Interpretation der Dirac-Gleichungszustände für sich bewegende Elektronen

Um die Spin-Projektion auf dem zu überprüfen$i$-ten Achse für die dritte und vierte Komponente brauchen Sie nur die Menge zu berechnen

$$\Sigma_{i}\psi, \quad \Sigma_{i} = \text{diag}(\sigma_{i}, \sigma_{i})$$ mit (der Einfachheit halber) $\psi = (0,0,1,0)$und $\psi = (0,0,0,1)$entsprechend.

Um die Helizität dieser Komponenten zu überprüfen, müssen Sie nur die Menge berechnen

$$\frac{(\Sigma \cdot \mathbf p)}{|\mathbf p|}\psi$$ wieder für $\psi = (0,0,1,0)$und $\psi = (0,0,0,1)$.

...Daher gibt es zwei unabhängige SU(2)-Lösungen$\phi_{R}$und$\phi_{L}$(die mit den Weyl-Spinoren verbunden sind).$\phi_{R}$hat positive Helizität und$\phi_{L}$hat negative Helizität ...

Dieser Satz enthält zwei falsche Aussagen, die miteinander in Beziehung stehen.

Erstens eigentlich die "elementaren" irreduziblen Darstellungen$\phi_{L/R}$sind als die Eigenzustände der Chiralitätsmatrix definiert$\gamma_{5}$. Letztere definiert die Art und Weise, wie die Spinoren lorentztransformiert werden, und hat nichts mit der Helizität zu tun, solange die Masse$m$ist nicht null. In der Nullmassengrenze fallen Helizität und Chiralität formal zusammen.

Zweite,$\phi_{L/R}$sind keine Weyl-Spinoren. Der Weyl-Spinor ist derjenige, der eine der Gleichungen erfüllt

$$\sigma_{\mu}\partial^{\mu}\psi = 0, \quad \tilde{\sigma}_{\mu}\partial^{\mu}\psi = 0, \ \ \text{where }\ \ \sigma_{\mu} = (1,\sigma), \ \tilde{\sigma}_{\mu} = (1,-\sigma)$$ Es ist definiert, masselose Teilchen mit bestimmter Helizität zu beschreiben, und hat nichts mit den Spinoren zu tun $\psi_{L/R}$innerhalb des Dirac Spinor solange $m\neq 0$.

Betrachten Sie die Dirac-Darstellung der Gamma-Matrizen, da haben wir sie

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_2 & 0 \\ 0 & -I_2 \end{pmatrix}$$ und die Lösungen, die statischen Teilchen und Antiteilchen entsprechen $p_\mu = (\pm m,0,0,0)$sind $$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} e^{-imt}\,,\; \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \epsilon \\ \delta \end{pmatrix} e^{imt}$$ wo $\alpha, \beta, \epsilon, \delta$sind einige Konstanten. Natürlich entsprechen diese Eigenzustände immer noch zwei möglichen Zuständen für jedes Teilchen/Antiteilchen, und physikalisch entspricht dies der Möglichkeit, dass das Teilchen zwei Vorzeichen eines intrinsischen Spins hat.

Aber lassen Sie uns zuerst sehen, was passiert, wenn wir eine andere Darstellung wählen. In der chiralen Darstellung haben wir

$$\gamma^0 = \begin{pmatrix} 0 & I_2 \\ I_2 & 0 \end{pmatrix}$$ Wenn wir die stationären Teilchen/Antiteilchen-Zustände berechnen, erhalten wir jetzt $$\begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ -\alpha \\ -\beta \end{pmatrix} e^{-imt}\,,\; \begin{pmatrix} \epsilon \\ \delta \\ \epsilon \\ \delta \end{pmatrix} e^{imt}$$ wo $\alpha,\beta,\epsilon,\delta$sind wieder einige Konstanten. Sie sehen also, dass, obwohl die „oberen“ und „unteren“ Komponenten in der Dirac-Darstellung Teilchen vs. Antiteilchen entsprechen, das Bild in der chiralen Darstellung von Gamma-Matrizen ganz anders ist.

Es gibt eine unendliche Menge möglicher Darstellungen der Gammamatrizen, die durch einheitliche Transformationen in Beziehung stehen, und alles, was wir über spinorale Komponenten diskutieren, hängt von der gewählten Darstellung ab.

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Um das Argument zu vervollständigen, sortieren wir die Energieeigenzustände in der Dirac-Darstellung nach ihrer Spinprojektion in eine bestimmte Achse. Der intrinsische Spin-Operator ist gegeben durch$\Sigma^i = i \gamma^0 \gamma^i \gamma^5$in irgendeiner Darstellung. In der Dirac-Darstellung (wie auch in den anderen beiden wichtigen chiralen und Majorana-Darstellungen) endet der Spin-Operator als

$$\Sigma_i = \begin{pmatrix} \sigma_i & 0 \\ 0 & \sigma_i \end{pmatrix}$$ Wir entscheiden uns dafür, unsere Zustände nach ihrer z-Komponente zu sortieren, weil wir es am bequemsten haben $$\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Wir sehen dann leicht, dass die obere Komponente jedes Energie-Eigenzustands in der Dirac-Darstellung eine positive Projektion des Spins in die z-Achse hat, während die untere Komponente einem Teilchen mit einer negativen Projektion des Spins in die z-Achse entspricht. Aber ich wiederhole noch einmal, dass wir in der chiralen oder jeder anderen Darstellung die Komponenten ganz anders interpretieren würden.

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Was die von Ihnen zitierte Antwort betrifft, so erhält man die Lösungen für die sich bewegenden Teilchen, indem man diese stationär auswählt$\pm 1/2$Spinzustände und deren Verstärkung durch eine Lorentz-Transformation in bewegte Lösungen.

Mit anderen Worten, die Interpretation der Lösungen

$$\psi_1(x)=N_1\left(\begin{array}{c}1\\0\\\frac{p_z}{E+m}\\\frac{p_x+ip_y}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu) \,,\; \psi_2(x)=N_2\left(\begin{array}{c}0\\1\\\frac{p_x-ip_y}{E+m}\\\frac{-p_z}{E+m}\end{array}\right)\exp(-ip_\mu x^\mu)$$ $$\psi_3(x)=N_3\left(\begin{array}{c}\frac{p_z}{E-m}\\\frac{p_x+ip_y}{E-m}\\1\\0\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)\,,\; \psi_4(x)=N_4\left(\begin{array}{c}\frac{p_x-ip_y}{E-m}\\\frac{-p_z}{E-m}\\0\\1\end{array}\right)\exp(ip_\mu x^\mu)$$ ist, dass sie Teilchen/Antiteilchen entsprechen, die in ihrem Ruhesystem eine negative/positive Projektion des Spins in die z-Achse haben.

Dies ist eine übliche Konstruktion für die Basis allgemeiner Lösungen der Dirac-Gleichung, in anderen Fällen entscheiden sich die Leute stattdessen oft dafür, die Lösungen nach ihrer Chiralität zu sortieren.

Die Dirac-Gleichung wird unter Verwendung von Clifford-Algebra, insbesondere der Gamma-Matrizen, gelöst. Es gibt 16 4x4-Gammamatrizen, die die erforderliche Basis bilden. Sie können wählen, welche Basis Sie verwenden möchten (hauptsächlich abhängig von dem zu lösenden physikalischen Problem), und es ist möglich, zwischen den Basis zu transformieren.

In der Weyl-Basis (chirale Darstellung der Dirac-Gleichung) ist die Gamma-Matrix üblicherweise bekannt als$\gamma^5$diagonal ist$\gamma^5 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$. Wenn es auf den Dirac-4-Komponenten-Spinor angewendet wird, zerlegt es ihn auf jeden Fall in zwei Teile, die linke Hand und die rechte Hand. Da die Weyl-Basis diagonal ist, werden die beiden Teile des Spinors nicht verwechselt, sodass wir sagen können, dass die oberen beiden Komponenten des Dirac-Spinors das linkshändige Feld darstellen und die unteren beiden das rechte, dh

$\gamma^5\begin{pmatrix} \psi_R \\ \psi_L \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \psi_R \\ -\psi_L \end{pmatrix}$

In der Dirac-Basis, die in Ihrer Frage verwendet wird,$\gamma^0$ist diagonal (und$\gamma^5$ist nicht diagonal).

$\gamma^0 = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$

$\gamma^0$ist der Paritätsoperator (in allen Basis). Der Dirac-Spinor wird also in der Dirac-Basis in zwei Teile aufgeteilt, einen mit gerader Parität und einen mit ungerader Parität.

Also um die Frage zu beantworten, die 3. und 4. Komponente von$\psi_{move}$stellen den Teil des Spinors mit ungerader Parität in dieser Lösung dar.

In Ihrer Frage deuten Sie an, dass ein sich bewegendes Elektron möglicherweise eine Kombination aus positiven und negativen Energiezuständen enthält. Das ist nicht der Fall. Die Fragen und Antworten zur Zitterbewegung diskutieren dies insbesondere beim Aufbau von Wellenpaketen aus Zuständen.