Irreduzible Darstellungen von SO(n)-Tensoren

Sie benötigen die Clebsch-Gordan-Zerlegung , zumindest in dem Fall$n = 3$. Der Grund, warum wir einen Rang zerlegen$2$Tensor in der Art, wie Sie beschreiben, ist das

$$\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} = \mathbf{2}\oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{0}$$

wobei die fettgedruckten Zahlen Spindarstellungen bezeichnen.

Hier ist ein bisschen detaillierter. In der Quantenphysik interessieren wir uns sehr für Darstellungen der Lie-Algebra von$SO(n)$nämlich$\mathfrak{so}(n)$. Der nützlichste Fall für physikalische Zwecke ist$n = 3$, wo es einen Isomorphismus gibt

$$\mathfrak{so}(3) = \mathfrak{su}(2)$$

Das Clebsch-Gordon-Ergebnis ergibt sich aus der Struktur der Darstellungen für$\mathfrak{su}(2)$. In Kürze,$\mathfrak{su}(2)$hat irreps$\mathbf{n}$für jede Halbzahl$n$. Jeder irrep hat$2n+1$charakteristische Etiketten, die als Gewichte bezeichnet werden , gleichmäßige Abstände dazwischen$-n$und$n$. Physikalisch interpretiert man diese als Komponente$j_3$von Spin.

Wenn Sie ein Tensorprodukt von Irreps nehmen, addieren sich die Gewichte, um Ihnen Gewichte für die Tensorproduktdarstellung zu geben. Ein Satz besagt, dass dies auf die einzige Weise, die alle diese Gewichte verbraucht, in die direkte Summe von Irreps zerfällt.

Falls das alles absurd klingt, machen wir ein konkretes Beispiel. Die von Ihnen erwähnten Tensoren sind Elemente von Tensorprodukten der Vektordarstellung von$\mathfrak{su}(2)$typisch bezeichnet$\mathbf{1}$. Wir wollen das Ergebnis darüber beweisen

$$\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} = \mathbf{2}\oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{0}$$

Brunnen$\mathbf{1}$hat Gewichte$+1,0,-1$Das Tensorprodukt wird also Gewichte haben

$$-2,-1,-1,0,0,0,+1,+1,+2$$

Dies sind alles Möglichkeiten, die Gewichte für zu addieren$\mathbf{1}$. Schreiben Sie diese Liste nun suggestiv um

$$-2,-1,0,+1,+2,\ \ \ \ \ \ -1,0,+1,\ \ \ \ \ \ 0$$

Dies sind nur die Gewichte für a$\mathbf{2}$plus die Gewichte für a$\mathbf{1}$plus die Gewichte für a$\mathbf{0}$.

Jetzt ist es nicht schwer zu identifizieren$\mathbf{2}$mit den spurlosen symmetrischen Matrizen,$\mathbf{1}$mit den antisymmetrischen und$\mathbf{0}$mit der Spur, um zu überprüfen, ob diese alle korrekt unter den relevanten Darstellungen transformiert werden.

Als Übung haben Sie jetzt alle Werkzeuge, um das zu beweisen

$$\mathbf{1} \otimes \mathbf{1} \otimes \mathbf{1} = \mathbf{3}\oplus \mathbf{2} \oplus \mathbf{1} \oplus \mathbf{0}$$

Können Sie diese im Hinblick auf die Zerlegung des Ranges identifizieren?$3$Tensor? Hinweis: Es gibt total symmetrische spurfreie Tensoren, total antisymmetrische Tensoren, einen Spurterm und Tensoren gemischter Symmetrie.

Hier ist eine gute Referenz für das Lie-Algebra-Zeug. Lassen Sie mich wissen, wenn Sie weitere Details benötigen!

PS Ich weiß nicht, was man allgemein tun kann$n\neq 3$. Die Clebsch-Gordanische Nettigkeit ist eine spezifische Eigenschaft von$\mathfrak{su}(2)$also erwarte ich, dass es ziemlich chaotisch wird. Vielleicht hat hier noch jemand Erfahrung?

Es gibt eine Online- Webseite, auf der Sie einige Ergebnisse über das Produkt erhalten können$2$Darstellungen: (Wählen Sie auf der ersten Seite Tensorproduktzerlegung und wählen Sie$Bx =SO(2x+1)$oder$Dx = SO(2x)$, wählen Sie dann auf der zweiten Seite die Dynkin-Indizes der 2 Darstellungen aus, und Sie erhalten die Dynkin-Indizes der Darstellungen, die in die Zerlegung eingehen).

(Wenn Sie das Produkt von 3 Darstellungen wollen, verwenden Sie 2 Schritte.)

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Aus einer anderen Referenz (Ref.: Pierre Ramond, Group Theory, A physicist's Survey, Cambridge) scheint es ein Muster zu geben, das (zumindest für$n \ge7$) die Multiplikation einer Fundamentaldarstellung$n$durch die (2-total antisymmetrische) adjungierte Darstellung :$\frac{n(n-1)}{2}$. Wir haben :

$$n \otimes \frac{n(n-1)}{2} = n \oplus \frac{n(n-1)(n-2)}{6} \oplus\frac{n(n^2-4)}{3}$$

Der zweite Term ist die 3-total antisymmetrische Darstellung. Wir haben zum Beispiel:

$$7_{(100)}\otimes 21_{(010)}=7_{(100)} \oplus35_{(002)} + \oplus105_{(110)}$$ $$8_{(1000)}\otimes 28_{(0100)}=8_{(1000)} \oplus56_{(0011)} + \oplus160_{(1100)}$$ $$9_{(1000)}\otimes 36_{(0100)}=9_{(1000)} \oplus84_{(0010)} + \oplus231_{(1100)}$$ $$10_{(10000)}\otimes 45_{(01000)}=10_{(10000)} \oplus120_{(00100)} + \oplus320_{(11000)}$$ wo die Dynkin-Indizes für die Darstellungen geschrieben werden.