Interpretation des Laplace-Operators

Der Laplace-Operator misst, was man die „Krümmung“ oder Spannung des Feldes nennen könnte. Sie gibt an, wie stark der Wert des Feldes von seinem Mittelwert abweicht, der über die umliegenden Punkte genommen wurde. Dies liegt daran, dass es sich um die Divergenz des Gradienten handelt. Sie sagt Ihnen, wie stark sich die Änderungsrate des Feldes von der Art der stetigen Variation unterscheidet, die Sie in einem divergenzfreien Fluss erwarten.

Schauen Sie sich eine Dimension an: Der Laplace-Operator ist einfach$\partial^2\over\partial x^2$, dh die Krümmung. Wenn dies Null ist, ist die Funktion linear, sodass ihr Wert in der Mitte eines beliebigen Intervalls der Durchschnitt der Extreme ist. Wenn in drei Dimensionen der Laplace-Operator Null ist, ist die Funktion harmonisch und erfüllt das Mittelungsprinzip. Siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_function#The_mean_value_property . Wenn nicht, misst der Laplace-Operator seine Abweichung davon.

Josef f. Johnson hat bereits eine Begründung für den eindimensionalen Fall gegeben.

Ich denke, das physikalische Beispiel Diffusionsgleichung

ist die beste Art, es zu veranschaulichen:

_{(Quelle: pveducation.org )}

Wenn die Funktion aussieht$x^2$(positive Krümmung), wie links und rechts, dann im nächsten Zeitschritt die Funktion$n(x)$wird dort wachsen. Wenn die Funktion aussieht$-x^2$(negative Krümmung), wie in der Mitte, dann im nächsten Zeitschritt die Funktion$n(x)$wird abnehmen.

In Bezug auf Ihre Frage im Kommentar haben Sie in gewisser Weise Recht. Wenn Sie hier im zweiten Abschnitt mit dem Titel "Laplaces sphärische Harmonik" nachsehen,

http://desmond.imageshack.us/Himg542/scaled.php?server=542&filename=unbenannt2sq.png&res=medium

Dann sehen Sie, dass für diese allgemeine Art von Funktion die radialen und die rotatorischen Freiheitsgrade in 3D tatsächlich so sind, dass ihre Krümmung konstant ist $\lambda$jeweils, aber zusammen befriedigen sie$\Delta f=0$.

Um das eher "Krümmung der Funktion"-Konzept besser zu verstehen, können Sie sich die Variationsrechnung ansehen. Dort anstelle des Laplace-Operators$-\phi\Delta\phi$, möchten Sie vielleicht an den explizit quadratischen Ausdruck denken$\nabla\phi\nabla\phi$. Analog dazu, wie sie in der Einstein-Hilbert-Aktion über Krümmungen summieren, summieren sie diesen Ausdruck im Lagrangeschen Formalismus für Körper oder Funktionen .

Außerdem möchte ich sagen, dass, wenn Sie Gradient und Divergenz bereits verstehen, die Sache mit dem Laplace-Operator sinnvoll ist$\Delta=\nabla^2$als die Divergenz des Gradienten. Auch die Fast-Lösung, nämlich die von Ihnen im Kommentar angesprochene Grünen-Funktion, weist in diese Richtung. Für die physikalische Interpretation dieser, in Gleichungen, die den Laplace-Operator und für elliptische Operatoren im Allgemeinen beinhalten, kann man zuerst an die vollständige Poisson-Gleichung in der Elektrostatik denken

wo$\phi(\vec x)$ist das elektrische Potential. Hier$\rho(\vec x)$ist die Ladungsdichte, die Sie sich als zusammengesetzt aus Punktladungen vorstellen können, die an Positionen lokalisiert sind$\vec y$mit Dichten beschrieben durch$\delta(\vec x-\vec y)$. Dieser Gedanke kann etwas tautologisch dargestellt werden durch

Jetzt durch das Superpositionsprinzip , das für die Mawell-Gleichungen gilt (oder mathematisch durch die Tatsache, dass Ihr Differentialoperator linear ist), wenn Sie das Potenzial kennen$G(\vec x)$eines Punktteilchens

Sie kennen bereits die Lösung des gesamten Problems. Mit

was der Aufsummierung aller Punktpotentiale ähnelt, stellen Sie fest, dass die Poisson-Gleichungen gelöst sind:

Was ist nun das Potential des Punktteilchens? An dieser Stelle ist es sinnvoll, darüber nachzudenken$\nabla^2$als die Divergenz des Gradienten

Der Potentialgradient ist das elektrische Feld, das proportional zu der auf andere Punktladungen ausgeübten Kraft ist. Was ist nun das Punktteilchen-Kraftfeld, das keine Divergenz hat, aber singulär ist?$\vec x =0$? In drei Dimensionen die Oberfläche$A$einer Kugel geht als$A\propto r^2$, wenn also die Divergenz Null sein sollte, sollte die radiale Lösung wie lauten$\frac 1 {r^2}$, was nur das Coulombsche Gesetz ist . Integrieren wir den verbleibenden Gradienten, finden wir

Sehr oft denken Sie an diesen Delta-Peak als Quelle einer Störung eines Feldes. Der Differentialoperator stammt von einer Lagrange-Dichte, die Erhaltungsgesetze codiert, und die zugehörige Greens-Funktion beschreibt, wie Informationen von der Quelle weg übertragen werden. Das Feld zerfällt räumlich und (im Gegensatz zur Poisson-Gleichung mit einer Änderungsdichte$\rho(\vec x)$) die verbleibende Laplace-Gleichung$\nabla^2\phi(\vec x)=0$beschreibt die freie Ausbreitung/Ausbreitung des Potentials/der Welle. An den Quellpunkten gibt es also eine gewisse Wechselwirkung und das Feld wird gestört und dann wandert die Information von dort weg. An diesen Stellen, an denen keine Interaktion stattfindet, erfüllt das Feld die von Ihnen gewünschte freie Gleichung. In diesem Sinne empfehle ich Ihnen, sich Gedanken darüber zu machen, was nun zeitabhängig die Lösung der Wellengleichung raumzeitlich macht. Dann kannst du noch einstellen$\rho$unabhängig von$t$und zurück zur Poisson-Gleichung.

Als Nebenbemerkung ist all dieses Ausbreitungsgeschäft ein Hauptthema in Feldtheorien (oder „ihren Anwendungen“ wie der Signalverarbeitung), wo die Operatoren Zeitableitungen beinhalten. In Quantentheorien sind dies „nur“ Wahrscheinlichkeitswellen. Wenn Sie Ihre freien Propagatoren kennen und wissen, wie man sie mithilfe von Feynman-Diagrammen verknotet , haben Sie im Grunde die ganze Theorie. Ein anschauliches und damit anschauliches Beispiel dafür ist die Greens-Funktion der Wärmegleichung , bei der man förmlich zusehen kann, wie sich dann die Dichte auflöst.

Den beiden bereits gegebenen großartigen Antworten ist nichts wirklich Neues hinzuzufügen - nur ein bestimmtes Beispiel, das mir geholfen hat.

Wenn Sie die Finite-Differenzen-Version der Laplace-Gleichung in zwei Dimensionen untersuchen, stellen Sie fest, dass die diskretisierte$\phi$erfüllt die Laplace-Gleichung, wenn in diesem Bild eines Teils des Gitters$\phi_{i,j}$in der Mitte ist der Durchschnitt der umliegenden 4 Werte, dh

Also die Menge, um die$\nabla^2\phi$nicht Null ist, ist der Betrag, um den der Wert in der Mitte vom Durchschnitt der umgebenden Werte abweicht.

Wie gesagt, nichts Neues, aber das war das konkrete Beispiel, wo ich zuerst dachte - aha, das bedeutet der Laplace-Operator !

... Laplace-Operator als Divergenz des Gradienten zu betrachten, gibt mir eine Interpretation von "Quellen des Gradienten", die für mich ehrlich gesagt keinen Sinn ergibt ... den Laplace-Operator in bestimmten physikalischen Situationen zu interpretieren ... könnte ein guter Ort sein Um zu beginnen ... Ich suche eine Interpretation, die so universell wie Gradienten wäre ... anwendbar, korrekt und verständlich auf jedem Skalarfeld.

Hier ist ein anderer Ansatz: Hören Sie auf, an das Potenzialfeld als die grundlegendste Repräsentation zu denken.

Nehmen Sie stattdessen an, dass es zumindest für eine Reihe von physikalisch interessanten und nicht trivialen Situationen Vektorfelder sind, die näher an der zugrunde liegenden physikalischen Realität liegen. Ein einfacher Weg, dies zu erreichen, besteht darin, zwei Dinge anzunehmen: (1) die Vektorfelder stellen immer buchstäbliche Flüsse von "etwas" über Punkte im Raum dar, und (2) dieses "etwas" ist sowohl inkompressibel als auch konserviert (z. B. Wasser). es bewegt sich über den Raum.

Die zweite Einschränkung ist wichtig, weil sie sicherstellt, dass ein selbstkonsistentes skalares Potentialfeld als das Feld der Geschwindigkeiten (Geschwindigkeitsgrößen) des Fluids an jedem Punkt im Raum definiert werden kann. Dieses Potentialfeld ist nützlich, weil es sowohl schön einfach (skalar) ist, als auch alle diese nicht-trivialen Eigenschaftsannahmen in einem einzigen Paket erfasst.

Das einfachste Beispiel dafür, warum Sie sich entscheiden könnten, die Vektorfelder als grundlegender zu betrachten, ist die Hydrodynamik, da das Vektorfeld in diesem Fall ziemlich wörtliche Strömungen einer tatsächlichen physikalischen Substanz darstellt.

Es funktioniert jedoch auch gut – vielleicht sogar noch besser – für die Elektrodynamik, was für jeden überraschend sein mag, der nur an den Potenzial-zuerst-Ansatz gewöhnt ist. Maxwells frühes Flussmodell ging von einem wörtlichen Fluss oder Fluss von "etwas" (nicht Ladung) von "+" nach "-" (oder umgekehrt) aus. Er nahm weiter an, dass dieses "Etwas" in der Lage war, ziemlich magisch aus dem gewöhnlichen Raum zu erscheinen und zu verschwinden, wenn es aus einer Ladung auftauchte und die andere erreichte. Maxwell war sich vollkommen bewusst, wie seltsam das klang, aber es war nicht sein Punkt, da es der Fluss war, der es erlaubte, interessante Dinge genau zu berechnen.

Also zurück zu Ihrer Frage: Was ist die "Quelle eines Gradienten" und wie macht das Sinn?

Im Fluid- oder Flux-First-Modell ist das einfach: Der Gradient ist die Strömung, die im Moment durch eine Funktion des weniger realen, aber mathematisch handlichen Potentialfelds dargestellt wird. Daher bedeutet der Laplace-Operator einfach die "Quelle des Flusses" - ein ziemlich wörtliches Konzept, das.

Was die Anwendbarkeit auf jedes skalare Feld betrifft, sollte ich anmerken, dass es viele Fälle gibt, in denen die Fluss-zuerst-Interpretation eindeutig nicht die physikalischste ist. Ein skalares Feld, das die Dichten einer Verunreinigung innerhalb eines Festkörpers zeigt, ist beispielsweise sicherlich kein Strömungsfeld! (Obwohl es selbst dort wahrscheinlich die Aufzeichnung eines früheren Strömungsfelds ist, da glatte Gradienten nicht aus völlig zufälligen Verunreinigungsimplantationsprozessen hervorgehen.)

Aber selbst wenn ich das sage, ist mir folgendes überraschend aufgefallen: Für die Situationen, in denen der Laplace-Operator interessant und nützlich ist, scheint das Flux-First-Modell zu gelten, zumindest in den interessantesten Fällen. Das ist eigentlich nicht verwunderlich, denn der Laplace-Operator sagt genau das: „Diese Region ist interessant , weil es so aussieht, als würde ‚etwas‘ daraus heraus- oder hineinfließen …“

Auf jeden Fall kann ich ehrlich sagen, dass ich dieses Modell persönlich nützlich fand, um zu versuchen, Probleme in Themen wie Quantentheorie, Hydrodynamik und Elektromagnetik zu visualisieren, so dass ich aktiv nach Möglichkeiten suche, wie das inhärent dynamische Flux-First-Modell funktionieren könnte einen besseren Einblick in Prozesse, die nominell durch das weitaus statischere Konzept des Gradienten eines skalaren Potentialfelds beschrieben werden.

Auf diese Frage bin ich heute bei meiner Recherche gestoßen! Lassen Sie mich Ihnen mein Verständnis des Problems anhand eines Beispiels mitteilen.

Zunächst einmal ist der Laplace-Operator die Anwendung der Divergenzoperation auf den Gradienten einer skalaren Größe.

Nehmen wir an, wir wenden den Laplace-Operator auf eine physikalische und greifbare skalare Größe wie den Wasserdruck (analog zum elektrischen Potential) an.

Sie können sich den Gradienten des Wasserdrucks wie eine zeitkonstante Stromrichtung von Wasser vorstellen, die durch direkten Kontakt mit anderen Molekülen verursacht wird, wie ein Feld von Richtungspfeilen (ein lahmes Analogon für das elektrische Feld (es gibt keine gute Analogie)). .

Die Divergenz des Gradienten eines Wasserdrucks ist also dasselbe wie die Divergenz des Feldes der Richtungspfeile der Wasserströmung. Wenn dieses Feld keine Divergenz hat (dh Laplace-Gleichung), wird der Strom nicht konvergiert (komprimiert) oder divergiert (expandiert) (dh Wasser behält eine konstante Dichte bei).

In diesem Zusammenhang passt die Laplace-Gleichung perfekt zu den inkompressiblen Flüssigkeiten (Wasser ist ein gutes Beispiel).

PS Ich habe mich nicht um das Vorzeichen von Gleichungen gekümmert.

Eine praktische Anwendung des Laplace-Operators findet sich in der „ Atoms in Molecules “-Analyse der Elektronendichte. Die Elektronendichte eines Moleküls ist ein Skalarfeld, und seine Laplacesche Art gibt die Bereiche an, in denen die Elektronen lokal konzentriert oder erschöpft sind (die Dichte selbst hat normalerweise keine Minima und Maxima nur an den Kernen).