Newtons Wiege

Anders als in vielen Lehrbüchern behauptet, kann die Energie-Impuls-Erhaltung allein das Verhalten der Newtonschen Wiege nicht erklären. Für N Kugeln müssen wir zwei Gleichungen und N Endgeschwindigkeiten berechnen. Daher können Erhaltungssätze nur für N = 2 funktionieren. Das bedeutet, dass wir, wenn wir eine Erklärung des Wiegenverhaltens basierend auf Erhaltungsgesetzen geben wollen, die N-Ball-Kollision in eine Folge von Zwei-Ball-Kollisionen aufteilen müssen, wie es in einigen der Antworten auf die Frage getan wird.

Das Problem bei diesem Ansatz besteht darin, dass davon ausgegangen wird, dass sich die Kugeln anfangs nicht berühren, was bei den meisten Wiegen nicht der Fall ist. Man könnte argumentieren, dass es nicht wirklich darauf ankommt, dass die Kugeln anfangs in Kontakt sind, nur dass die Kollisionszeit (die Zeit, während der Impuls von einer Kugel auf die andere übertragen wird) viel kleiner ist als die Zeit, die für die mechanische Störung benötigt wird einen Ball überqueren. Die typische Kollisionszeit liegt jedoch in der Größenordnung von 0,1 ms, viel größer als die Ausbreitungszeit von etwa 0,01 ms. Unter solchen Bedingungen sollte man erwarten, dass die Wellenausbreitung entlang der Kugelkette eine bedeutende Rolle in der Dynamik der Wiege spielt.

Es gibt ein schönes Papier,

F. Herrmann und P. Schmälzle. Einfache Erklärung eines bekannten Kollisionsexperiments. Bin. J. Phys. 49 , Ausgabe 8, S. 761 (1981). doi: 10.1119/1.12407 . Open-Access-Version auf der Website des Karlsruher Physikkurses von F. Herrmann .

zeigt, dass die Wellenausbreitung entlang der Kugellinie dispersionsfrei sein muss, wenn wir die gleiche Anzahl ankommender und ausgehender Kugeln finden wollen. Die Autoren zeichnen auch ein interessantes Bild davon, wie das System entscheidet, wie viele Bälle es wegschicken wird. Grundsätzlich erzeugt der erste Aufprall zwei Wellenimpulse, die sich entlang der Balllinie in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Die Impulse werden an den Enden der Leitung reflektiert und treffen sich am Bruchpunkt der Kugelkette wieder. Es ist leicht zu erkennen, dass dieser Aufbruchpunkt symmetrisch (in Bezug auf die Linienmitte) zum Auftreffpunkt liegt, was erklärt, warum die Anzahl der abgehenden Bälle gleich der der ankommenden ist.

Es spart gleichzeitig Energie und Impuls bei der Kollision.

Wenn die Bälle kollidieren, sind die Fäden, die sie hochhalten, konstruktionsbedingt vertikal (vorausgesetzt, die Bälle werden nur von einer Seite geschwungen). Dies bedeutet, dass keine horizontalen Kräfte von der Saite auf die Kugeln wirken, so dass der lineare Impuls in Schwungrichtung bei der Kollision erhalten bleiben muss. Auch Energie wird nahezu eingespart, sofern nicht zu viel Lärm und Wärme entstehen.

Betrachten Sie den Fall mit zwei Kugeln, bei dem jede Kugel eine Masse hat$m$und Geschwindigkeit$v$zum Zeitpunkt der Kollision. Die kinetische Energie wird$E = mv^2$und der Schwung$p = 2mv$. Also nehme an$n$Bälle sollten mit Geschwindigkeit von der anderen Seite wegfliegen$u$. Die Energie wäre$\frac{n}{2} mu^2$und der Schwung$nmu$. Also durch Erhaltung müssen wir haben$mv^2 = \frac{n}{2} mu^2$und$2mv = nmu$. Es ist nicht schwer zu sehen, dass die einzige Lösung für diese Gleichung zusammen ist$n=2$und$u=v$.

Eine vollständigere Analyse würde Lösungen mit unterschiedlichen Bällen ausschließen, die mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten abfliegen, aber ich denke, das reicht aus, um das Prinzip zu demonstrieren.

Beginnen wir mit einer Beobachtung beim Billard. Angenommen, der rote Ball steht still und Sie treffen ihn genau mit dem Spielball in Geschwindigkeit$v$. Die weiße Kugel stoppt und die rote Kugel läuft mit hoher Geschwindigkeit weiter$v$. Lubos hat dies in seiner Antwort schön und einfach beschrieben . Sie können es am Anfang dieses Videos sehen .

Stellen Sie sich nun eine Reihe von Kugeln vor (z. B. rot-orange-gelb-grün-blau-violett), die perfekt aufgereiht sind.

Du triffst den Roten genau mit dem Queue, und der Queue stoppt und der rote Ball geht voraus. Nach nur einem Moment trifft der rote Ball auf den orangefarbenen Ball. Der rote hält an und der orangene fährt weiter. Dann trifft die orangefarbene auf die gelbe und stoppt usw. Schließlich kommt die violette Kugel aus der Reihe, und alle anderen Kugeln in der Reihe sind gerade ein Stück weiter auf dem Tisch nach unten gerückt. Ein Ball rein, ein Ball raus. Sie können sehen, dass so etwas ziemlich genau 50 Sekunden nach dem gleichen Video passiert (es ist jedoch nicht ganz perfekt).

Jetzt machen wir es wieder. Richten Sie alle Bälle aus, aber rollen Sie diesmal den weißen Ball in Richtung des roten Balls und rollen Sie den 8-Ball direkt danach.

Die weiße Kugel trifft die rote Kugel und stoppt; der rote Ball geht nach vorne, wie zuvor. Der rote Ball trifft den orangefarbenen Ball. Diesmal ist das nicht das Einzige, was passiert. Gleichzeitig mit dieser Kollision läuft die 8er Kugel in die gestoppte Spielkugel. Nach diesen Kollisionen sind zwei Kugeln in Bewegung - die orangefarbene Kugel vorne und die weiße Kugel, die jetzt zwei Kollisionen hatte, eine vorne und eine von hinten.

Dieser Vorgang wiederholt sich entlang der Linie, immer mit zwei sich bewegenden Bällen und einem stationären Ball dazwischen. Gegen Ende sind die beiden sich bewegenden Kugeln die violette (letzte) Kugel und die grüne (drittletzte) Kugel. Die violette Kugel ist frei, aber die grüne Kugel trifft auf die blaue, und das ist die letzte Kollision. Das Ergebnis ist, dass sich die blauen und violetten Kugeln von der Aufstellung entfernen. Alles andere wird gestoppt. Zwei Bälle gingen hinein und zwei kamen heraus.

Von hier aus ist es nicht schwer zu sehen, dass wir drei, vier oder sogar 100 Bälle (theoretisch) einsenden und die gleiche Anzahl wieder herausbekommen könnten.

Die Schwierigkeit bei dieser Erklärung besteht darin, dass sich in Newtons Wiege die Kugeln physisch berühren und daher das Stopp-Start-Argument nicht auf dieselbe Weise zutrifft. Diese einfache Analyse sollte Newtons Wiege plausibel machen, aber ein vollständiges Argument beruht auf der Untersuchung der Kontinuumsmechanik, die mit den Kollisionen zwischen festen Körpern verbunden ist. Dieses von Georg in den Kommentaren erwähnte Papier liefert eine solche Analyse.

Hinweis: Ich habe das YouTube-Video nicht vollständig angesehen und bürge nicht unbedingt für alles, was es über Physik sagt. Ich wollte nur Beispiele für diese Aufnahmen. Außerdem rollen die Kugeln beim Billard, was im Vergleich zu Newtons Wiege manchmal einen Unterschied machen kann, aber wir gehen hier davon aus, dass dies nicht der Fall ist.

Erstens habe ich eine kostenlose iPhone-App für Newtons Wiege – genannt Kinetic Balls – die etwa 500 Skins hat. ;-)

Die Ereignisse in der Wiege setzen sich aus vielen Schritten zusammen, obwohl sie schnell hintereinander ablaufen. Im Speziellen,

Wenn Sie fünf Bälle haben, kollidiert zunächst der erste Ball mit dem zweiten Ball, der zweite Ball trifft den dritten Ball, der dritte Ball trifft den vierten Ball, der vierte Ball trifft den fünften Ball. OK?

Untersuchen wir also, was passiert, wenn der erste Ball von links auf den zweiten Ball von links trifft. Die Geschwindigkeit des ersten Balls ist$v$bevor es mit dem zweiten kollidiert. Nun vereinfacht es die Sache, die Kollision aus dem Schwerpunktsystem der ersten beiden Kugeln zu betrachten.

Natürlich bewegt sich der Schwerpunkt mit der Geschwindigkeit, die der Durchschnitt der Geschwindigkeiten der ersten beiden (gleich schweren) Kugeln ist. Denn der erste zieht vorbei$v$nach rechts und der zweite hat die gleiche Geschwindigkeit$0$, der Durchschnitt ist$v/2$, OK?

Vor der Kollision bewegt sich die erste Kugel mit der Geschwindigkeit$v-v/2=v/2$relativ zum Schwerpunktrahmen, und die zweite Kugel bewegt sich mit der Geschwindigkeit$0-v/2=-v/2$relativ zum Schwerpunktrahmen.

Was passiert nun nach der Kollision? Die Kugeln können sich nicht durchdringen, also muss ihre Relativgeschwindigkeit das Vorzeichen wechseln: die Geschwindigkeiten werden einfach umgekehrt. Sie ändern das Vorzeichen. Die Situation ist vollkommen symmetrisch bezüglich des Austausches der beiden Kugeln verbunden mit der Spiegelung von „links“ und „rechts“ im Raum. Folglich müssen die beiden Endgeschwindigkeiten (im Schwerpunktsystem) bis auf das entgegengesetzte Vorzeichen noch gleich sein. Die Gesamtgröße ist garantiert die gleiche wie vor der Kollision, um die kinetische Energie zu erhalten$2\times mv^2/2$. Die Vorzeichen müssen einander entgegengesetzt sein - aber auch entgegengesetzt zu den Anfangszeichen, weil die Kugeln sich nicht durchdringen können.

Im Schwerpunktsystem bewegt sich also nach der Kollision die linke Kugel mit der Geschwindigkeit$-v/2$und der rechte Ball bewegt sich vorbei$+v/2$. Wenn wir vom Schwerpunktrahmen zum Laborrahmen zurückverwandeln, müssen wir hinzufügen$v/2$wieder. Die Endgeschwindigkeit des ersten Balls ist also Null, während die Endgeschwindigkeit des zweiten Balls Null ist$v/2+v/2=v$. OK?

Nun nähert sich die zweite Kugel mit hoher Geschwindigkeit der dritten Kugel$v$während die dritte Kugel ruht. Nehmen Sie den Ruherahmen dieser beiden Bälle.

Wiederholen Sie nun das obige Märchen viermal - ich könnte es, es wäre sehr spannend, aber ich möchte die Festplatten des Servers schonen - und Sie werden am Ende die Situation haben, in der die ersten vier Kugeln ruhen und der fünfte bewegt sich mit der Geschwindigkeit$v$Nach rechts.

Da die ersten Kugeln nicht zurückprallen, kann die ursprüngliche Frage direkt beantwortet werden, wie die obere Antwort zeigt, aber er musste angeben, dass er davon ausgeht, dass die anderen Kugeln nicht zurückprallen oder sich anderweitig bewegen. Ich kann es ohne Mathematik erklären: Mehr oder weniger Bälle können nicht mit einer langsameren oder schnelleren Geschwindigkeit abgehen, weil Energie und Impuls erhalten bleiben müssen und sie jeweils eine andere Funktion der Geschwindigkeit sind. Wenn Sie die Geschwindigkeit ändern und sich keine anderen Kugeln bewegen, würden Sie gegen eines der Erhaltungsprinzipien verstoßen. Wenn beispielsweise nur 1 Ball mit der doppelten Geschwindigkeit abflog, wäre der Impuls der gleiche (erhaltene) Impuls wie bei den ankommenden 2 Bällen, aber der abgehende Ball hätte doppelt so viel Energie wie die 2 ankommenden Bälle. Umgekehrt, wenn 4 Bälle mit 1/2 der Geschwindigkeit abfallen würden, würde der Impuls erhalten bleiben,

Wesentlich schwieriger ist jedoch die Frage zu beantworten, ob andere Bälle in die andere Richtung zurückprallen dürfen.

Die Antworten aufgrund der Trennung sind nicht korrekt und ein Poster deutete an, wie das Gerät wirklich erklärt werden kann. Es ist nur ein zufälliger Zufall, dass die Berechnung der Reihe unabhängiger Schläge für mehrere Bälle mit gleichem Gewicht korrekt ist. Stellen Sie sich 3 Bälle vor, wobei der mittlere viel schwerer ist. Der erste Ball prallt ab, was nicht passiert, wenn sie sich berühren. Die Rechnung ist also aus fundamentalen Gründen falsch. Wenn sie sich berühren, befindet sich der mittlere schwere Ball in einem komprimierten Zustand und drückt den ersten Ball noch nicht zurück, um ihn zurückprallen zu lassen, bevor er Energie an den letzten Ball abgibt. Dies kann nicht mit einem auffälligen Paar gefolgt von einem anderen modelliert werden. Um alles klarer zu sehen, modellieren Sie die Kugeln als große, schwache Federn.

Die Lösung für die Endgeschwindigkeiten kann jedoch gefunden werden, indem die Kompression und Expansion der Metalle infolge der Stoßwellen untersucht werden. Die Energie- und Impulserhaltung sind ausreichend, um das System zu erklären, wenn die potentielle Energie und die Übergangszeit in die Energieerhaltungsberechnungen einbezogen werden.

Um nun die ursprüngliche Frage zu beantworten: Wie der andere Poster sagte, trifft die Stoßwelle an einem Punkt symmetrisch zur ursprünglichen Kollision. Die Antwort ist jedoch komplizierter, wenn die Kugeln am Ende gleich schwer, aber unterschiedlich lang sind. Die Stoßwellen werden sich zunächst nicht treffen, aber das sich ausdehnende Metallsystem wird schließlich dazu führen, dass sich die Kugeln mit gleichem Gewicht trennen, so dass die ursprünglichen Kugeln nicht zurückprallen.

Wichtige Aktualisierung/Korrektur:

Als ich mir das viel genauer ansah, stellte ich fest, dass niemand versteht, wie die Wiege funktioniert. Die Theorie der reflektierten Stoßwellen stammt von: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part1.pdf

aber diese Forscher folgten diesem Papier mit diesem: http://www.physikdidaktik.uni-karlsruhe.de/publication/ajp/Ball-chain_part2.pdf
und dann anderen: http://www-astro.physics.ox.ac .uk/~ghassan/newton_cradle_2.pdf

in denen sie zeigen, dass die Kollisionszeit 10-mal langsamer ist als die Ausbreitung von Schall- (Stoß-) Wellen, was auf "Hertzsche Kompression" (nicht einfach Stoßwellen) hinweist, beschreibt die Wiege, indem sie die Federung der Grenzflächen zwischen den Kugeln einschließt. Es gibt 4 Grenzflächen in 5 Bällen, also geben Energie und Impuls die Lösung für die Endgeschwindigkeit von 2 Bällen und dann ergibt das Verhältnis der 3 nachfolgenden Grenzflächen zur ersten Grenzfläche die 3 Variablen, die zum Auflösen der anderen 3 Bälle benötigt werden. Sie gelten$F=ma$zu jeder Kugel, wo sie in Kontakt mit ihren 1 oder 2 Nachbarn ist, unterliegt einer Pseudo-Federkraft (Hertzsche) im Oberflächenkontakt von$F=kx^{1.5}$statt$F=kx$. Dies ergibt eine Reihe voneinander abhängiger Differentialgleichungen, die ich am Ende für den allgemeinsten Fall unterschiedlicher Massen und unterschiedlicher Oberflächenfederkonstanten (Elastizitätsmodul) aufstellen werde. Dies mag mit dem Experiment für den Fall übereinstimmen, dass 1 Ball auf 4 trifft, die sich berühren, aber es gibt eine Lösung für den Fall, dass 2 auf 3 treffen, die nicht korrekt sind. Ich habe dieses Gleichungssystem in Excel gelöst und das gleiche Ergebnis wie in diesem Artikel erhalten: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/hinch/publications/PRSLA455_3201.pdfwobei die Geschwindigkeiten von Ball 4 und 5 theoretisch das 0,80- und 1,14-fache der Geschwindigkeit der 2 ankommenden Bälle betragen würden. Das Papier behauptet, dass Sie den Geschwindigkeitsunterschied beobachten können, aber sie weisen nicht darauf hin, dass dies ein 2-facher Unterschied in der kinetischen Energie ist und daher die vom 5. Ball erreichte Höhe 2-mal höher ist als die des 4., was nicht der Fall ist überhaupt. (Wenn die 5. Kugel maximal 30 Grad herauskommt, würde die 4. Kugel theoretisch nur 21 Grad erreichen, was nicht der Fall ist: Sie erreichen beide gleichzeitig 30 Grad). Hier sind die$F=ma$Gleichungen, die mit Runge-Kutta gelöst werden müssen, wenn die Hertzsche Theorie stimmt. Ich habe es in Excel gemacht.
$x$ist die Verschiebung vom Ruhepunkt

$$\begin{align} m_1a_1 &= - A(x_1-x_2)^{1.5} \\ m_2a_2 &= A(x_1-x_2)^{1.5} - B(x_2-x_3)^{1.5} \\ m_3a_3 &= B(x_2-x_3)^{1.5} - C(x_3-x_4)^{1.5} \\ m_4a_4 &= C(x_3-x_4)^{1.5} - D(x_4-x_5)^{1.5} \\ m_5a_5 &= D(x_4-x_5)^{1.5} \end{align}$$

wo

$$\begin{align} A=\left(\frac2{(1/{k_1})^{2/3}+(1/{k_2})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ B=\left(\frac2{(1/{k_2})^{2/3}+(1/{k_3})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ C=\left(\frac2{(1/{k_3})^{2/3}+(1/{k_4})^{2/3}}\right)^{1.5} \\ D=\left(\frac2{(1/{k_4})^{2/3}+(1/{k_5})^{2/3}}\right)^{1.5} \end{align}$$

Zum Einstecken in Runge-Kutta:

$$a=\frac{\mathrm dV(t)}{\mathrm dt}\ \text{and}\ x=tV(t)$$

$A, B, C, D$sind die effektive Nettofederkonstante zwischen jedem Kugelpaar für die Oberflächenkompression.

Wenn also 2 Bälle oder mehr Bälle die anderen treffen, weiß niemand, wie es funktioniert. Noch im Jahr 2004 wurden diese Papiere fälschlicherweise als die vollständige Lösung bezeichnet: http://www.maths.tcd.ie/~garyd/Publications/Delaney_2004_AmJPhys_Rocking_Newtons_Cradle.pdf

Leute, die Fragen wie diese beantworten, begehen den schrecklichen Fehler, auf die vereinfachte Mathematik in Physikbüchern zurückzugreifen und zu vergessen, dass die vereinfachte Mathematik weder atomare Mechanismen noch die tatsächliche Funktionsweise des Impulses in der realen Welt darstellt.

Newtons Wiege zwingt uns, einige sehr interessante Konsequenzen der Physik in der realen Welt zu betrachten. Die Tatsache, dass die Wiege Kugeln verwendet, bedeutet beispielsweise, dass die Energieübertragung durch einen Oberflächenkontaktpunkt erfolgt, der (theoretisch) gegen Null geht. Die Kugeln sind so gestaltet, dass sie sich einem perfekt elastischen Material annähern.

Hier ist eine Frage. Was würde passieren, wenn eine Kugel am Ende durch eine Kugel gleicher Größe mit doppelter Masse ersetzt würde? Das Anheben dieser Kugel wäre sicherlich so, als würde man zwei gewöhnliche Kugeln anheben, aber würde die Kollision dazu führen, dass zwei Kugeln am anderen Ende abheben?

Die Lösung liegt in der Theorie der Wellen (Stoßwellen wandern durch Metall, so wie sich Schallwellen durch Luft ausbreiten). Normalerweise führt eine Kollision von n Kugeln dazu, dass sich n Kugeln am anderen Ende abheben, da die Stoßwelle als n Kugeln lang angesehen werden kann, die nach der ersten Kollision die Reihe von Kugeln hinunterwandern. Es ist wichtig zu beachten, dass die Aufprallgeschwindigkeit der Kugel immer viel niedriger sein muss als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Stoßwelle durch das Metall, damit sich die Wiege wie erwartet verhält.

Um auf die Frage der schwereren Kugel zurückzukommen, nun, in diesem Fall impliziert die größere Masse in der gleich großen Kugel eine höhere Dichte, was die Geschwindigkeit ändert, mit der sich eine Stoßwelle durch das Material ausbreitet. Was passiert, wenn sich eine Schallwelle zwischen Materialien unterschiedlicher Dichte bewegt? Die Tonhöhe und die Wellenlänge ändern sich. Derselbe Prozess gibt uns eine Brechung in einem Prisma für die Welle, die Licht ist.

Auf atomarer Ebene wird das Stoßwellenkonzept schwer vorstellbar sein, da die Energie in diesem Fall durch einen winzigen Kontaktpunkt in jede neue Sphäre eintritt. Die 'Breite' der Energie, die die Kugellinie entlang wandert, bestimmt, wie viele Kugeln am anderen Ende abgehen, wobei die Energie im Wesentlichen kinetischer Natur ist. Die Trägheit verhindert, dass der kinetische Impuls die Kugeln signifikant verschiebt, bis nur die Endkugeln die kinetische Energie enthalten und sich daher zu bewegen beginnen können.

Jeder Physiker sollte ein Mantra haben, das er immer wieder wiederholt! "Das Modell ist nicht die Realität." Das Modell ist ein mathematisches Werkzeug, das wir konstruieren, um das Verhalten unter bestimmten Einschränkungen vorherzusagen (Einschränkungen, die wir vielleicht noch nicht einmal verstehen). Wir sehen Menschen, die mit dem Newton-Cradle-Problem kämpfen, weil sie darauf beharren zu glauben, dass vereinfachte Modelle niemals durch ein ausgeklügelteres Verständnis ersetzt werden dürfen. Schauen Sie sich nur den Unsinn an, der verlangt, dass die Kugeln einen Mindestabstand zueinander haben, damit das einfache Modell überhaupt angewendet werden kann. Schauen Sie sich die Dummköpfe an, die denken, es sei ein n-Ball-Problem (Bälle unterschiedlicher Größe oder Dichte nicht zuzulassen), als ob die zugrunde liegende Physik irgendetwas mit Makroansammlungen von Billionen von Atomen in einer bestimmten, dem Menschen gefälligen Form zu tun hätte.

Die Wellentheorie ist grundlegend für die moderne Physik. Menschen, die sich mit der Dynamik bewegter Körper befassen, sollten immer bereit sein, zu einem tieferen Verständnis der Energieausbreitung durch verschiedene Materialien zu wechseln, wenn das Problem eindeutig von sehr einfachen mathematischen Modellen zu Modellen wechselt, die zugrunde liegende Mechanismen berücksichtigen müssen, die durch die Natur verursacht werden von Atomen (und ihren Bindungen). Die Newtonsche Physik auf der Makroebene wird nur dann korrekte Lösungen liefern, wenn die Schlüsselannahmen gültig bleiben. Newtons Wiege ist ein Beispiel für ein Experiment, bei dem die Newtonsche Physik stattdessen auf atomarer Ebene betrachtet werden muss (die Erzeugung der Stoßwelle). Mathematik auf Makroebene (ein sehr vereinfachtes Modell der Realität) liefert keine korrekten Ergebnisse.