Interpretationen von (r,s) Tensoren [Duplikat]

Ein Tensor vom Typ (r,s) auf einem Vektorraum V ist eine C-wertige Funktion T auf V×V×...×V×W×W×...×W (es gibt r V's und s W's in wobei W der duale Raum von V ist), der in jedem Argument linear ist. Der Konvention halber nehmen wir (0, 0)-Tensoren als Skalare an. Die Interpretationen von (r,0)-Tensoren sind trivial, da es sich um Definitionen von multilinearen Funktionalen handelt (als Spezialfall (1,0)-Tensor interpretiert als Kovektor (Elemente des dualen Raums)). Wir können (1,1)-Tensoren wie folgt interpretieren: A(v,f ) ≡ f (Av). Angenommen, wir haben einen linearen Operator R; dann können wir R durch T(v,w) ≡ v · Rw in einen Tensor T zweiten Ranges verwandeln, wobei · das übliche Skalarprodukt von Vektoren bezeichnet. Wenn wir die Komponenten von T berechnen, stellen wir fest, dass die Komponenten des Tensors T dieselben sind wie die Komponenten des linearen Operators R. Ok. Alles ist gut. Aber ich kann Interpretationen anderer (r,s) Tensoren nicht verstehen. Zum Beispiel fand ich in Wikipedia (0,1) Tensor interpretiert als Vektor oder (0,2) als Bivektor und allgemein (0,s) Tensor als n-Vektor-Tensor; oder (2,1) Tensor als Kreuzprodukt und so weiter. Ich möchte, dass Sie zeigen, wie die Tensoren im Allgemeinen interpretiert werden. Ist es Ihnen möglich, diese Interpretationen so zu zeigen, wie ich es für den (1,1)-Tensor getan habe? Bitte schließen Sie diesen Beitrag nicht. Meine Antwort ist nicht in "Was ist Tensor?"

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So wie ( R , 0 ) sind "multilineare Funktionale", die eine Gruppe von zuweisen R Co-Vektoren, dh R ( 0 , 1 ) Tensoren ein Skalar, und Sie scheinen diese Visualisierung zu akzeptieren, die ( R , S ) Tensoren sind "multilineare Funktionale", die eine Gruppe von zuweisen R Co-Vektoren, dh R ( 0 , 1 ) Tensoren u S Vektoren dh ( 1 , 0 ) Tensoren ein Skalar.

Dies ist nur eine von vielen Möglichkeiten, gegebene Tensoren darzustellen oder zu visualisieren. Es ist ein Weg, der darauf hindeutet, dass man alle Indizes des Tensors mit Vektoren "kontrahieren" kann, um einen Skalar zu erhalten, dh a ( 0 , 0 ) Tensor, als Ergebnis. Es gibt jedoch viele andere Möglichkeiten, wie die Indizes von Tensoren kontrahiert werden können, um andere Tensoren (einschließlich Skalare, Vektoren, Kovektoren und andere Tensoren) zu erhalten. Sie haben eine solche Interpretation des vorgestellt ( 1 , 1 ) Tensoren – sie sind Operatoren, entweder auf dem Raum von Vektoren oder Co-Vektoren.

Ganz allgemein das allgemeinste Produkt von ( R ich , S ich ) Tensoren für ich = 1 , 2 , … N ohne Kontraktion der Indizes ist ein Tensor des Typs

( ∑ ich = 1 N R ich , ∑ ich = 1 N S ich )
was im Klartext bedeutet, dass die Anzahl der unteren und oberen (kovarianten und kontravarianten) Indizes einfach aus den einzelnen Produkten addiert wird.

In Bezug auf die elementaren nicht-trivialen (nicht-skalaren) Tensoren, ( 1 , 0 ) Tensoren u ( 0 , 1 ) Tensoren sind Vektorräume, die im Sinne der linearen Algebra "dual" (eine Art Paar) sind. Einer dieser Räume enthält alle linearen Formen, die auf den anderen Raum wirken, und umgekehrt. Die Beziehung ist symmetrisch, daher ist es eine "Dualität". Wenn Sie also glauben, eine Interpretation eines dieser Tensoren zu kennen , sollten Sie zugeben, dass Sie auch eine Interpretation des anderen Raums (und seiner Elemente, Tensoren) kennen.

Sobald Sie "Interpretationen" für die Grundstufe haben ( 1 , 0 ) Und ( 0 , 1 ) Tensoren haben Sie möglicherweise eine "Interpretation" für die allgemeinsten ( R , S ) ein als "multilineares Funktional" wirkendes R Vektoren einer Art und S Vektoren vom dualen Typ.

Danke für Ihre Aufmerksamkeit. Ich glaube meine Frage ist noch nicht gelöst. Um Ihre Antwort an mich zu verdeutlichen, erklären Sie mir bitte zuerst, wie (0,1) Tensor als Vektor interpretiert wird; deshalb eine lineare Funktion einer als Vektor interpretierten Funktion?
Das Dual zum Dual eines Vektors ist (isomorph zu) demselben Vektor. Mathematiker lieben es, viele ausgefallene Dinge darüber zu sagen, siehe zB math.stackexchange.com/questions/540020/… - aber es ist wirklich eine triviale Tatsache.
OK. Ich stimme zu, dass das Dual eines Duals eines Vektorraums isomorph zum Vektorraum ist, aber das bedeutet nicht, dass das Dual des Duals eines Vektors genau derselbe Vektor ist, wie Sie zeigen können, dass ein Vektor als Funktion von a ausgedrückt werden kann linear funktional ?
Entschuldigung, es gibt nichts wie ein "Dual eines einzelnen Vektors". Das ist wirklich der Punkt. Wenn Sie die Vektoren einzeln abbilden könnten, gäbe es keinen Grund, die Räume als unterschiedlich zu betrachten. Nun, wenn Sie ein inneres Produkt auf dem Raum haben, dann ( 1 , 0 ) Und ( 0 , 1 ) Vektoren sind wirklich gleich - es gibt eine Karte für Vektoren auf Eins-zu-Eins-Basis - aber dann die Unterscheidung zwischen ( R , S ) Und R + S Indizes wird albern. Der ( R , S ) wird nur gesprochen, wenn kein kanonisch wichtiges universelles inneres Produkt existiert, und dann gibt es keine Möglichkeit, einzelne Vektoren zu "dualisieren"!
Die Isomorphie gilt nur für die Räume. Wenn ich eine „lineare Form auf dem Raum von linearen Formen auf dem Raum V“ habe, kann ich sie mit einem Element von „V“ selbst identifizieren. Aber V und duales V - der Raum der (0,1)- und (1,0)-Vektoren - sind wirklich nicht isomorph zueinander, daher ist es völlig falsch, einzelne Vektoren in ihnen zu identifizieren.
Danke schön. Aber ich denke, mein Problem bleibt bestehen. Ich habe (1,0) Tensor als Covektor interpretiert verstanden, da (1,0) Tensordefinition und Covektordefinition zusammenfielen. Aber wie wäre es mit einem Vektor und (0,1) Tensor. Ich kann nicht verstehen, wie diese Objekte zusammenfielen.
Hallo, wenn ( 1 , 0 ) Tensor ist der Covektor, dann die ( 0 , 1 ) Tensor ist der duale, der Normalvektor oder Kontravektor oder wie auch immer man ihn nennen will.
Ich kann jedoch nicht verstehen, wie ein Vektor als lineare Funktion einer Funktion angesehen werden kann.
Sie haben geschrieben "Ich stimme zu, dass das Dual eines Duals eines Vektorraums isomorph zum Vektorraum ist" und es ist genau dieselbe Aussage. Sie sollten also entscheiden, ob Sie es verstehen oder nicht.
Isomorphismus zwischen zwei Räumen bedeutet, dass die Struktur zweier Räume, ohne sich auf ihre Elemente zu beschränken, gleich ist. Dies bedeutet nicht, dass ihre Elemente gleich sind. Beispielsweise sind zwei beliebige n-dimensionale Vektorräume isomorph. Bedeutet dies, dass ihre Elemente gleich sind?!
Ja, sie sind gleich. Es existiert ein kanonischer Isomorphismus. Ich stimme Ihnen zu, dass es zwischen den beiden Strukturen nicht eindeutige Isomorphismen geben kann, dh der Isomorphismus ist bis auf eine (große) Gruppe von Automorphismen unbestimmt, aber der Isomorphismus eines Raums und des Duals seines Duals ist absolut kanonisch. Ja, die Elemente sind die gleichen. Die Dualität ist nichts anderes, als den Index an die andere Stelle zu verschieben – von unten nach oben oder umgekehrt.
Es ist wirklich trivial, Ihnen zu zeigen, was die Form im Raum der Formen ist. Nehmen Sie einen Vektor V auf dem ursprünglichen Raum. Dann haben Sie Formen F auf dem dualen Raum, die Ihnen eine reelle Zahl F(V) geben. Nun möchte ich eine Form G auf dem Raum der Formen F, also G(F). Ich möchte für jede Form F eine reelle Zahl G(F), OK? Es ist einfach, eine "Form auf dem Raum der Formen" zu definieren, die eindeutig mit einem Vektor V auf dem ursprünglichen Raum verknüpft ist, nämlich durch G_V(F)=F(V). ;-) Für jedes V kann ich ein solches G_F definieren, das jeder Form F eine Zahl zuweist.
Nehmen wir den ursprünglichen Raum "reelle Zahlen". Stimmen Sie zu, dass die Elemente des Dualen des Dualen unseres Vektorraums "Funktionen" sind. Und "Zahlen" und "Funktionen" sind zwei verschiedene Dinge. Habe ich recht ?
Nein, mit dualem Raum meinen wir den Raum linearer Funktionen, und sie sind durch einen Parameter gegeben. Um Ihr Beispiel aufschlussreicher zu machen, betrachten Sie den ursprünglichen Vektorraum als den Raum von X Koordinaten in Metern. Also sind "x=5 Meter" und "x=-3 Meter" Elemente. Der duale Raum enthält lineare Funktionen F : X → R die offensichtlich die Form haben F = A X . Das Ergebnis ist reell, also ohne Einheit A muss Einheiten von inversen Metern durch dimensionale Analyse haben, OK? Deshalb können Sie die Elemente des ursprünglichen Raums nicht mit denen im dualen Raum identifizieren.
Aber beide dieser Räume sind eindimensionale Räume. Das Dual-zu-Dual enthält lineare Funktionen, die abgebildet werden A , mit den Einheiten der inversen Meter, zu reellen Zahlen. Es ist eindeutig nur die Multiplikation von A durch einen anderen Koeffizienten, dessen Einheit wieder 1 Meter ist. Diese können kanonisch mit den ursprünglichen Elementen x identifiziert werden. Versuchen Sie bitte, mehr zu denken, als fehlerreiche Ausreden zu erfinden. Dies ist meine letzte Antwort hier, weil die Zeit, die benötigt wird, um diese völlige Trivialität zu erledigen, zu lang geworden ist.
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