In welchen Kontexten werden Eichtheorien angewendet?

Die allgemeine Idee ist, dass Sie in der Lage sind, ausgehend von einem Lagrange$\mathscr L$invariant unter einer globalen (d. h. nicht raumzeitabhängigen) Transformation, um die Wechselwirkung des durch diese Theorie beschriebenen Feldes "abzuleiten", indem lediglich gefordert wird, dass die Lagrange-Funktion immer noch invariant ist, wenn die Transformation lokal sein darf (was bedeutet, dass der Parameter definiert die Transformation ist raumzeitabhängig).

Ein einfaches Beispiel ist QED . Betrachten Sie die Lagrange-Dichte für ein massives Dirac-Feld$\psi$, die lautet:

$$\tag 1 \mathscr{L} = \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi.$$ Beachten Sie, dass diese Lagrange-Funktion unter der globalen Transformation unveränderlich ist $$\tag{2} \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha} \psi(x),$$ $$\tag{2'} \bar \psi(x) \rightarrow e^{-i\alpha} \bar \psi(x),$$ Wo $\alpha_0 \in \mathbb{R}$ist eine Zahl (wie in keine Funktion).

Aber wenn Sie nun versuchen, die Transformationen (2) und (2') zu verallgemeinern , erlauben$\alpha$vom Raum-Zeit-Punkt abzuhängen, fällt leicht auf, dass die Lagrange-Funktion (1) nicht mehr unveränderlich ist.

Es stellt sich heraus, dass, wenn Sie der Lagrange-Dichte einen zusätzlichen Begriff hinzufügen, schreiben Sie ihn als

$$\tag 3 \mathscr{L} = \bar \psi (i \gamma^\mu \partial_\mu - m) \psi - ieA_\mu \bar \psi \gamma^\mu \psi,$$ Wo $A^\mu(x)$ein Feld mit bestimmten Transformationseigenschaften unter der Phasentransformation (2) ist , dann erhalten Sie, dass (3) unter den allgemeineren Eichtransformationen invariant ist $$\tag{4} \psi(x) \rightarrow e^{i\alpha(x)}\psi(x),$$ $$\tag{4'} \bar \psi(x) \rightarrow e^{-i\alpha(x)} \bar \psi(x),$$ $$\tag{5} A_\mu(x) \rightarrow A_\mu(x) + \frac{1}{e} \partial_\mu \alpha(x).$$

$A^\mu$ist nichts anderes als das Photonenfeld, und Sie sehen also, dass die oben geschriebene Anforderung der Eichinvarianz unter den lokalen Phasentransformationen (auch U(1)-Transformationen genannt) die elektromagnetische Wechselwirkung zwischen geladenen Fermionen reproduziert (wie in: ist äquivalent zu) Antifermionen, wie Elektronen und Positronen.

In ähnlicher Weise wird die Anforderung der Spursymmetrie verwendet, um alle fundamentalen Kräfte "abzuleiten":

• Bei QCD, die Invarianz unter der$SU(3)$Eichgruppe führt die Gluonen als Träger der starken Kraft ein ;
• Schwache Wechselwirkungen werden eingeführt, die Invarianz unter der erfordern$SU(2)_W$Eichgruppe, und dies erzeugte die Kopplung von linkshändigen Leptonen mit der$W^\pm$Und$Z^0$Messfelder;

Und das sind nur ein paar Beispiele aus einem wirklich breiten Thema.

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