Ist Masse eine Observable in der Quantenmechanik?

In der nichtrelativistischen Quantenmechanik kann die Masse im Prinzip als Observable angesehen und somit durch einen selbstadjungierten Operator beschrieben werden.

In diesem Sinne kann ein quantenphysikalisches System mehrere verschiedene Werte der Masse haben und ein Wert steht fest, sobald man eine Messung der beobachtbaren Masse durchführt, genau wie es zum Beispiel für den Impuls geschieht.

Es ist jedoch möglich zu beweisen, dass, da das physikalische System unter der Galilei- Gruppe (oder der Galilei-Gruppe, wie Sie es bevorzugen) invariant ist, eine Superselektionsregel entsteht, die bekannte Bargmann-Massen-Superselektionsregel . Das bedeutet, dass kohärente Überlagerungen von reinen Zuständen mit unterschiedlichen Werten der Masse verboten sind.

Daher ist die gesamte Beschreibung des Systems immer auf einen festen Eigenraum des Massenoperators beschränkt (insbesondere weil alle verbleibenden Observablen, einschließlich der Hamiltonschen, mit dem Massenoperator kommutieren).

In der Praxis verhält sich die Masse des Systems wie ein nichtquantischer, fester Parameter. Dies ist der Grund, abgesehen von subtilen technischen Details (Nichttrennbarkeit des Hilbert-Raums, wenn das Spektrum des Massenoperators kontinuierlich ist), warum die Masse in der nichtrelativistischen Quantenmechanik eher als fester Parameter als als selbstadjungierter Operator betrachtet werden kann.

Ganz anders sieht es in der relativistischen Quantenmechanik aus. Zunächst muss man zwischen elementaren Systemen (elementare freie Teilchen im Sinne von Wigner) und zusammengesetzten (wechselwirkenden) Systemen unterscheiden. Erstere sind als irreduzible (stark stetige) einheitliche Darstellungen der Poincaré-Gruppe definiert . Jede solche Darstellung wird durch eine Reihe von Zahlen identifiziert, die die Eigenwerte einiger Observablen definieren, die aufgrund der Irreduzibilitätsanforderung konstante Werte in der Darstellung erreichen. Die Natur dieser Zahlen hängt von der Struktur der betrachteten Gruppe ab.

Jede solche Observable im irreduziblen Hilbert-Raum des Systems hat die Form$\lambda I$wo$\lambda$ist eine feste reelle Zahl. Bezogen auf die Poincaré-Gruppe erweist sich der Massenoperator als eine dieser elementaren Observablen . Daher müssen in der relativistischen Quantenmechanik die Elementarsysteme den trivialen Massenoperator haben, der nach wie vor als fester, nicht-quantenmechanischer Parameter betrachtet werden kann.

Das Bild ändert sich dramatisch, wenn man sich auf zusammengesetzte Systeme konzentriert: Dort ist die Masse einfach der im Ruhesystem des Systems ausgewertete Energieoperator. Es zeigt in der Regel ein Mischspektrum aus einem kontinuierlichen Anteil aufgrund der „relativen“ kinetischen Energie und darunter ein Punktspektrum, das die möglichen Massen des Gesamtsystems beschreibt.

NACHTRAG . Wie Arnold Neumaier mir gegenüber betonte, scheinen Neutrinos im Hinblick auf das Vorhandensein der schwachen Wechselwirkung nicht feste Werte für die Masse zu haben (dh der Massenoperator ist nicht trivial). Ob man sie als Elementarteilchen bezeichnen kann, ist aus meiner Sicht fraglich , da sie schwache Wechselwirkungen in ihre Beschreibung einbeziehen. Aus rein physikalischer Sicht sind sie sicherlich elementar. Vielleicht ist Wigners Beschreibung körperlich unangemessen.

Massequadrat ist ein hermitescher linearer Operator, es ist ein Casimir-Operator$\hat{C}_{1}=\hat{P}_{0}\hat{P}_{0}-\hat{P}_{i}\hat{P}_{i}$für die Poincare-Gruppe. Es ist hermitesch, weil die Übersetzungsgeneratoren$\hat{P}_{\mu}$sind hermitesch. Es kommutiert mit allen Generatoren der Poincare-Gruppe und daher sind seine Eigenwerte (Masse im Quadrat) auf jedem irreduziblen Unterraum konstant.

Masse ist natürlich eine Observable, obwohl sie in einfachen Modellen konstant ist.

Klassisch ist dies bereits der Fall. Man kann den Weg einer Rakete, die Treibstoff verbrennt (der einen großen Teil ihrer Masse ausmacht), nicht bestimmen, ohne zu berücksichtigen, dass die Masse variabel ist.

Dasselbe gilt in der Quantenmechanik, wenn die Masse nicht durch die Modellannahmen festgelegt ist. Wichtiger Fall, wo die Masse durch einen nichttrivialen Operator M (dann Massenmatrix genannt) gegeben ist

• der Massenoperator eines relativistischen Teilchens in einem externen Feld. Seine Eigenwerte sind die Massen der gebundenen Zustände.

• die Cabibbo-Kobayashi-Maskawa-Quark-Massenmatrix http://arxiv.org/abs/hep-ph/9708216

• die Neutrino-Massenmatrix http://arxiv.org/abs/hep-ph/9802328

Wenn andererseits die Masse eine Konstante m ist, wird sie auch durch einen Operator dargestellt, nämlich M:=m*1, wobei 1 die Einheitsmatrix ist. Dies ist ein hermitescher Operator und passt daher zur Standardbeschreibung.

Siehe auch http://www.physicsoverflow.org/21958/

Ich ergänze nur die Antwort von Prof. Kalitvianski, indem ich hinzufüge, dass das Mantra „Beobachtbare als Operatoren“ nur für die spezielle Art von Messung gilt, die als „Quantenmessung“ bezeichnet wird und immer eine Verstärkung beinhaltet. Andere Arten der Messung, wie etwa die Messung physikalischer Konstanten, werden ebenfalls nicht durch Observable modelliert, wie die Lichtgeschwindigkeit, die Masse des Elektrons, die Ladung eines Elektrons usw.

Der Nobelpreisträger Eugene Wigner hat sehr sorgfältige Artikel über die Theorie des Messens geschrieben, obwohl sie heute von vielen als überholt angesehen wird, sind sie immer noch eine hervorragende Grundlage für das Verständnis der moderneren Theorien. Sie wurden in der Sammlung sehr lesenswerter wissenschaftlicher Essays von ihm, Symmetries and Reflections , nachgedruckt .

Einerseits ist die Masse in der nichtrelativistischen QM ein numerischer Parameter in einer theoretischen Konstruktion, sodass beim Übergang von CM zu QM kein zusätzlicher Operator erforderlich ist.

Andererseits ist in der relativistischen QM die Energie ein Operator, der sich im Einzelfall auf Masse (Ruheenergie) reduziert$\vec{p}=0$. Normalerweise hat die Energie eines freien Teilchens ein kontinuierliches Spektrum (nicht quantisiert oder berechnet), daher ist sie immer noch ein externer Parameter für die Theorie eines "elementaren" freien Teilchens.

Bei einem zusammengesetzten System kann die Ruhemasse (im Prinzip) aus Massen und Wechselwirkungskräften seiner Bestandteile berechnet werden.

Denn Masse soll in der Quantenmechanik eine Größe sein, die für alle Ewigkeit konstant bleiben soll. Masse ist Energie im Ruhesystem des Teilchens. Der Grund, warum Sie dies in der nicht-relativistischen Quantenmechanik nicht sehen, ist, dass Sie dem Hamilton-Operator eine beliebige Konstante hinzufügen können. In der relativistischen Quantenmechanik wird dieser Offset festgelegt, wobei die Energie der Ruhemasse zu einer sinnvollen und wichtigen Größe wird. Alle Wellenfunktionen nehmen die Compton-Frequenz in ihren Phasenfaktoren auf.

Daher ist der Energieoperator der Massenoperator, also ist die Masse eine Observable, aber mathematisch wird sie als Konstante betrachtet, und ihr Operator ist der Energieoperator.

Und noch etwas; Die Neutrino-Massenmatrix ist kein Operator: Sie ist eine Matrix im dreidimensionalen Raum der Aromen (Elektron, Myon, Tau), nicht im Hilbert-Raum der Zustände von Neutrinos.