Ist es möglich, verschiedene nichtlineare Bewegungen als gerade Linien in transformierter Raumzeit auszudrücken?

Ich versuche, einfache Beispiele der Raum-Zeit-Krümmung zu verstehen.

Gehe mal davon aus C ist unendlich (klassische Krümmung aufgrund der Newtonschen Gesetze). Außerdem werde ich der Einfachheit halber nur den 1+1-dimensionalen Raum betrachten: ( X , T ) .

Fall I. Ich betrachte eine gleichmäßige Erdbeschleunigung g entlang der positiven x-Richtung, die den gesamten Raum durchdringt. Dann haben alle Teilchen

X − X 0 = 1 2 G ( T − T 0 ) 2 .
Für diesen Fall können wir die Transformation verwenden
X ' = X − 1 2 G ( T − T 0 ) 2 T ' = T
um eine transformierte Raumzeit zu erhalten ( X ' , T ' ) so dass jeder Pfad des Formulars
X − X 0 = 1 2 G ( T − T 0 ) 2
im ursprünglichen Koordinatensystem entspricht der Form
X ' = v T ' + X 0 '
gleichförmige Bewegung im Neuen darstellen ( X ' , T ' ) Koordinatensystem. Wenn also die Raumzeit wie beschrieben durch die Transformation verzerrt wird ( X , T ) Zu ( X ' , T ' ) Im transformierten System folgen alle Objekte einfach einer geraden Linie.

Fall II. Jetzt werde ich ein etwas komplexeres Szenario betrachten. Hier,

G ( X ) = − ω 2 X .
Können wir Transformation erreichen X ' = X ' ( X , T ) Und T ' = T ' ( X , T ) so dass eine gleichmäßige Bewegung in ( X ' , T ' ) entspricht der einfachen harmonischen Bewegung in ( X , T ) ?

Fall III. Nehmen Sie nun an, dass die Erdbeschleunigung ist G für − 1 ≤ X ≤ 1 und ist überall sonst 0. Was ist mit diesem Feld?

Ich habe keine Erfahrung in Differentialgeometrie oder obskurer Mathematik. Mein aktuelles Ziel ist es herauszufinden, wie weit wir die Relativitätstheorie mit einfacher Mathematik verstehen können.

Dies ist möglicherweise nicht das, wonach Sie suchen, aber stellen Sie die Funktion grafisch dar R = Sek ⁡ θ in Polarkoordinaten, und sehen Sie, was Ihnen das gibt.
R = Sek ⁡ θ ist das gleiche wie T = 1 im ( X , T ) , hab ich recht? Ich nahm an, du meintest R = T 2 + X 2 Und θ = bräunen − 1 ⁡ ( X / T ) . Wie gehe ich also von dort aus vor? Versucht Ihre Intuition Fall II oder Fall III zu lösen?
Ist das nicht die Essenz der Hamilton-Jacobi-Formulierung der klassischen Mechanik? Nichtlineare Probleme über eine geeignete Transformation (kanonisch) in lineare umzuwandeln?

Antworten (3)

Wenn Sie nichtlineare Transformationen der Raumzeit zulassen (wie Sie es in Ihrem Fall I getan haben), sehe ich nicht ein, warum Sie keine Bewegung eines Objekts als x' = 0 schreiben können. Dh Nehmen Sie die Bewegung an des Objekts in den (x,t)-Koordinaten kann als f(x,t) = 0 für eine nichtlineare Funktion f geschrieben werden. Wenn Sie dann x' = f(x,t), t' = t setzen, kann die Bewegung in (x',t') einfach als x' = 0 geschrieben werden. Die Antwort auf Ihren zweiten Fall könnte beispielsweise lauten geschrieben als: Transformiere (x,t) zu (x' = A*sin(wt+d),t'=t), dann ist die Bewegung einfach x'=0.

Das Problem mit Ihrer Antwort ist, dass die Transformation der Raumzeit von den Werten von A und d abhängt. Ich möchte, dass die Transformation unabhängig von den Parametern A und d ist.
Die A und d kommen nur von Anfangsbedingungen. Sogar in Ihrem Fall habe ich, Sie haben X Ö Und T Ö sich in der Verwandlung zeigen. Es ist dasselbe.

Die Lorentz-Transformation vereinfacht sich zur klassischen Transformation für alle Ihre Fälle, seit Sie sie genommen haben C als unendlich. Es gibt keine Zeitdilatation. Die Transformation ist nur eine Identitätsmultiplikation für alle 3 Fälle mit:

X ' = X − v T
Und
T ' = T

Jetzt, da Sie sich in der klassischen Welt in einer Dimension befinden, ist Ihr erster Fall lediglich eine geneigte Linie mit Objekten, die den Hang hinunterrollen, egal von wo auf der Linie Sie schauen. Als würde man auf einem Hügel stehen und zusehen, wie ein Ball auf einen zurollt oder von einem wegrollt.

Im zweiten Fall:

X ' = ( − w 2 ) X ' = ( − w 2 ) ( X − v T )
Und
T ' = T

Im dritten Fall: Die Erdbeschleunigung wird g auch für den bewegten Beobachter, aber nur bei verschobenen Koordinaten gesehen − 1 <= X <= 1 wird − 1 <= X ' + v T ' <= 1 oder − 1 − v T ' <= X ' <= 1 − v T ' Und 0 überall sonst

Ok ich habe Fall 2 gelöst. Let T ' = bräunen − 1 ⁡ ( ω T ) Und X ' = X 1 + T ' 2 . Beachte das auch X = A cos ⁡ ω T + B Sünde ⁡ ω T einfache harmonische Bewegung darzustellen. Wir bekommen X ' = A + B T ' . Somit bleibt nur Fall 3 offen.

Wie Sie sehen können, habe ich nur Vermutungen angestellt, ohne die richtigen Techniken, um dies im Allgemeinen zu lösen.

Ist es möglich, verschiedene nichtlineare Bewegungen als gerade Linien in transformierter Raumzeit auszudrücken?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v