Ist die Kovarianz oder Kontravarianz von Vektoren/Tensoren etwas, das "visualisiert" werden kann?

Dieses ganze Geschäft von Kovariante vs. Kontravariante ist sehr altmodisch. Einige sehr alte Texte gehen auf Möglichkeiten ein, dies zu visualisieren. Ich würde stattdessen vorschlagen, sich mit Tangentenvektoren (kontravariant) und 1-Formen (kovariant) und der Äquivalenz zwischen Tangentenvektoren und Richtungsableitungen vertraut zu machen.

Ordnen Sie den Vektor zu$\vec{v}$mit dem Ableitungsoperator$\vec{\frac{d}{d\lambda}}$indem man sagt, dass es eine Kurve gibt, die durch parametrisiert ist$\lambda$das hat$\vec{v}$als Tangentenvektor.

Ordnen Sie auf ähnliche Weise der Funktion zu$f$die 1-Form$df$. Eine 1-Form ist eine lineare Abbildung von Tangentenvektoren auf reelle Zahlen. Eine 1-Form$df$bildet einen Tangentenvektor ab$\vec{\frac{d}{d\lambda}}$zur reellen Zahl$df \left( \vec{\frac{d}{d\lambda}} \right) \equiv \frac{df}{d\lambda}$.

Sobald Sie mit dieser Idee vertraut sind, werden Sie feststellen, dass wir ein Koordinatensystem einführen können$x^i$und Tangentenvektoren$\frac{\partial}{\partial x^i}$und Einsformen$dx^i$. Beachten Sie, dass von unserer Regel,$dx^i \left( \vec{\frac{\partial}{\partial x^j} } \right) = \delta^i_j$.

Anschließend können Sie Ihre Kurve mit den Funktionen parametrisieren$x^i(\lambda)$. Beachte das aus der Kettenregel

$\vec{ \frac{d}{d\lambda} } = \frac{\partial x^i}{\partial \lambda} \vec{\frac{\partial}{\partial x^i}}$

und Sie können das verwenden, was wir bisher produziert haben, um das zu zeigen

$df = \frac{\partial f}{\partial x^i} dx^i$.

Am Ende können Sie das beweisen

$df \left( \vec{\frac{d}{d\lambda}} \right) = \frac{\partial x^i}{\partial \lambda} \frac{\partial f}{\partial x^j} \delta_i^j = \frac{df}{d\lambda}$

ist koordinatenunabhängig, wie es sein sollte.

Von da an können Sie beliebige Tensoren als multilineare Abbildungen definieren$n$1-Formen und$m$Vektoren auf reelle Zahlen. Der Nutzen dieser Konstruktion liegt darin, dass sie sehr geometrisch und gleichzeitig nicht an Koordinaten gebunden ist (abstrakt). Sie müssen sich auch nie fragen, auf welche Weise sich etwas verändert, denn es ist immer der natürliche Weg.

Ich empfehle Ihnen, sich ein gutes Buch über Differentialgeometrie für Physiker zu besorgen. Geometrical Methods of Mathematical Physics von Schutz ist in Ordnung, sein GR-Buch ist wahrscheinlich nützlicher. Die Bibel von Misner, Thorne und Wheeler geht sehr tief in dieses Geschäft ein und hat praktische Visualisierungen von n-Formen, wenn Sie so geneigt sind.

Hier ist eine Visualisierung aus Geometrical Methods of Mathematical Physics von Schutz. Der Co-Vektor wird hier als "eine Form" bezeichnet. Seine Notation$\langle \tilde{\omega} , \bar{V} \rangle$ist äquivalent zu$\omega_\alpha V^\alpha$, an die Sie vielleicht gewöhnt sind.

Beachten Sie, dass, wenn die Größenordnung von$\bar{V}$steigt, wird der Pfeil länger. Wenn die Größenordnung von$\tilde{\omega}$zunimmt, rücken die parallelen Flächen näher zusammen.

Physikalisch unterscheiden sich Vektoren und Covektoren nicht sinnvoll voneinander. Mathematisch können beide als dualer Raum des Originals definiert werden, sodass sie alle dieselben Eigenschaften haben. Sie könnten wechseln, welcher der Pfeil und welcher der Satz paralleler Linien in diesem Bild ist. Wenn Sie Verschiebungen als prototypische Vektoren auswählen, sind andere Größen entweder Vektoren oder Kovektoren, je nachdem, wie sie mit Verschiebungen zusammenhängen. Beispielsweise sind Geschwindigkeiten nur Ableitungen von Verschiebungen, also auch Vektoren. Gradienten wirken auf Verschiebungen, um Skalare zu erzeugen, sie sind also Co-Vektoren.

Obwohl dies dasselbe wie Lionels Antwort und Marks Antwort von einem anderen Standpunkt aus sagt, ist eine andere Idee, die ich bei der Beschreibung des Tangentialraums mag, an den eindimensionalen zu denken$C^1$Raumkurve (oder Raumzeitkurve) innerhalb der Mannigfaltigkeit$M$als Erdungskonzept. Unsere Grundidee ist also eine Funktion ("Ein Pfad" oder "Ein Pfad") durch die Mannigfaltigkeit$M$und auf einen bestimmten Punkt zentriert$p\in M$was für die Gegenwart konstant ist:

$$\sigma:(-\epsilon,\epsilon) \subset \mathbb{R}\to M$$

so dass${\rm d}_t \sigma(t)$existiert auch im selben Intervall$(-\epsilon,\epsilon)$und so das$\sigma(0) = p\in M$Und$\sigma(\epsilon)\neq p$.

Schließlich machen eindimensionale Wege, auch wenn sie sehr windig sind, für uns Menschen und verwandte Tiere Sinn, seit wir Wasser, Nahrung und den Weg zurück zu unserer Höhle finden müssen!

Dann der Tangentialraum$T_p M$am Punkt$p\in M$ist die Menge der Äquivalenzklassen solcher Pfade, wobei wir zwei solche Pfade definieren$\sigma_1: (-\epsilon,\epsilon)\to M$Und$\sigma_2: (-\epsilon,\epsilon)\to M$als "äquivalent", wenn ihre "Tangenten" bei gleich sind$p$, dh wenn :$\left.{\rm d}_t \sigma_1(t)\right|_{t=0} = \left.{\rm d}_t \sigma_2(t)\right|_{t=0}$. Wir können dann leicht skalare Vielfache von Tangenten und Additionen von Tangenten definieren: Hier müssen wir ein wenig vorsichtig sein, weil wir natürlich implizit beschriften$M$mit einer der Karten seines Atlasses, so dass wir implizit über Pfade als Funktionen nachdenken$\sigma:(-\epsilon,\epsilon) \to \mathbb{R}^m$und ihre "Tangenten"${\rm d}_t \sigma:(-\epsilon,\epsilon) \to \mathbb{R}^m$, Wo$m$ist die Dimension der Mannigfaltigkeit, und so vergleichen wir Pfade und erklären sie auf die obige Weise für "äquivalent". Ansonsten gibt es im Allgemeinen natürlich keine Vorstellung von den linearen Operationen der Skalierung und Addition in der Mannigfaltigkeit selbst$M$.

Also sind jetzt "kontravariante" Vektoren (oder einfach einfache Vektoren) Objekte, die in solchen tangentialen Räumen leben.

Okay, das ist alles langatmig, aber mein Punkt ist, dass ich eigentlich an wackelige, windende "Fäden" in Familien denke (letztere definiert durch diese Äquivalenz), wenn ich an Tangentenvektoren und nicht an kleine Pfeile denke. Das finde ich persönlich sehr hilfreich, da man sich etwas "Reales" in der Mannigfaltigkeit selbst vorstellen kann (und, implizit durch ein Diagramm, in unserem heimeligen und gewohnten Freund$\mathbb{R}^m$) und nicht einfach eine Idee von "Pfeilen", die von einem Graffiti-Vandalen überall auf dem Verteiler geklebt wurden!

Mit diesem Konzept greifen wir jetzt also Marks Antwort auf, um uns die eine Form vorzustellen - oder das, was Sie einen kovarianten Vektor (oder manchmal Kovektor) nennen. Eigentlich finde ich die Idee eines dualen Vektorraums ziemlich nett, daher bleibe ich im Allgemeinen bei der Idee der Mathematiker der Einsform. In endlicher Dimension$\mathbb{R}^m$, ein dualer Vektor - eine lineare Funktion$\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ist immer ein inneres Produkt wie in Marks Antwort (diese Behauptung ist dasselbe wie das zu sagen$\mathbb{R}^m$ist ein vollständiger metrischer Raum) und kann tatsächlich durch seine "Komponenten" dargestellt werden - die Werte des Funktionals für die Basisvektoren von$T_p M$, mit allen Werten in$T_p M$dann folgt aus der Linearität. Dieser (Ko-)Vektor (eine Form) definiert also eindeutig den zu ihm orthogonalen Vektor (modulo eine multiplikative Konstante). Der Abstand zwischen den Ebenenebenen dieser linearen Funktion definiert die "Länge" des Covektors.

• Wenn Sie hartnäckig werden wollen, kommt hier der Riesz-Darstellungssatz auf die Bühne - obwohl Sie nicht die volle Stärke dieses Satzes benötigen, um die Ideen hier zu diskutieren.

Nun, wenn Ihr Hintergrund wie ich Optik ist, haben Sie ein sehr starkes und konkretes Beispiel für die eine Form. Nämlich der Wellenvektor $\tilde{k}$. Dieses Biest bildet innere Produkte$\left<\tilde{k},\,\underset{\sim}{r}\right>$mit Positionsvektoren$\underset{\sim}{r}$um Ihnen die lokale Phase der ebenen Wellenkomponente zu geben, die sie darstellt. Die maximale Änderungsrate der Phase in Radiant pro Meter ist die Länge des Covektors$\tilde{k}$.

In der Minkowsky-Raumzeit ist der Vierwellenvektor tatsächlich eine Einsform - ein Covektor:

$$\tilde{k} = (\omega,-k_x,-k_t,-k_z);\qquad \omega = \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2}\,c$$

Um nun zu willkürlichen Valenztensoren zu gelangen, wenn Sie einige der Referenzen in Lionels oder Marks Antworten nicht haben, finden Sie im ersten Kapitel von Kip Thornes Physikkurs 136 eine großartige Einführungsdiskussion, die hier heruntergeladen werden kann . Er spricht über all diese Ideen in Begriffen von linearen Funktionalen und "Slots" für Komponenten, ähnlich wie Sie diese Ideen im Computerspeicher darstellen und speichern würden (natürlich mit einer abzählbar unendlichen Wortgröße, um reelle Zahlen exakt darzustellen!).

Eine Randbemerkung zu Referenzen: Ich bin mir nicht ganz sicher, ob das GR-Buch von Schutz eine so gute Referenz für Geometrie ist wie früher (wie Lionel behauptet). Es stimmt, es enthält immer noch die Diskussion der einen Form, wie Sie und Marks Antwort sie beschreiben, aber Dinge wie die Lie-Ableitung und ein Großteil der anderen geometrischen Diskussion, die früher in seinem Buch enthalten waren, mussten erweiterten Kapiteln von GR weichen experimentelle Beweise und Probleme. Ich denke, Schutz sagt sogar etwas über die Verwendung seines Geometriebuchs zusammen mit einer zweiten Lektüre seines "ersten Kurses über GR" in dessen Vorwort. Schauen Sie sich also sorgfältig den Inhalt jedes Buches an, das Sie möglicherweise kaufen möchten - eine ältere Ausgabe von Schutz passt möglicherweise besser zu Ihnen.

Tensoren (oder eher Tensorfelder im Falle der Differentialgeometrie) sind sehr allgemeine und nicht besonders intuitive Objekte, die viele Rollen ausfüllen können - Volumenelemente, Endomorphismen, Riemannsche Metriken sind nur einige Dinge, die Sie mit Tensoren beschreiben können.

Um jedoch eine Vorstellung von Ko- und Kontravarianz zu bekommen, reicht es aus, Tangentenvektoren und Kovektoren zu betrachten, die visualisiert werden können und die Bausteine ​​​​höherrangiger Tensoren sind.

In der Differentialgeometrie, wie sie traditionell im Physikunterricht gelehrt wird (Mathematiker haben vor einigen Jahrzehnten damit aufgehört), arbeiten wir immer in Diagrammen (dh lokalen Koordinaten).

Ein Vektor wäre ein Spaltenvektor

$$\begin{pmatrix} v^1\\\vdots\\v^n \end{pmatrix} = (v^i)_{i=1}^n=v^i$$ und ein Covektor ein Zeilenvektor $$\begin{pmatrix} w_1&\cdots&w_n \end{pmatrix} = (w_i)_{i=1}^n=w_i$$ mit Dualitätspaarung $$\begin{pmatrix} w^1&\cdots&w^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^1\\\vdots\\v^n \end{pmatrix} =\sum_{i=1}^n w_iv^i = w_iv^i$$ Da es im Allgemeinen kein globales Diagramm gibt, müssen wir Transformationsgesetze spezifizieren und unsere Vektoren und Covektoren zu Äquivalenzklassen in Bezug auf diese Transformationen machen.

Die Transformationen sind durch die Jacobi-Matrix der Koordinatenumschaltung und ihre Umkehrung gegeben, was offensichtlich notwendig ist, um Paarungen invariant zu halten.

Nun transformieren sich die Koordinaten von Vektoren entgegengesetzt zu Basisvektoren – sie sind kontravariant – wohingegen sich die Komponenten von Covektoren auf die gleiche Weise wie Basisvektoren transformieren – sie sind kovariant .

Sie werden vielleicht auf die Meinung stoßen, dass der Unterschied zwischen Vektoren und Covektoren keine Rolle spielt, da Sie in der Allgemeinen Relativitätstheorie Indizes nach Belieben erhöhen und verringern können, was in der Idee gipfelt, dass es nur ein einziges geometrisches Objekt - den Vektor - gibt ko- und kontravariante Komponenten.

Das ist meiner Meinung nach eine ziemlich schlechte Idee: Es funktioniert nur, wenn eine ausgezeichnete nicht entartete bilineare Form verfügbar ist, und normalerweise gibt es eine "natürliche" Platzierung von Indizes aufgrund der Geometrie, die möglicherweise sogar für modellphysikalische Konzepte relevant sind (z. B. Geschwindigkeit vs Impuls im Kontext der Lagrange- und Hamilton-Mechanik).

Neben diesen technischen Definitionen von Vektoren und Kovektoren (die geometrisch Sinn machen , wenn man Hauptbündel und zugehörige Vektorbündel einführt, aber das ist in Physikkursen normalerweise nicht der Fall), gibt es natürlich geometrischere:

Wir können einen Vektor als Äquivalenzklasse von Kurven durch denselben Punkt mit Kontakt erster Ordnung betrachten. In ähnlicher Weise wäre ein Covektor eine Äquivalenzklasse von reellwertigen Funktionen an einem bestimmten Punkt mit Kontakt erster Ordnung.

Wenn wir Repräsentanten eines Covektors und eines Vektors zusammensetzen, erhalten wir eine Funktion$\mathbb R\to\mathbb R$und die Auswertung seiner Ableitung gibt uns die natürliche Paarung.

Es stehen auch abstrakte Definitionen zur Verfügung: Wir können Vektoren mit ihren Richtungsableitungen identifizieren, dh ein Vektor ist ein lineares Funktional auf dem Raum reellwertiger Funktionen, das die Leibniz-Regel beachtet. Für Kovektoren gibt es eine algebraische Definition als das Ideal von reellwertigen Funktionen, die an einem Punkt verschwinden, der durch das Ideal, das durch das Produkt solcher Funktionen erzeugt wird, faktorisiert wird.

Anstatt Definitionen sowohl für Vektoren als auch für Covektoren zu erstellen, reicht es aus, eine davon manuell zu definieren (normalerweise Vektoren) und die andere durch Dualität zu definieren, dh als reellwertige lineare Abbildungen.

Wenn Sie diese Objekte nun tatsächlich visualisieren möchten (wie beim Zeichnen aussagekräftiger Bilder), ist die offensichtliche Darstellung von Vektoren als kleine Pfeile im Koordinatenraum. Wenn nun eine ausgezeichnete nicht degenerierte bilineare Form verfügbar ist, können Sie Covektoren über ihre zugehörigen Vektoren darstellen (Erhöhung des Indexes) und die Paarung ist nur das euklidische Skalarprodukt.

Eine zweite Möglichkeit, Covektoren zu visualisieren, wäre als (orientierte) Hyperebenenfelder mit der Paarung, wie in Marks Antwort beschrieben . Dies funktioniert auch nicht für beliebige Mannigfaltigkeiten - Sie benötigen dazu eine Volumenform (dies ist im Grunde eine Variante des Hodge-Duals , wobei der letzte Schritt aus der Wikipedia-Erklärung weggelassen wurde).

(Wenn Sie keine bilineare oder Volumenform zur Verfügung haben, können Sie natürlich eine beliebige lokale Form wählen).