Ist ein „fairer Münzwurf“ ein logischer Widerspruch?

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihrer Analyse ganz zustimme.

Zunächst, und vielleicht etwas pedantisch, stellen wir fest, dass Zufälligkeit zwar in bestimmten mathematischen Theorien eine genaue Definition hat – zB in der Informationstheorie, wo wir Zufälligkeit als die Unfähigkeit definieren, Informationen zu komprimieren – in einem philosophischen Kontext hat Zufälligkeit jedoch keine genaue Definition. Darüber hinaus ist alles andere als klar, dass Zufälligkeit in der Realität existiert. Beispielsweise gibt es deterministische Interpretationen der Quantentheorie. Bleiben wir also bei der Unberechenbarkeit .

In der Praxis glaube ich nicht, dass eine Ungleichmäßigkeit in der Münzzusammensetzung – dh die Münze hat etwas anderes als den idealen Schwerpunkt – eine wirkliche Auswirkung auf die Vorhersagbarkeit des Ergebnisses eines einzelnen Wurfs oder einer Folge von Würfen hätte. Dies liegt daran, dass andere Faktoren, wie die Kraft des Wurfs und die binäre Natur des Ergebnisses, jede Verzerrung überwältigen würden, die auf Ungleichmäßigkeit zurückzuführen ist. Das Ergebnis würde vollständig von der ursprünglichen Ausrichtung der Münze, den ausgeübten Netto-Anfangskräften und den Eigenschaften der Landefläche bestimmt. Damit Unebenheiten bei der Bestimmung des Ergebnisses eine Rolle spielen, bräuchten wir eine nahezu astronomische Anzahl von Umdrehungen der Münze, was in der Praxis natürlich nicht der Fall ist.

Daher würde ich argumentieren, dass es möglich ist, ein unvorhersehbares Ergebnis für einen einzigen Wurf zu erzielen. Wenn die Unebenheit der Münze das Ergebnis eines einzelnen Wurfs nicht beeinflusst, kann sie das Ergebnis einer Folge von Würfen nicht beeinflussen. Jede Voreingenommenheit, die sich manifestieren kann, muss eine Voreingenommenheit in Bezug auf die Faktoren sein, die das Ergebnis bestimmen.

Sie können einen Würfel laden, aber Sie können eine Münze nicht beeinflussen

Ein Teil Ihrer Frage zur "Geschichte" eines Münzwurfs basiert auf der Idee, dass diese "Fairness" - die allgemein als mangelnde Voreingenommenheit eines Instruments definiert wird, um bestimmte Ergebnisse anstelle anderer zu erzielen - besonders schwierig ist, und Sie möglicherweise große (wenn nicht unmögliche) Anstrengungen unternehmen müssen, um wahre Fairness herzustellen.

Wie der oben verlinkte Artikel feststellt, ist es tatsächlich bemerkenswert schwierig (und für einige Definitionen sogar unmöglich), eine Münze wirklich zu beeinflussen. Sie brauchen keine gleichmäßige Oberfläche, kein reines elementares Metall oder eine homogene und flache Verteilung von Atomen - eine missgebildete klumpige Münze reicht aus.

Schlagen Sie es nieder, schlagen Sie mit einem Hammer darauf, bedecken Sie es mit irgendwelchen Materien oder seltsamen Spuren, verleihen Sie ihm die ganze Geschichte, die Ihnen wichtig ist. Solange Sie die Münze nicht als Teil Ihres experimentellen Wurfs abprallen lassen oder eine bestimmte "unfaire" Münzwurfstrategie anwenden (wie die Münze zu werfen, damit sie nie wirklich in die Luft kippt), werden Sie am Ende a haben faire Münze trotzdem.

Der Grund dafür liegt im Kern dessen, was Wahrscheinlichkeit bedeutet, und in den meisten Definitionen ist dies direkt ein Begriff der Unsicherheit. Es geht nicht um „Kopf oder Zahl“, sondern „es wird entweder Kopf oder Zahl geben, und beide sind gleich wahrscheinlich, aber wir werden nicht wissen, was es ist, bis es passiert ist“.

Experimentell, weil sich herausstellte, dass Münzen bemerkenswert schwer (und mit einem guten Verfahren so gut wie unmöglich) zu beeinflussen sind, waren frühe Mathematiker (und erfahrene Spieler) in der Lage, sich sowohl theoretisch als auch experimentell mit den Begriffen Unsicherheit, Wahrscheinlichkeit, Risiko, Wahrscheinlichkeit und dem zu befassen ein ganzes Feld, das später zur Statistik werden sollte.

Aber dahinter steckt der Versuch, mit Ungewissheit umzugehen: Es gibt etwas, das wir nicht wissen. Beachten Sie, dass dies keine absolute und hartnäckige Unsicherheit erfordert oder impliziert, dass wir nicht mehr lernen und somit unsere Vorhersage verbessern können (möglicherweise auf 100% Genauigkeit). Es bedeutet nur, dass wir bei einem bestimmten Zustand unvollständigen Wissens einige Dinge wissen und andere nicht, und einige Dinge gefolgert werden können und andere nicht.

Der Begriff „Fairness“ wird in einigen mathematischen Kontexten als Annahme verwendet, aber in differenzierteren oder eingehenderen Behandlungen verschiedener Bereiche der Statistik wird ein solcher Begriff abgeschafft. In der Tat, wenn etwas nicht fair ist, wird es sich per Definition nicht wie eine unfaire Münze verhalten, und viele Techniken der Statistik sind ein Versuch, damit umzugehen. Eine ganze Menge statistischer experimenteller Techniken zielt darauf ab, festzustellen, ob eine Münze tatsächlich fair ist oder nicht!

Das Spiel mit Annahmen ist das Herzstück vieler statistischer Methoden. Wenn wir davon ausgehen, dass die Münze fair ist, dann gehen wir davon aus, dass bestimmte Ergebnisse ziemlich typisch sind und andere so unglaublich selten sind, dass wir, wenn wir ihnen begegnen würden, dazu neigen würden, die Idee der Fairness abzulehnen. Eine 1000-mal geworfene Münze, die zum Beispiel immer Kopf zeigt, ist theoretisch immer noch ein mögliches Ergebnis einer fairen Münze! Es ist einfach ein so seltsames Ergebnis, dass wir die Idee der Fairness getrost ablehnen können – obwohl wir nichts zu 100 % bewiesen haben. Dies ist die Grundlage für "Nullhypothesentests", die ein ziemlich nützliches kleines Werkzeug sind. Man kann nie darauf bestehen, etwas mit Sicherheit zu wissen, aber wir können zumindest wissen, wann die Chancen zu unseren Gunsten stehen.

Am Ende brauchen Sie keine magische Zufallsbox, die unmöglich vorherzusagen ist. Sie brauchen nur Unsicherheit. Und das ist die wahre Ursache für den Fehlschluss des Spielers: ein falscher Glaube, dass Sie etwas Nützliches über die Vorhersage der Zukunft wissen, wenn sich herausstellt, dass Sie es einfach nicht wissen. Es stellt sich heraus, dass wir Menschen viele Intuitionen darüber haben, wie wir mit Ungewissheit umgehen sollen, die ebenfalls aus sind. Wenn Sie sich für diese Klassen von Fehlern interessieren, empfehle ich Ihnen dringend die Bücher „Gegen die Götter: Die erstaunliche Geschichte des Risikos“ und „Vorhersagbar Irrational“, die absolut Dutzende anderer Beispiele dafür bieten, wie unsere intuitive Herangehensweise an Risiken, Ungewissheit und Wahrscheinlichkeit sind seltsam, falsch oder einfach falsch.

Sie können mit Photonen und zwei Detektoren einen fairen Zufallswurf machen.

Wiederholen Sie zuerst das Experiment M-mal, um sich zu vergewissern, dass die "Münze" innerhalb eines vorbestimmten Schwellenwerts "fair" ist. Wählen Sie dann das Experimentergebnis für das N-te Photon aus, wobei N im Voraus festgelegt wurde.

Der interessante Teil dieser Frage, zumindest für mich, ist, dass es keine Möglichkeit gibt, zu unterscheiden, auf welcher Seite der Münze Kopf landete.

Aber Sie könnten dies auch nicht tun, wenn es zwischen Ihren Fingern war, bevor Sie es geworfen haben.

Man könnte im Prinzip einfach die Bewegung der geworfenen Münze mit einer Hochgeschwindigkeitskamera verfolgen; und schauen Sie sich dann in Ruhe den Film an, um zu sehen, in welche Richtung er gefallen ist.

Das müsste aber kontinuierlich gemacht werden, damit es eine stabile Bedeutung hat – wenn die Kamera mal kurz ‚wegschaut‘ – dann hat man den Überblick verloren.

Dies macht es zu einem Paradox der Subjekt-Objekt-Erkenntnistheorie; im Sinne einer in anderer Weise interessanten Dichotomie kontinuierliche/diskrete Beobachtung bzw. Messung .

Dazu gibt es einige Studien.

US-Pennies sind ziemlich voreingenommen. Wenn Sie sie drehen, zeigen 80% das gleiche Gesicht. Wenn es jedoch ziemlich umgedreht ist, wird dasselbe Gesicht nur in 51% der Fälle angezeigt.

Ebenso können Sie die Münze um weitere 1 % oder so beeinflussen, wenn Sie kontrollieren, wie Sie sie werfen .

Am Ende des Tages wäre meine Antwort jedoch, dass die Frage eine Annahme enthält. Es geht davon aus, dass fair dasselbe ist wie vollkommen fair. Wenn zwei Leute spielen, können sie ihre Meinung wechseln, und sie wissen nicht, welche Seite voreingenommen ist, dann ist es fair. Wenn die Fehlerquote der Fairness wissenschaftlich nicht hoch ist, dann ist sie fair.

In Australien wirft der Schiedsrichter konventionell zu Beginn eines Sportspiels eine Münze, und die Seite wird aufgerufen, während sie in der Luft ist. Selbst wenn ein Kapitän weiß, welche Seite voreingenommen ist, verschafft er sich nur einen Vorteil von 1 %, was kaum als unfair bezeichnet werden kann. Die "Fairness" beim Münzwurf wird normalerweise verwendet, um zu sagen, dass es keine Tricks beim Münzwurf gibt (wie z. B. die Oberfläche zu fühlen, einen Blick auf das Ergebnis zu werfen oder es so zu "drehen", dass es nur scheint, als würde es sich drehen.

Ich muss darauf hinweisen, dass es immer möglich ist, einen Wurf zu synthetisieren, selbst wenn man mit einer voreingenommenen Münze beginnt (in dem Sinne, dass die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu werfen, immer P ist, Zahl immer 1-P, aber diese sind nicht unbedingt gleich). für die Kopf und Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das Verfahren ist einfach: Wirf die Münze zweimal hintereinander; Wenn die beiden Würfe das gleiche Gesicht zeigen, verwerfen Sie die Ergebnisse und wiederholen Sie den Vorgang. Schließlich wird man zwei verschiedene Gesichter nacheinander werfen. Verwenden Sie „heads“ (Kopf), um sich auf die Sequenz Heads-Tails zu beziehen, „tails“, um sich auf die Sequenz Tails-Heads zu beziehen. Offensichtlich ist die Wahrscheinlichkeit von „Kopf“ bei jedem Wurfpaar P(1-P) und die Wahrscheinlichkeit von „Zahl“ ist (1-P)P, und diese sind gleich. Indem Sie dies wiederholen, bis Sie ein ungleiches Paar Gesichter erhalten,

Technisch gesehen ist ein Münzwurf nicht "zufällig". Werfen Sie eine Münze mit der gleichen Kraft in die gleiche Richtung mit der gleichen Umgebung und sie wird immer auf die gleiche Weise fallen.

Der Punkt ist, dass die Kraft, mit der Sie sich drehen, die Richtung und tausend kleine Dinge "zufällig" sind und zufällig mit der Münze interagieren.

Nun, „zufällig“ ist das Auge des Betrachters auf dieser Ebene; Ich behaupte, dass die Kraft, die ich auf die Münze ausübe, mehr oder weniger zufällig ist, weil ich meine Muskeln nicht perfekt unter Kontrolle habe. Man könnte sagen, dass sich jemand technisch antrainieren könnte, immer die gleiche Kraft aufzuwenden (bis etwa zur 20. Dezimalstelle), damit der Münzwurf nicht mehr zufällig, sondern tatsächlich deterministisch ist.

Aber die Realität ist auf einer grundlegenden Ebene zufällig; Quantenmechanik ist erforderlich, um diese Aussage auch nur ansatzweise zu verstehen (und ich behaupte nicht, dass ich das tue), aber sicherlich gibt es einige grundlegende Zufälligkeiten im Universum.

Um es noch einmal zusammenzufassen: Ob etwas zufällig ist, hängt wirklich davon ab, wer beurteilt. Mit mehr Kontrolle und Genauigkeit können Sie die Zufälligkeit verringern, aber nur bis zu einem bestimmten Punkt, da das Universum im Kern zufällig ist.

Ich glaube, dass die Quelle des "Problems" der dritte Satz ist. "Um die Unvorhersehbarkeit wiederherzustellen, muss die Münze auf ein ideales Gleichgewicht und einen idealen Widerstand ausgelegt sein." In diesem Fall bleibt uns eine „gesichtslose Münze“. Diese Schlussfolgerung ist völlig falsch! Die einzige Anforderung besteht darin, dass die Münze in Bezug auf eine Ebene parallel zur Vorderseite der Münze ausbalanciert ist und durch den Schwerpunkt der Münze verläuft. Dies bedeutet, dass wir auf jeder Seite unterschiedliche, aber gleichwertige Vertiefungen anbringen können . Zum Beispiel würde ich eine quadratische Vertiefung auf einer Seite der Münze und 4 (1/4 Größe) Vertiefungen auf der anderen Seite machen. Auf diese Weise wird die "Balance" nicht beeinträchtigt und die Gesichter sind unterscheidbar.