Ist Euklids syllogistischer Ansatz zum Beweis mathematischer Theoreme logisch unzureichend?

Sie haben Recht, dass die Syllogistik, die in modernen Begriffen dem monadischen Prädikatenkalkül entspricht, für die Mathematik nicht ausreicht. Moderne Formalismen verwenden polyadischen Kalkül. Euklid verwendet jedoch nicht nur die Syllogistik (tatsächlich verwendet er sie kaum). Jüngste Studien zu Euklids Methode, insbesondere Manders 'klassisches Euklidisches Diagramm, zeigen, dass seine Verwendung synthetischer Konstruktionen und das Ablesen von Diagrammen nicht auf das axiomatische Denken im Hilbert-Stil reduzierbar ist und das Hauptwerkzeug von Euklids Demonstrationen ist, siehe Was verursacht oder zu Euklids Elementen und Synthetik beigetragen hat Geometrie in Ungnade gefallen?

Kant sah, wie Locke vor ihm, dass analytische, dh syllogistisch ableitbare Konsequenzen nicht ausreichten, um sogar Theoreme der euklidischen Geometrie zu beweisen, ganz zu schweigen von der Analysis, also führte er synthetische a priori Konstruktionen ein, um zu erklären, wie nicht-triviale Mathematik möglich war. Aber die motivierende Unterscheidung zwischen „logischen“ (analytischen) und „geometrischen“ (synthetischen) Argumenten in der euklidischen Geometrie geht sogar auf Euklid selbst zurück und kommt bereits bei Aristoteles vor, der so weit ging zu sagen, dass alles Denken den Aufbau von Bildern (Phantasma) erfordert De Memoria et Reminiscentia:

„ Von der Einbildung ist schon bei der Erörterung der Seele die Rede, und es ist nicht möglich, ohne Bild zu denken. Denn beim Denken tritt die gleiche Wirkung ein wie beim Beweisen durch Diagramme machen keinen Gebrauch davon, dass die Größe des Dreiecks bestimmt ist, wir zeichnen es dennoch der Größe nach bestimmt. “ [zitiert nach Euklids Pseudaria von Acerbi .]

Der Unterschied in der logischen Stärke wird ausführlich in Friedmans Kants Theorie der Geometrie diskutiert :

"Unsere Unterscheidung zwischen reiner und angewandter Geometrie geht Hand in Hand mit unserem Verständnis von Logik, und dieses Verständnis existierte einfach nicht vor 1879, als Freges Begriffsschrift erschien ... Euklids Axiome implizieren Euklids Theoreme nicht allein durch Logik. Wenn wir uns außerdem daran erinnern, dass die Axiome von Euklid nicht die Axiome sind, die in modernen Formulierungen verwendet werden, ist es leicht zu erkennen, dass die fragliche Behauptung vollkommen richtig ist. Denn unsere Logik ist im Gegensatz zu Kant eher polyadisch als monadisch (syllogistisch); und unsere Axiome für die euklidische Geometrie unterscheiden sich auffallend von denen Euklids darin, dass sie eine explizite und im Wesentlichen polyadische Theorie der Ordnung enthalten. Der allgemeine Punkt kann wie folgt formuliert werden.

[...] Zeigt dies ..., dass Euklids Axiomatisierung hoffnungslos "fehlerhaft" ist? Ich denke nicht. Vielmehr unterstreicht es die Tatsache, dass Euklids System überhaupt keine axiomatische Theorie in unserem Sinne ist. Insbesondere wird die Existenz der notwendigen Punkte nicht logisch aus entsprechenden existentiellen Axiomen abgeleitet. Da die Menge solcher Punkte natürlich unendlich ist, könnte dieses Verfahren unmöglich in einem monadischen (syllogistischen) Kontext funktionieren. Stattdessen erzeugt Euklid die notwendigen Punkte durch einen bestimmten Konstruktionsprozess: den Konstruktionsprozess mit Lineal und Zirkel. "

Nach dem Einsetzen der modernen Logik wurde die Frage von Analytisch vs. Synthetisch neu formatiert. Frege und Peirce kritisierten zum Beispiel Kant dafür, Mathematik für synthetisch zu halten oder "analytisch" zu eng zu definieren, ihr Begriff von Analytik sei natürlich viel stärker als seiner, weil die Logik viel stärker sei, und klassische Mathematik sei in der Tat analytisch. Interessanterweise, während Frege dachte, dass dies die Konstruktion nach Peirce völlig unnötig machte, kodifiziert die moderne Logik sie einfach:

„ Aber weder Kant noch die Scholastiker sorgen dafür, dass ein unendlich komplizierter Satz, der alles andere als offensichtlich ist, oft durch mathematische Argumentation oder notwendige Deduktion durch die Logik der Verwandten aus einer Definition von äußerster Einfachheit ohne Annahme abgeleitet werden kann jede Hypothese, was auch immer (in der Tat könnte eine solche Annahme den abgeleiteten Satz nur einfacher machen); und dies kann viele Begriffe enthalten, die in der Definition nicht explizit sind .

[...] Aber Kant ist durch die geringe Entwicklung, die die formale Logik in seiner Zeit erhalten hat, und besonders durch seine völlige Unkenntnis der Verwandtschaftslogik, die ein glänzendes Licht auf die ganze Logik wirft, in einen Irrtum geraten angenommen, dass sich mathematisches und philosophisches notwendiges Schließen durch den Umstand unterscheiden, dass das erstere Konstruktionen verwendet. Das ist nicht wahr. Alles notwendige Denken geht durch Konstruktionen vor sich; und der einzige Unterschied zwischen mathematisch und philosophisch notwendigen Ableitungen besteht darin, dass letztere so übermäßig einfach sind, dass die Konstruktion keine Aufmerksamkeit erregt und übersehen wird.