Ist der Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel ein "billiger Trick"?

Gödel selbst machte sich Sorgen, dass seine Unvollständigkeitstheoreme eine Art billiger Trick seien, nur eine versteckte triviale Version des Lügnerparadoxons, aber die Verwendung von „diese Aussage ist nicht beweisbar“ anstelle von „diese Aussage ist falsch“. Also ich finde die Frage sehr gut.

Und obwohl ich die Theoreme sehr bewundere, lassen Sie mich einen anderen Sinn beschreiben, in dem der erste Unvollständigkeitssatz aus moderner Perspektive als billiger Trick angesehen werden kann: Es ist nur das verkleidete Halteproblem .

Lassen Sie mich erklären. Es ist vergleichsweise einfach zu beweisen (siehe unten), dass das Halteproblem unentscheidbar ist, das heißt, es gibt kein berechenbares Verfahren, das zuverlässig bestimmen kann, ob ein gegebenes Programm/Eingabe-Paar zu einer anhaltenden Berechnung führt. Nehmen wir nun an, dass T eine wahre Theorie mit einer berechenbar axiomatisierbaren Liste von Axiomen ist. Wenn T vollständig wäre, könnten wir das Halteproblem auf folgende Weise lösen: Bei gegebenem Programm p und Eingabe x durchsuchen wir systematisch alle möglichen Beweise von T entweder für die Aussage, dass p auf x anhält, oder für die Aussage, die behauptet dass p nicht auf x anhält. Wenn T wahr und vollständig ist, dann werden wir irgendwann einen solchen Beweis auf der einen oder anderen Seite finden. Somit können wir in endlicher Zeit ja oder nein sagen, ob p bei Eingabe x anhält. Dies widerspricht der Unentscheidbarkeit des Halteproblems. Also muss T doch nicht vollständig sein. Mit anderen Worten, es wird wahre Aussagen geben, die in T nicht beweisbar sind. Man kann den Beweis verwenden, um zu zeigen, dass es solche Aussagen der Form gibt, "dieses und jenes Programm hält nicht bei dieser und jener Eingabe an". Die Aussage ist in dem Sinne wahr, dass das Programm bei dieser Eingabe nicht anhält, aber wir sind nicht in der Lage, diese Aussage in T zu beweisen.

Dieser Beweis des Unvollständigkeitssatzes erlaubt es, auf die übliche und manchmal verwirrende Argumentation über das Gödel-Fixpunkt-Lemma zu verzichten und den Unvollständigkeitssatz stattdessen einfach als Version des Halteproblems zu enthüllen. Tatsächlich mögen viele Leser glauben, dass die selbstreferenziellen Aspekte des Fixpunktlemmas den Kern des Unvollständigkeitsphänomens bilden, aber dieser Beweis scheint die Selbstreferenz vollständig zu vermeiden (naja, er beschränkt den Selbstreferenzaspekt auf den Beweis der Unentscheidbarkeit des Halteproblems selbst).

Was also war Gödels wirkliche Leistung? Die vielleicht wichtigste Idee, die er in seinen Theoremen hatte, war die Arithmetisierung der Syntax, die Idee, dass Behauptungen der Zahlentheorie als Behauptungen über Behauptungen angesehen werden können. Diese Idee ist tiefgreifend, und ich habe sie oben im Argument des Halteproblems verwendet, indem ich annehme, dass die Behauptung, dass ein Programm anhält oder nicht anhält, als Aussage ausgedrückt werden kann, die in T bewiesen oder widerlegt werden kann. Die Arithmetisierungsidee wurde nun verwoben völlig in die moderne Perspektive, da wir alle wissen, dass die philosophischen Artikel, die wir auf unserem Computer schreiben, sowie Fotos, Musik, Videos und so weiter, die wir dort haben, letztendlich mit Nullen und Einsen im Computer dargestellt werden und so Es ist für uns ein einfacher Schritt, uns einen Artikel als wirklich eine sehr lange Folge von Bits vorzustellen, im Wesentlichen eine enorme Anzahl.

Beweis, dass das Halteproblem unentscheidbar ist. Wenn es eine berechenbare Prozedur gäbe, um zuverlässig zu bestimmen, ob ein gegebenes Programm/eine gegebene Eingabe anhält, dann entwerfe ein neues Programm q, das bei Eingabe p zuerst fragt, ob p bei Eingabe p anhält, und dann selbst das entgegengesetzte Verhalten ausführt. Daraus folgt nun, dass q genau dann bei Eingabe q anhält, wenn dies nicht der Fall ist, ein Widerspruch.

Gödels Unvollständigkeitssätze sind keine billigen Tricks im wahrsten Sinne des Wortes. Wenn Sie eine geniale Methode, mit der sonst niemand gerechnet hat, als "Trick" bezeichnen wollen, dann sei es so - aber sie ist keineswegs billig. Sehen wir uns noch einmal an, was Gödel in seinen beiden sogenannten Unvollständigkeitssätzen bewiesen hat. Ich werde die Theoreme informell formulieren, aber beachte, dass jeder einzelne Term in der Aussage ein formales und perfekt bestimmtes Gegenstück hat:

Gödels erster Unvollständigkeitssatz (G1T) Jedes ausreichend starke formalisierte System der Grundrechenarten enthält eine Aussage G, die von diesem System weder bewiesen noch widerlegt werden kann.

Gödels zweiter Unvollständigkeitssatz (G2T) Wenn ein formalisiertes System der Grundrechenarten konsistent ist, kann es seine eigene Konsistenz nicht beweisen.

Nun, wie ich es sehe, stellen Sie zwei Fragen:

1. Sind diese Theoreme „ernsthafte Argumente“?
2. Treiben sie die Philosophie voran?

Die Antwort auf beide Fragen ist ja. Ich beantworte sie der Reihe nach:

1. Das Argument selbst ist metamathematisch, was bedeutet, dass es eine Metasprache verwendet, um Dinge über die Objektsprache der gewöhnlichen Mathematik zu beweisen.

   Die Art und Weise, wie Gödel dies tut, ist, dass er seine Metasprache als eine versteht, die intuitive Begriffe der Arithmetik (der natürlichen Zahlen) zusammen mit einem Verständnis dafür enthält, was primitive rekursive Funktionen auf den natürlichen Zahlen sind. Mit dieser Metasprache beweist er, dass jede Formalisierung der Grundrechenarten ihre eigene Beweisbarkeitsrelation erfassen kann. Er definiert zunächst ein sogenanntes Gödel-Nummerierungsschema, in dem jeder Formel der Sprache in unserer Formalisierung eine eindeutige Nummer (in unserer Metasprache) zugewiesen wird.

   Er beweist dann, dass es eine formale einstellige offene Formel NotProv(x) gibt, die so interpretiert werden kann, dass sie bedeutet „x ist nicht beweisbar“, wobei x eine Ziffer in der Formalisierung ist (denken Sie daran, dass es sich um ein formales System der Grundarithmetik handelt es enthält also das Äquivalent intuitiver Zahlen, dh Ziffern), die einem bestimmten Satz in der Sprache über die Gödel-Nummerierung entsprechen.

   Nun können wir bei gegebenem NotProv(x) das tun, was Gödel eine Diagonalisierung nannte, nämlich NotProv(x) auf sich selbst anwenden, dh x als die Zahl nehmen, die der Formel NotProv(x) entspricht. Nennen Sie den resultierenden Satz G = NotProv(NotProv). Und da NotProv(x) sagt, dass 'x unbeweisbar' ist, können Sie sehen, dass G sagt 'ich bin unbeweisbar'. Und etwas, das sagt, es sei unbeweisbar, kann weder bewiesen noch widerlegt werden.

   Dies ist eine sehr schnelle und informelle Art, das Argument zu präsentieren - normalerweise müsste man zwischen der semantischen und der syntaktischen Version des Theorems unterscheiden. Aber der Punkt ist, dass hier, wie Sie sehen, ernsthafte und rigorose Arbeit geleistet wird.

   Der Beweis von (G2T) ist ähnlich. Mit NotProv(x) können Sie einen 'Konsistenzsatz' für Ihre gegebene Formalisierung definieren, indem Sie NotProv(0=1) schreiben, dh einen Satz, der sagt 'Kein Widerspruch ist beweisbar', was äquivalent zu 'Dieses System ist konsistent' ist. Und mit einem ähnlichen, aber technisch subtileren Argument können Sie argumentieren, dass dieser Satz nicht beweisbar ist, da das System tatsächlich konsistent ist.

2. Das zweite Theorem ist wohl epochaler als das erste, weil es das Ende von Hilberts Programm bedeutete . Dies ist eine große philosophische Verschiebung in der Philosophie der Mathematik, die im Wesentlichen das Ende der philosophischen Schule des Formalismus bedeutet.

   Darüber hinaus haben Leute argumentiert, dass (G1T) beweist, dass wir die arithmetische Wahrheit niemals vollständig erfassen können, da eine weitere Konsequenz von (G1T) ist, dass der Satz G tatsächlich wahr ist, und daher können wir schlussfolgern, dass jede Formalisierung der Arithmetik Aussagen enthalten wird, die wir können siehe, wahr sind, die aber in diesem System nicht beweisbar sind.

   Dies hat Leute wie Michael Dummett (ein Intuitionist) dazu veranlasst, die arithmetische Wahrheit als „unendlich erweiterbar“ zu bezeichnen (vgl. Dummett „The Philosophical Significance of Godel's Theorem“). Leute wie Lucas und Penrose haben sowohl (G1T) als auch (G2T) verwendet argumentieren zugunsten einer sogenannten antimechanistischen These, dass Geister keine Maschinen sein können (vgl. Penrose „The Emperor’s New Mind“ und Lucas „Minds, Machines and Godel“).

Im Allgemeinen muss ich sagen, dass die philosophische Bedeutung von (G1T) und (G2T) nicht hoch genug eingeschätzt werden kann. Es waren Ereignisse von monumentaler Bedeutung für die analytische Philosophie, für die Philosophie und Praxis der Mathematik sowie für Theorien des Rechnens und der Maschinen. Die meisten Menschen (insbesondere idiotische und ignorante kontinentale Postmodernisten, die es sich zum Sport gemacht haben, Mathematik bei ihrem Streben nach alternativen Vokabeln zu missbrauchen) geben sie als Tricks ab, weil sie sich nicht die Mühe gemacht haben, sich die tatsächlichen technischen Details anzusehen und denken, dass die Idee der Beweis gibt ihnen ein perfektes Verständnis seiner Implikationen. Popularisierungen werden den Theoremen nicht wirklich gerecht.

Wenn Sie daran interessiert sind, empfehle ich Ihnen, das gesamte Argument durchzugehen – der Moment der Offenbarung, wenn es zusammenklickt, ist so nah an einer ästhetischen Erfahrung, wie Sie es wahrscheinlich jemals haben werden, wenn Sie formale Logik machen.

Da sich noch niemand auf die andere Seite gestellt hat, versuche ich mich mal an Devil's Advocate. Denken Sie daran, dass ich kein Mathematiker bin, daher wird die Antwort wahrscheinlich Fehler enthalten, und ich bin dieser Ansicht nicht verpflichtet, aber daran interessiert, dass die Debatte zu einer Debatte wird. Außerdem stammt mein Verständnis von Gödels Werk größtenteils aus meiner Lektüre von Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid von Douglas Hofstadter. Als solches könnte dies eher eine Kritik an Hofstadters Buch als an Gödels Unvollständigkeit sein. Achtung Lektor !

Erstens akzeptiere ich seinen Wert in der Mathematik. (Wie könnte ich auch nicht?) Ich möchte darauf hinweisen, dass Gödels Arbeit das Principia Mathematica -Projekt zu beenden schien, was der Artikel vielleicht mit "Erschrecken [von] Mathematikern in den dreißiger Jahren" meint. Darüber hinaus legt der Wikipedia-Artikel über die Grundlagen der Mathematik nahe, dass die Unvollständigkeitstheoreme die Mathematik von Hilberts Programm des Formalismus abgelenkt haben :

In gewissem Sinne ist die Krise nicht gelöst, sondern abgeklungen: Die meisten Mathematiker arbeiten entweder nicht mit Axiomensystemen, oder wenn sie es tun, zweifeln sie nicht an der Konsistenz von ZFC, ihrem allgemein bevorzugten Axiomensystem. In den meisten praktizierten mathematischen Verfahren haben die verschiedenen logischen Paradoxien sowieso nie eine Rolle gespielt, und in den Zweigen, in denen sie eine Rolle spielen (wie Logik und Kategorientheorie), können sie vermieden werden.

Zweitens akzeptiere ich, dass die Theoreme tatsächlich wahr sind. Dafür bin ich GEB zu großem Dank verpflichtet , was vielleicht eine Popularisierung ist, aber auch so etwas wie ein „ästhetisches Erlebnis“ in mir hervorgebracht hat. Die bemerkenswerte Idee, dass ein formales System dazu gebracht werden kann, sich selbst zu bewerten, und dass eine solche selbstreferenzielle Operation impliziert, dass das System dadurch unvollständig wird, erfasste mich, als ich es las und verstand. Darüber hinaus scheint das Konzept unausweichlich zu sein, weil es so ist.

Was uns also bleibt, ist die Anwendung der Gödel-Unvollständigkeit außerhalb der Mathematik.
Und je mehr ich darüber nachdenke, desto mehr denke ich: "Na und?" Offensichtlich ist es eine große Hilfe, wenn Sie sich in einem Dialog mit jemandem befinden, der ein vollständiges, konsistentes, sich selbst bestätigendes Gedankensystem schaffen möchte. Aber da wir alle im chronologischen Sinne postmodern sind, scheint das nicht allzu oft ein Thema zu sein. Und natürlich wird Gödels Arbeit für diejenigen von unschätzbarem Wert sein, die nach den Grenzen der künstlichen Intelligenz suchen oder sich fragen, ob es ein mechanisches Modell gibt, das einen Geist simulieren kann.

Wenn ich versuche, die Ideen im Kontext der intellektuellen Landschaft zu verstehen, fühle ich mich, als würde ich aus einem schönen Traum erwachen. Es war tiefgreifend und überzeugend, als ich in seinen Bann gezogen wurde, aber jetzt schüttele ich die Schläfrigkeit ab und frage mich, wie sich die Kernidee vom Epimenides-Paradoxon unterscheidet:

Sie errichteten dir ein Grab, oh Heiliger und Hoher
. Die Kreter, immer Lügner, böse Bestien, müßige Bäuche!
Aber du bist nicht tot: du lebst und bleibst für immer,
denn in dir leben und bewegen wir uns und haben unser Sein.

– Epimenides, Cretica

Sicherlich ein interessantes Rätsel, aber nicht wirklich etwas, worauf man eine philosophische Argumentation aufbauen könnte. Was mich glauben lässt, dass Gödel oft von Nicht-Mathematikern zitiert wird, weil er ein berühmter Mathematiker mit einem Umlaut in seinem Namen ist. Und das, da sind wir uns wohl alle einig, wäre ein billiger Trick.

Das Grundunternehmen zeitgenössischer Literaturkritik ist eigentlich ganz einfach. Es basiert auf der Beobachtung, dass man mit einer ausreichenden Menge geschickter Handbewegungen und kunstvoller Wortwahl jedes Geschriebene als Aussage über irgendetwas interpretieren kann.

Dies ist eine Degeneration von Derridas Dekonstruktion, die als Angriff auf die damals dominante (und stagnierende) Schule des Strukturalismus oder als Weg daran vorbei angesehen werden könnte. Um eine mathematische Analogie zu verwenden: In der Mathematik geht es (in gewissem Sinne) um axiomatische Systeme, aber das bedeutet nicht, dass jedes axiomatische System gleichwertig ist. Ebenso ist nicht jede Interpretation einer Schrift gleichwertig. Geschmackliche Urteile müssen noch gefällt werden.

Die breitere Bewegung, die unter dem Etikett „Postmodernismus“ läuft, verallgemeinert dieses Prinzip vom Schreiben auf alle Formen menschlicher Aktivitäten, obwohl Sie bei der Anwendung dieses Etiketts vorsichtig sein müssen, da eine postmoderne Standardtaktik, sich der Kritik zu entziehen, darin besteht, zu versuchen, metaphysische Verwirrung zu schüren indem sie die Idee von Labels und Kategorien in Frage stellen.

Die Postmoderne ist eine Befragung und Reaktion der Moderne; ebenso wie die Romantik eine Reaktion auf die frühe Moderne war. Rückblickend kann es irgendwann als Teil der Moderne angesehen werden. Es ist wirklich zu früh, um das zu sagen (obwohl man es natürlich tut).

"Dekonstruktion" basiert auf einer Spezialisierung des Prinzips, bei der ein Werk als Aussage über sich selbst interpretiert wird, indem eine literarische Version desselben billigen Tricks verwendet wird, mit dem Kurt Gödel in den dreißiger Jahren versucht hat, Mathematikern Angst einzujagen.

Bei der Dekonstruktion geht es in etwa darum, vorherrschende Interpretationsweisen auf verschiedene Arten umzukehren, und es ist keine neue Technik: Schließlich hat Marx Hegel umgedreht, um eine Kritik des Kapitalismus zu präsentieren. Man könnte sagen, dass Dekonstruktion sowohl ein literarisches als auch ein politisches Werkzeug ist.

Der Satz von Gödel ist aus mathematisch-logischer Sicht kein billiger Trick, aber sicherlich wurde er von philosophischen und mathematischen Strichern als billiger Trick verwendet. Paradoxien und Antinomien wurden von ernsthaften philosophischen Denkern wie Hegel und Kant (nur nebenbei) im Westen verwendet; und von Nagarjuna und dem Daoismus im Osten.

Gödels Leistung ist im Kontext ein Teil der Wiederbelebung der formalen Logik seit Frege, er führte neue Techniken und Fragen in die mathematische Logik ein. Die meisten populären Darstellungen verfehlen jedoch die Bedeutung von Paradox und binden es in den größeren Rahmen des paradoxen Denkens in der Philosophie ein – sie begnügen sich mit einer Darstellung von Gödels Beweis, während seine Hauptideen in ziemlich einfachen Begriffen erklärbar sind – wie sie sein sollten – und das tun sie auch geben nicht das größere und breitere Bild der mathematischen Logik wieder: kategoriale Logik, intuitionistische Logik, inkonsistente Mathematik, Parakonsistenz und so weiter.

Es gibt eine unglaubliche Menge an Geschwätz über den Satz von Gödel , so wichtig es auch ist, was neben der unglaublichen Menge an Geschwätz um die Dekonstruktion betrachtet werden sollte, so wichtig das auch ist.

Eines der Elemente des Badious-Programms besteht darin, diese wortreiche und metaphysische Idiotie zurückzudrängen, indem die Mathematik zum Ort der Ontologie gemacht wird. Aber man sollte beachten, dass sein Buch Being & Event auf das Ereignis von Derrida in dem Papier verweist, das er an der Columbia University präsentierte, das den Strukturalismus konsolidieren sollte, aber tatsächlich zu einem Sprungbrett für die Dekonstruktion wurde.

Obwohl das Gödelsche Theorem gewöhnlich als Todesstoß der mathematischen Logik dargestellt wird, wurden Wege daran vorbei gefunden; bestimmte Teile seines Programms abgeschlossen sind. Zum Beispiel Gentzens Beweis der Konsistenz von PA, parakonsistente Logik hilft, Widersprüche in der rationalen Architektur der Mathematik zu überwinden, indem sie sie lokalisiert.

Es scheint eine allgemeine Tendenz zum logischen Pluralismus zu geben, die als Ergebnis des Programms des logischen Monismus von Hilberts nach einem Jahrhundert des Denkens angesehen werden könnte.

Weit davon entfernt, dass die Postmoderne belanglos ist, kann man sehen, dass die große Erzählung des logischen Monismus, die als Teil des modernistischen Projekts angesehen werden kann, postmodern geworden ist, indem sie sich in Richtung des logischen Pluralismus bewegt hat. Nicht das Eine, sondern das Vielfache.

Ich denke, Sie haben Recht: Der Unvollständigkeitssatz ist ein vollkommen gültiges mathematisches Ergebnis und von großem Wert in der Mathematik, wo er seinen Ursprung hat.

Hinsichtlich seiner "philosophischen Bedeutung" ... ist die Diskussion beeindruckend und der Schluss fehlt noch.

Dies ist - denke ich - ein allgemeines Muster: Im 17. Jahrhundert brachte das Gravitationsgesetz von Newton (ein vollkommen gültiges mathematisches Ergebnis, bewiesen aus Newtons Axiomen (dem Bewegungsgesetz) und mit einer guten Anpassung an empirische Beweise) eine große Diskussion zwischen Philosophen (Newtonianer vs. Leibnitianer) über die Natur der Kraft (existieren sie wirklich?), absoluter Raum, Gegenwart Gottes in der physischen Welt ...

Dasselbe in Bezug auf die Gesetze der Quantenmechanik und den Determinismus usw.

Dasselbe gilt für Gödels Theoreme: INNERHALB der Mathematik geben sie uns viele Informationen. AUSSERHALB der Mathematik schlagen sie Ideen bezüglich (zum Beispiel) des menschlichen Geistes und Wissens vor, aber es ist sehr schwer zu glauben, dass sie (wie in früheren historischen Beispielen) große philosophische Probleme "lösen" können.

Nein, es ist kein billiger Trick, wenn Sie verstehen wollen, ob etwas wahr oder sowohl wahr als auch beweisbar ist. Können Sie zum Beispiel nachweisen, dass Sie keinen Beweis haben? Wenn Sie können, dann haben Sie einen Beweis und der Beweis ist falsch. Es könnte also wahr sein, dass es keinen Beweis gibt, aber wenn Sie versuchen, es zu beweisen, beweist es das Gegenteil von dem, was Sie beweisen wollen.

Aber ja, es ist ein billiger Trick, da Konsistenz kein ausreichendes Merkmal ist. Konsistenz könnte durchaus ein notwendiges Merkmal sein, aber Sie können ein Gegenbeispiel anführen, das widerlegt, dass Konsistenz genug Information ist.

Konsistenz scheint nur zu bedeuten, dass Sie eine falsche Aussage nicht beweisen können und dass das, was Sie beweisen, auch wahr sein muss.

Sich als Lügner zu beweisen, indem man nicht die Wahrheit sagt, ist ein altes Paradoxon, das dem Gesetz der ausgeschlossenen Mitte widerspricht, und eine Lösung für Selbstreferenzen besteht darin, Selbstreferenzen vollständig zu vermeiden, damit alles Wahre bewiesen werden kann und umgekehrt alles beweisbar ist WAHR.

Zum Beispiel ist eine Tautologie wahr (A=A ist wahr), aber eine Tautologie beweist nichts. A=A ist also wahr und beweist nichts. Daher können typischerweise falsche Aussagen („Peter ist nicht er selbst“ ist wie „A ist nicht A“) aufgrund von Ähnlichkeit statt Gleichheit beweisbarer sein als exakte Wahrheiten (A=A).

Es ist eine wichtige Herausforderung.

Nach der Typentheorie gehört jeder Satz einer bestimmten Ordnung an. Im ursprünglichen Gödel-Satz G ist die Reihenfolge von G mehrdeutig.

Der ursprüngliche Satz

 ~(T -> G)

sollte eine gleichzeitige Behauptung mehrerer Sätze dieser Art sein:

 ~(T -> Gn), where n is a natural number, 
             and Gn stands for "G of the nth order."

Sei G für die Reihe von „ist nicht beweisbar durch T“: G1, G2, G3, ..., Gn, ...

Sei S für die Korrelationsfunktion „ist nicht beweisbar durch T“

Dann ist G2 = S(G1); G3 = S(G2); G4 = S(G3); ... Daher

 G = G1, G2, G3, G4, ... 
S;G= G2, G3, G4, G5, ...

wo ; ist eine PM-Notation zum Anwenden einer Korrelationsfunktion auf eine Reihe; G kann nicht als eine Klasse behandelt werden, da keine zwei Gs von derselben Ordnung sind (es gibt viel Raum für Erweiterungen in der Typentheorie, bis heute und durch die Typentheorie kann ich nicht einmal Sätze wie " zwei G's".).

Da es kein G1 gibt, sind S;G und G die gleiche Reihe. (Mir ist klar, dass G1 ein Problem ist; wenn logische Typen auch nach unten unendlich erweitert werden können , dann ist diese Lösung vollständig.)

Und G sollte gelesen werden als:

Diese Reihe von Aussagen kann durch die Theorie T nicht bewiesen werden.

Beachten Sie, dass die Eingabe "diese Reihe von Anweisungen" und die Ausgabe des obigen Satzes identisch sind. Es scheint selbstreferenziell zu sein, aber es ist nicht individuell; es ist dieselbe Reihe nach rechts verschoben; In ähnlicher Weise führt das Hinzufügen von 1 zu der Reihe von ganzen Zahlen zu derselben Reihe.

Wenn die Reihenfolge von G ausgeschrieben ist, ist G eine gleichzeitige Behauptung der folgenden Sätze:

The first order statement G1 in this series cannot be proved. 
- this is the 2nd order statement G2, which is False
  because there is no G1. Gn is a statement about a statement, 
  and a statement about a statement is at least 2nd order.


The 2nd order statement G2 in this series cannot be proved.
- this is the third order statement G3, which is True 
  because we just showed G2 is false.


The 3rd order statement G3 cannot be proved.  - G4
---False, we just showed G3 is true.

    So on so forth.

Siehe Paradoxon des Lügners in Principa Mathematica

Nimmt man dagegen G wörtlich, ist es nach der Typenlehre Unsinn:

Kein Satz kann etwas über sich selbst aussagen, weil das Satzzeichen nicht in sich selbst enthalten sein kann (das ist die „ganze Typenlehre“).

Wittegenstein, Tractatus 3.332

Ich werde versuchen, dieses Argument mithilfe der Propositionsabhängigkeit zu analysieren. Aber warum muss die Abhängigkeit vom Satz? Weil der Satz mit Existenzen verbunden sein muss oder er bedeutungslos ist, und wie eine Existenz mit einer anderen Existenz durch eine Abhängigkeit verbunden ist.

Angebotsabhängigkeit:

• Ein Satz wird konstruiert, um Realitäten (Existenzen) zu verstehen. Existenzen können von uns aufgrund ihrer Funktionalität wahrgenommen werden, daher existieren Knoten einer Proposition als Funktionen.

• Alles, was existiert, hat Funktionalität. Es gibt zwei Möglichkeiten; Abhängigkeit von etwas anderem (A->B) oder „nicht“ Abhängigkeit von etwas anderem (A|B).

• Daher besteht ein „Vorschlag“ aus Knoten von Funktionen, die eine Reihe von Abhängigkeiten bilden

Bedingungen:

• Ursache = (c)
• Verursacht = (cd)

Lügner-Paradoxon

Ein Beispiel für die Verwendung der Propositionsabhängigkeit kann implementiert werden, um dieses Problem zu analysieren, ein Lügnerparadoxon.

Lügnerparadox: "Er sagt die Wahrheit, dass er lügt, also lügt er nicht."

Syllogismus

1. H dann T = (c1) -> (cd1) (Wenn es ihn gibt, dann gibt es etwas zu sagen)
2. T dann Ac = (cd1) -> (cd2) (Wenn es etwas zu sagen gibt, dann gibt es eine Aktion von ihm selbst)
3. H dann Ac = (c1) -> (cd2) (Wenn es ihn gibt, dann gibt es eine Aktion von ihm selbst - die Wahrheit sagen)
4. Ac dann Ev = (cd1) -> (cd3) (Wenn es eine Aktion von ihm gibt, dann gibt es ein anderes Ereignis, das nie passiert ist, wie er es gesagt hat - er lügt)
5. H dann Ev = (cd1) -> (cd3) (Daher, wenn es ihn gibt, dann gibt es ein anderes Ereignis, das nie passiert ist, wie er gesagt hat - er lügt)

• „Er lügt nicht“ ist kein Widerspruch zu „Er lügt (H dann Ev), weil „Er lügt nicht“ auf (H dann Ac) zeigt.

• H dann Ac = (cd1) -> (cd2) ist Linie mit H dann Ev = (cd1) -> (cd3)

Daher gibt es hier keinen Widerspruch & Paradoxon.

Unvollständigkeitssatz

Unvollständig, weil es eine Art Satz gibt, der noch zu beweisen ist.

Ich verstehe nicht ganz, wie Gödel mit seiner Gödelschen Zahl und mehr argumentiert hat, aber ich habe versucht, die Essenz dessen zu verstehen, was Gödel mit dem Unvollständigkeitssatz meinte. Durch mein einfaches Verständnis von Gödels Unvollständigkeitssatz habe ich versucht, mich weiter zu vertiefen, um eine klare Unterscheidung zu sehen und sie an geeigneten Stellen zu platzieren.

Kurt Gödel Logischer Rahmen

Angenommen, es gibt ein Programmiersystem, das jede Behauptung beweisen kann, also:

1. Ein Satz ist immer beweisbar (durch ein Programmiersystem)
2. "G" ist ein Satz
3. Daher ist "G" immer beweisbar"

• "G" ist ein unbeweisbarer Satz
• Also "unbeweisbare Behauptung ist beweisbar"

Syllogismus

1. (Alle)P sind beweisbar
2. G ist P
3. G ist beweisbar

• G = unbeweisbarer Satz

Konsequenzen

• Wenn G beweisbar ist, dann = unbeweisbar Satz ist beweisbar = INKONSISTENZ.
• Wenn G unbeweisbar ist, dann = unbeweisbare Aussage ist unbeweisbar = UNVOLLSTÄNDIG (weil eine unbeweisbare Aussage zurückbleibt)

Abhängigkeitssatz für Unvollständigkeitssatz

Nun versuchen wir, dieses Problem des Unvollständigkeitssatzes in eine Abhängigkeit des Satzes zu bringen, um etwas zu lernen, was auch immer es ist.

Kurt Gödel Logischer Rahmen

Syllogismus

G = Unbeweisbarer Satz

1. (Alle)P dann Pr = Alle(cd1) <- (c1)

(Wenn es alle Sätze gibt, dann sind diese beweisbar)

2. (mehrere)P dann G = mehrere(cd1) -> (cd2)

(Wenn es einige Sätze gibt, dann sind mehrere Sätze typisch G)

3. G dann Pr = (cd2) <- (c1)

(Wenn einige Aussagen typisch G sind, dann sind diese beweisbar)

• G = unbeweisbarer Satz

Konsequenzen

INKONSISTENT

• Wenn G beweisbar ist, dann = unbeweisbar Satz ist beweisbar = INKONSISTENZ.

Von hier aus werde ich die Abhängigkeit vom Satz verwenden, um uns eine klare Unterscheidung für eine mögliche Anordnung zu ermöglichen (einfacher als die Verwendung von Syllogismen).

• (mehrere)P -> ~Pr = mehrere(cd1) | (c1) = "unbeweisbarer Satz"

(ein Satz hat keine Beziehung zu beweisbar)

• {(mehrere)P -> ~Pr} dann Pr = mehrere(cd1) | (c1) <-> (c1) oder (c1) -> mehrere(cd1) | (c1)

(Wenn es einige Aussagen gibt, die keine Beziehung zu beweisbar haben, dann sind diese beweisbar) = (Wenn es einige Aussagen gibt, die keine Beziehung zu beweisbar haben, dann haben diese Aussagen eine Beziehung zu beweisbar )

• Vom Syllogismus wird behauptet, dass es einen Widerspruch gibt

• Aus der Abhängigkeit des Satzes {mehrere(cd1) | (c1) <-> (c1)} oder {(c1) -> mehrere(cd1) | (c1)} behauptet

• mehrere(cd1) | (c1) <-> (c1) = mehrere(cd1)

• (c1) -> mehrere(cd1) | (c1) = (c1) -> mehrere(cd1) = mehrere(cd1) <- (c1)

Hier liegt ein Widerspruch vor (laut Syllogismus) und hier keine Widersprüchlichkeit (laut DOP).

UNVOLLSTÄNDIG

• Wenn G unbeweisbar ist, dann = unbeweisbar Satz ist unbeweisbar = UNVOLLSTÄNDIG.

Von hier aus werde ich die Abhängigkeit vom Satz verwenden, um uns eine klare Unterscheidung für eine mögliche Anordnung zu ermöglichen (einfacher als die Verwendung von Syllogismen).

• (mehrere)P -> ~Pr = mehrere(cd1) | (c1) = "unbeweisbarer Satz"

(ein Satz hat keine Beziehung zu beweisbar)

• {(mehrere)P -> ~Pr} dann ~Pr = mehrere(cd1) | (c1) | (c1) oder (c1) | mehrere(cd1) | (c1)

(Wenn es einige Aussagen gibt, die keine Beziehung zu beweisbar haben, dann sind diese nicht beweisbar) = (Wenn es einige Aussagen gibt, die keine Beziehung zu beweisbar haben, dann haben diese Aussagen keine Beziehung zu beweisbar )

• Vom Syllogismus wird behauptet, dass es keinen Widerspruch gibt

• Aus der Abhängigkeit des Satzes {mehrere(cd1) | (c1) | (c1)} oder {(c1) | mehrere(cd1) | (c1)} behauptet

• mehrere(cd1) | (c1) | (c1) = mehrere(cd1)

• (c1) | mehrere(cd1) | (c1) = (c1) | mehrere(cd1) = mehrere(cd1) | (c1)

Hier gibt es keinen Widerspruch (laut Syllogismus) und keine Widersprüchlichkeit (laut DOP).

Elektrischer Kreislauf des Denkens

Um diese Behauptung klar genug zu machen, um verstanden zu werden, werde ich ein populäres Beispiel verwenden,

• Ein Satz ist (das Licht) und beweisbar ist (Einschalten)

• (Unbeweisbarer Satz) ist gleich (das Licht, das nicht eingeschaltet werden kann)

• Unbeweisbarer Satz, der beweisbar ist = Ein Licht, das nicht eingeschaltet werden kann, hat versucht, eingeschaltet zu werden

• Ein Licht, das nicht eingeschaltet werden kann, hat versucht, eingeschaltet zu werden, daher war kein Licht an.

• Das Schlüsselverständnis in diesem Fall ist, dass ein System immer noch die Fähigkeit hatte, eine Verbindung zu testen (Fähigkeit zu beweisen, Fähigkeit, Elektrizität zu senden), aber da nicht versucht werden kann, ein Ziel (nicht beweisbare Aussage) einzuschalten, dann das Licht ( unbeweisbarer Satz, das Licht, das nicht eingeschaltet werden kann) ist immer noch aus. Aber es wurde nicht behauptet, dass ein System nicht voll funktionsfähig war.

• Dass man sich dessen nicht bewusst ist, liegt daran, dass auf semantischer Ebene ein Satz zum anderen mehrdeutig werden kann, ohne dass eine klare Unterscheidung über seine eigene Barriere besteht. Sondern indem man es Existenzen zuordnet (jenseits der semantischen Ebene). Wir haben schließlich festgestellt, dass es keine Konsistenz und keine Unvollständigkeit gibt, wie es das Gödel-Unvollständigkeitstheorem behauptet.

In der Tat können wir (durch eine andere Richtung) die Wahrheit verstehen, dass, wenn wir eine wohldefinierte Aussage machen wollen, diese vollständig, aber inkonsistent sein muss, und eine Aussage konsistent, aber nicht vollständig ist. Aber der Satz von Kurt Gödel hat nichts mit Unvollständigkeit und Widersprüchlichkeit zu tun.

Der Satz von Gödel ist (basierend auf) einem billigen Trick . Aber das Geniale daran ist, „die Welt in einem Sandkorn zu sehen … und die Unendlichkeit in deiner Handfläche“. Mit anderen Worten, es ist nicht der Trick selbst, der beeindruckt, sondern dass Gödel in der Lage war, die Implikationen des Tricks für die Grundlagen der Mathematik und Logik zu erkennen UND diese rigoros zu demonstrieren . Wenn wir alle nur so viel Weisheit aus einer Version eines Paradoxons ziehen könnten, die vor Tausenden von Jahren alltäglich war.

Was die Analogie zum Dekonstruktivismus angeht, würde ich die Lektion wagen, dass, wenn Sie etwas als trivial abtun, es tatsächlich so sein kann, dass Sie es einfach nicht verstehen .

Die Theoreme hatten ernste Implikationen. Sie haben den logischen Positivismus ziemlich zerstört und damit – wieder einmal – bewiesen, dass es unmöglich ist, ein 100% rationales Glaubenssystem zu haben (rationale Mittel , die allein durch Logik und Vernunft erklärbar sind).

Letzteres war spätestens seit Descartes' cogito ego sum bekannt , der unser Wissen streng genommen auf die Existenz von uns selbst (unseres denkenden Selbst) beschränkte – und damit völlig freiheitsberaubt.

Glücklicherweise haben wir eine andere Option, die in der Praxis genauso gut ist wie 100 % Rationalität. Wir können es beheben, indem wir eine einzige und fast natürliche Annahme darüber machen, dass wir a ) wach sind und b) in der Lage sind, es herauszufinden. (so natürlich, dass nur wenige wissen, dass es sogar eine Annahme gab). Insbesondere gehen wir davon aus, dass wir mit anderen Worten die Existenz einer objektiven und erklärbaren Realität annehmen, die wir alle teilen und zu der wir alle gehören.

Das ist auch Søren Kierkegaards „Glaubenssprung“ – eigentlich, weil die objektive und durch lógos erklärbare Realität in sehr alten Zeiten als Gott bezeichnet wurde. Mit dieser Grundvoraussetzung können wir unsere Erfahrungen allein durch die Vernunft erklären .

  “ Am Anfang war der Lógos, und der Lógos war bei Gott, und der Lógos war Gott. Am Anfang war es bei Gott. Durch sie wurde alles gemacht; ohne sie wurde nichts gemacht. Darin war Leben, und dieses Leben war das Licht der Menschen. Und das Licht leuchtete in der Dunkelheit, doch die Dunkelheit begriff es nicht. – Johannes 1:1-5

Unter der Annahme, dass die Essenz des Unvollständigkeitssatzes von 1931 durch Wittgensteins und Gödels Charakterisierung genau zusammengefasst wird:

„Ich habe in Russells Symbolik einen Satz konstruiert (ich werde ,P‘ verwenden, um ihn zu bezeichnen), und durch bestimmte Definitionen und Transformationen kann er so interpretiert werden, dass er sagt:
,P ist in Russells System nicht beweisbar‘.“ (Wittgenstein :1983:118-119)

Stimmt mit Gödels eigener Charakterisierung überein:

Wir stehen also vor einem Satz, der seine eigene Unbeweisbarkeit behauptet. (Gödel:1931:40).

Wenn wir diese beiden dann kombinieren, erhalten wir:
P sagt von sich selbst, dass es in Russells System nicht beweisbar ist

Dies lässt sich leicht in der Sprache der automatisierten Theorembeweiser formalisieren (siehe X=𝑓(X) unten) :
P = ¬Provable(RS, P)

Vorkommensprüfung
Anwendung beim Theorembeweisen
Beim Theorembeweisen kann die Unifikation ohne die Vorkommensprüfung zu einer unzuverlässigen Schlussfolgerung führen. Zum Beispiel wird das Prolog-Ziel X = 𝑓 (X) erfolgreich sein und X an eine zyklische Struktur binden, die kein Gegenstück im Herbrand-Universum hat.

Nun sehen wir, dass, wenn Wittgenstein und Gödel die Essenz von Gödels logischem Satz genau zusammenfassen, dass dieser Satz unendliche Rekursion (eine zyklische Struktur) spezifiziert, somit kein Wahrheitsträger ist.

Wittgenstein, Ludwig 1983 . Bemerkungen zu den Grundlagen der Mathematik (Anhang III), 118-119. Cambridge, Massachusetts und London, England: The MIT Press

Gödel, Kurt 1931 . Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Seite 39-41.