Ist es möglich, die Schrödinger-Gleichung auf diese Weise abzuleiten?

Lassen Sie uns eine Wellenfunktion haben | ψ ⟩ . Die volle Wahrscheinlichkeit ist gleich eins:

(1) ⟨ Ψ | Ψ ⟩ = 1.

Wir müssen die Zeitentwicklung von einführen Ψ ; wir wissen es im ersten Moment der Zeit. Also ist es natürlich eingestellt

| Ψ ( t ) ⟩ = U ^ | Ψ ( 0 ) ⟩ ,

und von ( 1 ) es folgt dem

U ^ † U ^ = E ^ .

So kann es dargestellt werden als U = e ich a H ^ t (das vermuten wir H ^ † = H ^ und H ^ ≠ H ^ ( t ) zur Vereinfachung der Ableitung). Somit ist es möglich zu schreiben

∂ t | Ψ ( t ) ⟩ = ich a H ^ | Ψ ⟩ .

Aber wie bekommt man die physikalische Interpretation für H ^ ?

Ich glaube, dies ist ein Teil dessen, wie Dirac die Äquivalenz von Heisenbergs Matrixmechanik und Schrödingers Wellenmechanik gezeigt hat, und ich vermute, Ihre fehlende Zutat ist die kanonische Kommutatorbeziehung.
Warum ist dies in der engen Abstimmungswarteschlange für unklare Fragen?! Die Frage ist sehr klar; wie man die physikalische Deutung für die bekommt H ^ .
@DIMension10: Es ist immer möglich, dass gekennzeichnete Posts manchmal in die Warteschlange blicken, es sei denn, es ist sehr ernst :)
@DavidH. Dies kann gezeigt werden, indem das Postulat der Verwendung von Hamiltons Formalismus in der Quantenmechanik verwendet wird. Aber die Methode, die ich beschrieben habe, verwendet sie nicht. Zumindest explizit.

Antworten (1)

Man kann die Schrödinger-Gleichung tatsächlich so begründen, wie Sie es vorschlagen. Der entscheidende Punkt, den Sie vermissen, ist die Zeitverschiebungsinvarianz Ihres Quantensystems. Dies ist es, was Sie aufschreiben lässt U = exp ⁡ ( ich a H t ) .

Zur näheren Erläuterung:

  1. Die Tatsache von ψ ( t ) = U ( t ) ψ ( 0 ) ist einfach eine Linearitätsannahme.

  2. Die Evolution, die von eurer Zustandsübergangsmatrix hervorgebracht wird U ( t ) über die Zeit n Einheiten ist einfach das Matrixprodukt der einzelnen Übergangsoperationen über 1 Einheit, also U ( n ) = U ( 1 ) n für Ganzzahl n . Dies bedeutet einfach, dass der Evolutionsoperator für jedes feste Zeitintervall derselbe ist, unabhängig davon, wann er dem Quantenzustand verliehen wird (dh Zeitverschiebungsinvarianz ) . Der Entwicklung im selben Experiment ist es egal, ob ich es jetzt mache oder in zehn Minuten, nachdem ich meine Tasse Tee getrunken habe (solange ich zum Beispiel keinen Tee auf das Experiment verschütte). Es ist eine kopernikanische Vorstellung. So argumentieren und das Zeitintervall in Scheiben schneiden t Auf unterschiedliche Weise können Sie Dinge schnell beweisen wie U ( p ) = U ( 1 ) p für alle rational p und U ( t + s ) = U ( s ) U ( t ) = U ( t ) U ( s ) ; ∀ s , t ∈ R . Die einzige stetige Matrixfunktion mit all diesen Eigenschaften ist U = exp ⁡ ( K t ) , für einige konstant K .

  3. Nun kommt die Annahme der Wahrscheinlichkeitserhaltung ("volle Möglichkeiten") zum Tragen. Das bedeutet, dass U muss einheitlich sein - Ihre U † U = U U † = ich . Das heisst exp ⁡ ( K t ) exp ⁡ ( K † t ) = exp ⁡ ( K † t ) exp ⁡ ( K t ) = ich . So K und K † pendeln muss und K + K † = 0 , woher K = − K † . K ist also schief hermitesch. Jetzt jede Schräglage hermitesch K kann geschrieben werden als K = ich H , für einige Hermitianer H . Und wir können jeden realen Skalarfaktor ungleich Null herausziehen, den wir gerne bekommen möchten U ( t ) = exp ⁡ ( ich a H )

Der Rest Ihrer Argumentation folgt. Wie erhalten wir die physikalische Interpretation für H ? Es ist einfach eine Ahnung. Mit ein wenig Arbeit (Konvertieren vom Schrödinger- zum Heisenberg-Bild) können Sie zeigen, dass jede Observable mit pendelt H ist zeitlich konstant - seine Eigenwerte entwickeln sich nicht. H Die Eigenwerte von sind also. Also, wenn wir das postulieren H ist tatsächlich beobachtbar H ^ mit seinem ausgewachsenen Rezept für die Interpretation von Messungen anstelle eines einfachen langweiligen alten Operators, dann sind alle Statistiken seiner Messungen zeitlich konstant. Es repräsentiert eine zeitverschiebungsinvariante Symmetrie. In Analogie zur klassischen Energie und dem Satz von Noether für die klassische Energie postulieren wir das einfach H = H ^ = e n e r g j Ö b s e r v a b l e .

Richard Feynman verwendet genau diesen Ansatz in den ersten Kapiteln von Band 3 seiner Lectures on Physics. Es gibt ein Kapitel 7 mit dem Titel "Die Abhängigkeit der Amplitude von der Zeit", in dem er dies viel besser macht als ich.

wohl die beste Antwort, die ich gelesen habe.
Vielen Dank für die sehr beeindruckende Antwort! Es hat sehr geholfen.
@JohnTaylor Es war mir ein Vergnügen. Richard Feynman verdient hier die meiste Anerkennung – schauen Sie sich seinen dritten Band an, wenn Sie an solchen Dingen interessiert sind. Er ist aus irgendeinem Grund ein bisschen allergisch gegen das Heisenberg-Bild, das er als die Quantenmechanik beschreibt, die manche Leute machen, wenn sie Lust haben, Probleme mit rotierenden Bezugsrahmen zu machen, und es in seinen Vorlesungen vernachlässigt (obwohl er es irgendwie aufgreift in der Kapitel "Symmetrie in der Physik"). Nicht, dass er Probleme hatte, mit diesem Bild zu arbeiten, wenn es nötig war.
Ist es möglich, die Schrödinger-Gleichung auf diese Weise abzuleiten?
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