie die elastische Kollision einer kleinen Masse mit einer großen Masse (z. B. eine schnelle Kugel mit einer (zunächst) nicht bewegten Schwermetallkugel). Ich denke, Sie ziehen die Newtonsche Mechanik in Betracht, also gibt es hier folgende Optionen:

a) Die Kugel stoppt nach dem Aufprall und der schwere Ball beginnt sich zu bewegen. Wenn Sie verlangen, dass Energie erhalten bleibt, werden Sie sehen, dass der Impuls nicht erhalten bleibt und umgekehrt. Das bedeutet, dass die Kugel bei einem elastischen Stoß nicht stoppen und ihre gesamte Energie ( oder ihren gesamten Impuls) auf die schwere Kugel übertragen kann, da in diesem Fall sowohl Energie als auch Impuls nicht erhalten werden können.

b) Schwerer Ball bewegt sich nach dem Aufprall nicht, während sich das Geschoss mit gleicher Geschwindigkeit in beliebige Richtung bewegt. Offensichtlich bleibt die Energie erhalten, der Impuls jedoch nicht.

Daher können wir uns die Anzahl der Ergebnisse vorstellen, bei denen nur eine Größe erhalten bleibt. Aber die Natur lässt uns nur eine Wahl von vielen, denn sowohl Energie als auch Impuls müssen erhalten bleiben. Es gibt viele Szenarien, in denen nur Impuls (oder nur Energie) erhalten bleibt, aber wenn wir verlangen, dass beide erhalten bleiben, bleibt nur ein Szenario möglich.

Es ist auch interessant, die Situation zu betrachten, in der das Momentum scheinbar nicht erhalten bleibt. Der einfachste Fall ist, wenn ein Mann (oder eine Frau) auf dem Boden bleibt und irgendwann beginnt, sich zu bewegen (zu gehen). Der Anfangsimpuls eines Mannes (einer Frau) ist Null und der Endimpuls ist es nicht. Was passiert mit der Impulserhaltung? Hier ist es wichtig, ein Konzept des abgeschlossenen Systems zu berücksichtigen, da nur im abgeschlossenen System der Impuls erhalten bleibt. In diesem Fall umfasst das geschlossene System die Erde. Wenn wir also anfangen zu laufen, bewegen wir die Erde! :-)

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Energieerhaltung ist fast selbstverständlich. Die Erhaltung des linearen Impulses ergibt sich aus der Tatsache, dass es in einem isolierten System von Teilchen keinen bevorzugten Ort gibt. Zu versuchen, darauf hinzuweisen, dass die beiden verwandt sind, scheint einige wirklich verworrene Argumente hervorzurufen. Das eine befasst sich mit der Energieinvarianz und das andere mit der Ortsinvarianz.

1. Referenz zu Erhaltungen und Symmetrie

Schauen Sie sich den Satz von Noether an.

Erhaltungssätze lassen sich am besten als Folgen von Raum- und Zeitsymmetrien erklären: Weil der Raum in jeder Richtung gleich ist, sehen wir den Impuls als erhalten, weil die Zeit gleichförmig ist, sehen wir die Energie als erhalten. http://en.wikipedia.org/wiki/Noether's_theorem _

Beachten Sie, dass Energie in relativistischen Situationen nicht erhalten bleibt, aber Impuls - dies hängt mit der Natur der Relativitätstheorie zusammen.

Der 16-Jährige hat etwas, aber niemand merkt es, weil Physiker und Physiklehrer davon ausgehen, dass kinetische Energie ein gültiges wissenschaftliches Prinzip ist. Dieser Eröffnungssatz wird natürlich Gelächter und andere Reaktionen hervorrufen, aber nehmen Sie sich trotzdem einen Moment Zeit, um die folgende Analogie zu betrachten. Es untersucht, was passiert, wenn Sie Energie oder Kraft in Bezug auf die Entfernung definieren. Energie (kinetische Energie) bezieht sich auf Kraft, die über eine Entfernung wirkt. Stellen Sie sich einen Beifahrer vor, der auf dem Rücksitz eines Autos sitzt und dem Fahrer sein Handy übergibt. Wenn das Auto steht, bewegt sich das Telefon etwa 3 Fuß in Bezug auf die Straße. Wenn sich das Auto bewegt, kann das Telefon 10, 20, 30 oder mehr Fuß zurücklegen. Die Zeit, die benötigt wird, um das Telefon in die Hand zu nehmen, ändert sich nicht; es ist eine Konstante. Denken Sie jetzt an Kraft, sie bewirkt, dass sich die Dinge beschleunigen. Wenn ein Körper beschleunigt, es ändert seine Geschwindigkeit/Geschwindigkeit. Wenn dies geschieht, wird dieser Körper eine bestimmte Strecke zurücklegen und sich dafür ZEIT nehmen. Nehmen Sie zuerst den Windwiderstand und andere nicht damit zusammenhängende Dinge aus der Mischung heraus. Beschleunigen Sie einen Körper von 0 mph auf 10 mph; dies braucht Zeit und die Kraft wird über eine Distanz wirken. Beschleunigen Sie den gleichen Körper mit der gleichen Kraft von 10 mph auf 20 mph. Die Zeit, um die Geschwindigkeit dieses Körpers um 10 Meilen pro Stunde zu ändern, ändert sich nicht; die Entfernung, die es während dieses Akts zurücklegt, wird. Kurz gesagt, mit der Formel für kinetische Energie stimmt etwas nicht. Machen Sie nicht das, was alle tun, und gehen Sie davon aus, dass es richtig ist, weil es etwas schon lange gibt. Beschleunigen Sie einen Körper von 0 mph auf 10 mph; dies braucht Zeit und die Kraft wird über eine Distanz wirken. Beschleunigen Sie den gleichen Körper mit der gleichen Kraft von 10 mph auf 20 mph. Die Zeit, um die Geschwindigkeit dieses Körpers um 10 Meilen pro Stunde zu ändern, ändert sich nicht; die Entfernung, die es während dieses Akts zurücklegt, wird. Kurz gesagt, mit der Formel für kinetische Energie stimmt etwas nicht. Machen Sie nicht das, was alle tun, und gehen Sie davon aus, dass es richtig ist, weil es etwas schon lange gibt. Beschleunigen Sie einen Körper von 0 mph auf 10 mph; dies braucht Zeit und die Kraft wird über eine Distanz wirken. Beschleunigen Sie den gleichen Körper mit der gleichen Kraft von 10 mph auf 20 mph. Die Zeit, um die Geschwindigkeit dieses Körpers um 10 Meilen pro Stunde zu ändern, ändert sich nicht; die Entfernung, die es während dieses Akts zurücklegt, wird. Kurz gesagt, mit der Formel für kinetische Energie stimmt etwas nicht. Machen Sie nicht das, was alle tun, und gehen Sie davon aus, dass es richtig ist, weil es etwas schon lange gibt.