Ist Zeit in der relativistischen Quantenmechanik eine Observable?

Ist die Zeit zu einem Beobachtbaren gemacht?

Nein. Es ist bekannt , dass ein Operator$T$das befriedigt$[H,T]=i\hbar$ist entweder selbstangrenzend und$H$unbegrenzt unten oder anti-selbstadjungiert. Daher ist die Theorie entweder an sich fehlerhaft (willkürliche negative Energie) oder$T$ist nicht beobachtbar (anti-selbstadjungiert$\Rightarrow$imaginäre Eigenwerte).

Das Theorem, dass die Zeit keine Observable ist, ist ziemlich allgemein, Unruh W., Wald R. beweisen dies in "Time and the interpretation of canonical quantum gravity, Physical Review D Volume 40 issue 8 1989" in folgender Form: "... Im Kontext der gewöhnlichen Schrödinger-Quantenmechanik kann keine dynamische Variable in einem System mit von unten begrenztem Hamilton-Operator als perfekte Uhr in dem Sinne fungieren, dass es immer eine nicht verschwindende Amplitude für jede realistische dynamische Variable gibt, um ‚rückwärts zu laufen‘“.

Die Quantenfeldtheorie umgeht das Problem, indem sie die räumlichen Koordinaten auf Parameter reduziert, die die Feldoperatoren aufzählen$\varphi(x,t)$zu.

Erwarten Sie im Allgemeinen nicht, dass es irgendetwas Quanten gibt, das auf der fundamentalen Ebene Lorentz-kovariant ist. Was die Leute interessiert, ist die Lorentz-Kovarianz auf der Ebene der Observablen, nicht mehr.

Die Frage ist, ob die Zeit ein Operator im Sinne von ist${\hat T}|t\rangle~=~t|t\rangle$. Dies erscheint auf den ersten Blick sinnvoll, da wir einen Positionsoperator haben${\hat X}|x\rangle~=~x|x\rangle$. Dies funktioniert jedoch nicht. Dies ist in vielerlei Hinsicht eine subtile Frage.

Die Quantenmechanik ist unitär. Betrachten Sie einen Zustandsvektor$|\psi(t)\rangle$entwickeln sich so in einem kleinen Zeitschritt$|\psi(t)\rangle~\rightarrow~|\psi(t + \delta t)\rangle$. Dies ergibt eine Taylorentwicklung

$$\psi(t + \delta t)\rangle~=~|\psi(t)\rangle + \frac{\partial|\psi(t)\rangle}{\partial t}\delta t + O(\delta t^2).$$ Schreibe jetzt $|\psi(t)\rangle~=~e^{-i\omega t}|\psi(t_0)\rangle$, und verwenden Sie eine de Broglie-ähnliche Beziehung $\omega~=~E/\hbar$, damit die Energie $E$ein Eigenwert des Hamiltonoperators ist ${\hat H}|E\rangle~=~E|E\rangle$. Wir können sehen, dass der Hamilton-Operator der Hermitesche Generator des unitären Zeitentwicklungsoperators ist $U(t)~=~e^{i{\hat H}t/\hbar}$. Der Hamiltonoperator ist dann der Generator, der angibt, wie sich ein Zustand entwickelt $t~\rightarrow~t' > t$, Und ${\hat H}~=~i\hbar\partial/\partial t$.

Angenommen, die Zeit ist ein Operator. Wir können nun die Energieentwicklung eines Zustands untersuchen$|\psi(E)\rangle~\rightarrow~|\psi(E + \delta E)\rangle$und auf die gleiche Weise können wir sehen, dass der Zeitoperator ist${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$. Soweit scheint alles in Ordnung zu sein. Wir können den Kommutator der beiden wirkenden Operatoren berechnen$|\psi(t)\rangle$Und$|\psi(E)\rangle$

$$[{\hat T}, {\hat E}]|\psi(t)\rangle = [{\hat T}, i\hbar\frac{\partial}{\partial t}]|\psi(t)\rangle$$ $$= -i\hbar\left({\hat T}\frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle~-~\frac{\partial}{\partial t}\big({\hat T}|\psi(t)\rangle\big)\right)~=~i\hbar|\psi(t)\rangle.$$ Ähnliches funktioniert, wenn wir bedenken $|\psi(E)\rangle$mit ${\hat T}~=~-i\hbar\partial/\partial E$.

Betrachten Sie einen hermiteschen Zeitoperator${\hat T}$so dass$[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, also ein unitärer Operator$U_\epsilon~=~exp(-i\epsilon{\hat T})$existiert. Dies ist ein Energieentwicklungsbetreiber, bei dem$\epsilon$liegt in der Menge der Realzahlen. Der Staat$\psi$in der Eigenbasis eines Hamiltonoperators$H\psi~=~E\psi$, mit Kommutator

$$[U_\epsilon,~H]~=~\sum_{n=0}^\infty{{(-i\epsilon)^n}\over{n!}}[{\hat T}^n,~H]~=~-\epsilon U_\epsilon.$$ definiert den zusammengesetzten Operator $HU_\epsilon$ $$HU_\epsilon\psi~=~(U_\epsilon H~-~[U_\epsilon,~H])\psi~=~(E~+~\epsilon)U_\epsilon\psi.$$ $U_\epsilon\psi$ist ein Eigenzustand des Hamiltonoperators mit Eigenwert $E~+~\epsilon$. Der Hamiltonian $HU_\epsilon$ist nicht diskret oder nach unten beschränkt, da $\epsilon$hat ein Kontinuum von Werten auf den Realwerten. Wenn der Hamiltonian $H$ist diskret und nach unten begrenzt $U_\epsilon$bildet diese Eigenwerte auf den gesamten Satz von reellen Zahlen ab, und der Zeitoperator existiert nicht

Definieren Sie den Zeitoperator

$${\hat T}~=~i\hbar\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~ E_k }}.$$ die auf ein Ket einwirkt $|t\rangle~=~N^{1/2}\sum_nexp(iE_nt/\hbar)$als $${\hat T}|t\rangle~=~i\hbar\sum_{j\ne k}{{|E_j\rangle\langle E_k|}\over{E_j~-~E_k }}|t\rangle~=~iN^{-1/2}\hbar\sum_{j\ne k}(E_j - E_k)^{-1}|E_j\rangle e^{-iE_kt/ħ}.$$ Dies ist eine Fourier-Summierung, die sich im Kontinuumslimit ergibt $t|t\rangle$nach der Cauchy-Integralformel. Berechnen Sie nun Matrixelemente von $[T,~H]$für $|\psi\rangle~=~\sum_ja_j|E_j\rangle$ $$\sum_ja_j\langle E_i|[T,~H]|E_j\rangle~=~i\hbar\sum_{j,k,l}a_j\langle E_i|(E_k~-~E_l)^{-1}|E_k\rangle\langle E_l |E_j\rangle$$ $$=~i\hbar\sum_{j,k}a_j\langle E_i| (E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle,$$ wo das Matrixelement $\langle E_i|(E_k~-~E_j)^{-1}|E_k\rangle~=~\delta_{ik}(E_k~-~E_j)^{-1}$. $|E_i\rangle$ist nicht in der projektiven Summation des Zeitoperators für $[{\hat T},~H]~=~i\hbar$, und allgemein $[{\hat T},~ H]~=~0$.

Eine Cauchy-Folge von Zuständen konvergiert zu einem beschränkten Zustand$|\psi\rangle~=$ $\sum_{j=0}^Na_j(N)|E_j\rangle$, für$N$die auf den kompletten Satz gebunden. Für den Koeffizienten$\sim~(1/j)$als$N~\rightarrow~\infty$der Häufungspunkt enthält eine dichte Menge von Punkten mit$E~+~\delta E$Energieeigenwerte, die erfüllen$\sum_j\langle E_j|\psi\rangle~=~0$. Dies bedeutet, dass der Kommutator$[T,~H]~=~i\hbar$gilt für eine Maß-Null-Menge und für die Funktion$\psi(t)$eine fast periodische Funktion.

Wird in diesem Sinne in der relativistischen Quantenmechanik auf der Grundlage der Dirac-Gleichung die Zeit zu einer beobachtbaren gemacht?

Nein, aber es wird den Raumkoordinaten gleichgestellt. Diracs Gleichung ist

$$(i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - mc )\psi$$

Wo$\psi$ist nicht die klassische Wellenfunktion, sondern ein vierkomponentiger Spinor . Die Komponenten des Spinors sind Funktion der vierdimensionalen Raumzeitposition$\vec s = (\vec r, ct)$, deren absoluter Wert quadriert wird$s^2 = (ct)^2-\vec r^2$Lorentz-invariant ist. In gewisser Weise wird also nicht die Zeit zu einem Observable erhoben: Die Raumkoordinaten werden zu Labels „herabgestuft“.

Aktualisieren :

Bei einer kurzen Internetrecherche habe ich herausgefunden , dass es zwar möglich ist, einen Zeitoperator einzuführen und eine konsistente Theorie zu erhalten ("Paulis Einwand wird als gelöst oder umgangen", zit.), aber anscheinend ist es viel einfacher, einfach herunterzustufen die Raumkoordinaten und behandeln sie als Labels. Ich habe auch herausgefunden , dass es sogar in der klassischen Quantenmechanik möglich ist, einen Zeitoperator in gewissem Sinne einzuführen.