Ist die gravitative Chern-Simons-Aktion "topologisch" oder nicht?

Ich denke, die Aussage in Wittens Artikel "Quantum Field Theory and the Jones Polynomial", die besagt, dass der Begriff in dem Sinne topologisch ist, dass er tatsächlich unabhängig von der Metrik ist. Er erwähnte jedoch auch, dass Sie, um diese Integration sinnvoll zu machen, dh sie zu einer Zahl zu machen, eine Trivialisierung des Tangentenbündels wählen müssen, dh einen Rahmen wählen müssen. Das Schwierige ist, dass die Aktion nicht unveränderlich ist, wenn der Rahmen verdreht wird. In diesem Sinne ist das gravitative Chern-Simons tatsächlich eine topologische Invariante der 3-Mannigfaltigkeit mit gewähltem Rahmen.

Nun, wenn Sie wirklich topologische Invarianten wollen, können Sie einen geeigneten Koeffizienten wählen, um ihn unabhängig von der Rahmenbildung zu machen. ZB in der von Ihnen erwähnten Zeitung, wenn Sie möchten$c=24$, ist die Partitionsfunktion unabhängig von der Rahmung.

Klassisch sind sie eindeutig topologisch. Die Metrik wird nicht angezeigt, und Sie benötigen keine Metrik, damit die Integration auf Mannigfaltigkeiten sinnvoll ist. Jetzt können Sie in Dimension 3 die Einstein-Hilbert-Aktion in eine Chern-Simons-Theorie umwandeln, wie Sie sagen. Die Verbindung nimmt ihre Werte in der Lie-Algebra der Poincare-Gruppe an.

In höheren Dimensionen müssen Sie höhere invariante Polynome verwenden. Denken Sie daran, dass die Integration sinnvoll ist. Auf diese Weise können Sie höherdimensionale Theorien erhalten, und dies schließt die Einstein-Hilbert-Aktion ein, aber auch mit höheren Krümmungstermen.

Es gibt keine experimentellen Beweise für die Einbeziehung dieser Terme mit höherer Krümmung in die Schwerkraft. Sie sind jedoch aus einer nicht-perturbativen Quantengravitationsperspektive unter Verwendung des Renormierungsgruppenflusses und der asymptotischen Sicherheit interessant.

Nun, bei der Störungsquantisierung der Chern-Simons-Theorie braucht man eine Metrik, um die Pfadintegrale zu definieren. Witten hat dies 1989 getan [1]. Sie erhalten Ausdrücke, die von dieser Metrikauswahl abhängen, aber er zeigte dann, wie Sie diese Metrik durch Hinzufügen eines weiteren Begriffs unabhängig machen können.

Referenzen [1] Edward Witten, Quantum Field Theory and the Jones Polynomialm 121 (3) (1989) 351–399.

Obwohl die Frage keine Ressourcenanforderung ist, würde ich Edward Wittens 1988 veröffentlichten Artikel zu diesem Thema mit dem Titel 2 + 1 Dimensional Gravity as a Soluble System empfehlen. In der Arbeit zeigt Witten:

• $2+1$dimensionale Schwerkraft mit oder ohne$\Lambda$ist klassisch und auf Quantenebene löslich
• $2+1$Die dimensionale Schwerkraft ist mit einer Yang-Mills-Theorie mit nur einem Chern-Simons-Term verwandt
• Auf der Quantenebene hat eine solche Theorie eine verschwindende Beta-Funktion

Witten diskutiert auch andere Wege, wie die Beziehung zu Darstellungen der Virasoro-Algebra, die mit der konformen Feldtheorie und der Stringtheorie verwandt ist. Um Ihre Frage abschließend direkt zu beantworten: Wenn wir die Felder als Eichfelder interpretieren, ja, ist die Aktion zumindest klassisch eine topologische Invariante.

Die gravitative Chern-Simons-Wirkung ist topologisch, ja. Die Pegelverbindung kodiert das Schwerefeld und da darüber integriert wird, hängt das Ergebnis nicht von einer Metrik ab. (In den Ausdrücken, die Sie schreiben, fehlt vielleicht der Vielbein-Beitrag? Oder vielleicht meinen Sie, ihn in die Notation aufgenommen zu haben.) Beachten Sie, dass es nur der übliche Chern-Simons-Begriff ist, der für viele Eichgruppen niedergeschrieben werden kann, hier spezialisiert auf die die Poincaré-Gruppe oder eine AdS-Gruppe.

Was man wissen muss, um zu verstehen, was hier vor sich geht, ist Folgendes:

1. Das Einstein-Hilbert-Aktionsfunktional hat immer eine Formulierung erster Ordnung in Bezug auf Vielsein und Spinverbindungen, die nichts anderes sind als die Komponenten einer 1-Form mit Werten in der Poincaré-Lie-Algebra. Genauer gesagt kann das Gravitationsfeld immer als Cartan-Verbindung für die Einbeziehung der Lorentz-Gruppe in die Poincaré-Gruppe geschrieben werden.

2. Wenn man nun diese Version erster Ordnung der Einstein-Hilbert-Aktion in 3 Dimensionen aufschreibt, dann geschieht ein kleines Wunder: Es stellt sich heraus, dass sie der Chern-Simons-Aktion entspricht, die mit dieser Eichgruppe funktioniert. Siehe bei Chern-Simons Gravitation .