Intuition für die Formel der tangentialen Komponente der Beschleunigung in der allgemeinen krummlinigen Bewegung

Hier ist ein relativ einfaches Gedankenexperiment. Stellen Sie sich ein rotierendes Objekt vor, sagen wir einen Ball an einer Schnur, den Sie schwingen. Die Winkelbeschleunigung sei während des gesamten Versuchs Null. Sie halten die Schnur so, dass der Ball einen gewissen Radius hat$r_0$. Dann lässt du etwas mehr Schnur raus, sodass der Radius zunimmt$r_1$. Da die Winkelbeschleunigung Null ist, ändert sich die Winkelgeschwindigkeit nicht, also die Größe$r\omega$hat sich erhöht, was bedeutet, dass die Geschwindigkeit des Balls in der$\hat{\theta}$Richtung ist jetzt größer als bei dem kleineren Radius. Dies bedeutet, dass es eine Beschleunigung in der gab$\hat{\theta}$Richtung; das ist die$\dot{r}\omega$Begriff.

Mit anderen Worten, dieser Begriff ist darauf zurückzuführen, dass ein sich ändernder Radius bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit in tangentialer Richtung ändert, wenn die Winkelbeschleunigung Null ist.

Der Grund für die 2 ist viel tiefer; verweisen Sie dazu auf Farchers Kommentar zu Ihrer Frage.

Nachdem ich viele verschiedene Meinungen und Antworten gelesen habe, habe ich die richtige Intuition erlangt. Ich teile es hier nur, damit es jedem helfen kann, der wieder darüber stolpert.

Haftungsausschluss: Ich werde diese Antwort direkt über Flevins Gedankenexperiment aufbauen. Bitte lesen Sie es, falls Sie es noch nicht getan haben.

Ich werde die radiale Komponente völlig ignorieren, da die Intuition dafür ziemlich offensichtlich ist. In der folgenden Diskussion werde ich es ausschließen.

Nun, die tangentiale Komponente der Beschleunigung besteht am besten aus nicht 2, sondern aus drei verschiedenen Termen (bleiben Sie eine Sekunde bei mir, ich werde das klarstellen) -

$$a_t = (\alpha r) + (\omega \dot{r}) + (\omega \dot{r})$$ Von diesen 3 Begriffen ist der erste Begriff ziemlich offensichtlich und intuitiv. Lassen wir es also fallen, indem wir sagen, dass der Körper keine Winkelbeschleunigung hat (mit Hinweis auf das Gedankenexperiment von @flevinBombastus). Jetzt wird der Ausdruck -

$$a_t (\text{at constant} \space \omega) = 0 + (\omega \dot{r}) + (\omega \dot{r})$$

Nun, wie @flevinBombastus in seinem Gedankenexperiment zu Recht argumentiert hat, muss sich auch seine Tangentialgeschwindigkeit ändern, wenn sich der radiale Abstand der Partikel vom Ursprung ändert. Intuitiv (verdammt, auch rigoros) für$\Delta r$Radiusänderung, Tangentialgeschwindigkeit ändert sich um$\omega \Delta r$. Wir brauchen also eine Tangentialbeschleunigung von$\omega \dot{r}$um diese Änderung herbeizuführen. Dies erklärt den zweiten Term in unserem Ausdruck. Danke an @flevinBombastus' für das Gedankenexperiment, das mich auf diese wunderbare Idee gebracht hat.

Aber warten Sie, es scheint, als hätten wir bereits alles berücksichtigt, also woher kommt das noch?$\omega \dot{r}$Pop-up von? Das ist der knifflige Teil, aber absolut nicht nicht intuitiv. Hier ist die große Idee -

Fragen wir uns, was ist der Unterschied zwischen einer rein gleichförmigen Kreisbewegung und einer Bewegung, bei der wir eine Schnur langsam abspulen, wie in Flevins Gedankenexperiment beschrieben? Antwort : Es ist die Radialgeschwindigkeit. Es fehlt im Falle einer kreisförmigen Bewegung, ist aber im vorliegenden untersuchten Fall offensichtlich vorhanden. Unser Teilchen hat also diese Radialgeschwindigkeit, und wenn Sie darüber nachdenken, ist die Radialgeschwindigkeit ein rotierender Vektor. Aber , und hier ist die Essenz des Arguments, wenn die Radialgeschwindigkeit ein rotierender Vektor ist, impliziert dies, dass wir eine weitere tangentiale Beschleunigung benötigen, um ihre Richtung zu ändern! Nun kann durch explizite Rechnung gezeigt werden, dass die Beschleunigung, die erforderlich ist, um diese Drehung hervorzurufen, der Größe nach gleich ist$\omega \dot{r}$!!!!

Das heißt, das heißt ... dass auch der dritte Term unseres Ausdrucks enthüllt wird.

TL; DR, es gibt keinen Faktor von 2 in der "Coriolis" -Beschleunigung. Es besteht tatsächlich aus zwei Termen, die aus völlig unterschiedlichen Kontexten stammen – einer, der die Änderung der Tangentialgeschwindigkeit bewirkt, die aufgrund der radialen Bewegung des Teilchens entsteht, und der andere, um die Rotation des Radialgeschwindigkeitsvektors zu bewirken. Es kommt einfach so vor, sage ich gerne, dass sich zufällig herausstellte, dass die Größenordnung beider gleich war.