Kann Definition Existenz sein (in der Mathematik)?

Die Menge Omega kann, wie der Kommentar in dieser Frage zeigt, als die kleinste Menge definiert werden, die unter der Folge abgeschlossen ist und die leere Menge enthält.

Dies reicht aus, um es eindeutig zu definieren, aber um es zu finden, dh zu beweisen, dass es existiert, muss man das erste Axiom der Unendlichkeit in ZFC verwenden .

So scheint es, dass Definition nicht Existenz ist.

Aber das scheint nicht ganz richtig zu sein. Denn sicherlich wurde das Axiom der Unendlichkeit in ZFC eingeführt, so dass ein Argument wie oben gezeigt existenzielle Bedeutung haben kann.

In diesem Gedankengang scheint es, dass die Definition für die Existenz ausreicht.

Ist das richtig?

Ich würde nein sagen und auf unser kohärentes Verständnis und unsere Erfahrung der mathematischen Unendlichkeit verweisen, die dual in Definition und Axiom verdichtet ist.

Ist das auch richtig?

(Dies scheint meines Erachtens gewisse tangentiale Beziehungen zu den verschiedenen Formen der ontologischen Argumente Gottes zu haben, auf die ich hier nicht eingehen möchte).

(Es scheint auch eine gewisse Affinität mit dem Begriff der Essenz vor der Existenz zu haben).

Tut mir leid, ich verstehe die Frage nicht. Ist die Frage: Does the fact that some entity can be defined entail that that entity exists?Wenn ja, lautet die Antwort nein. Ein Einhorn ist ein Pferd mit einem Horn, aber so etwas gibt es nicht. Oder vielleicht ist die Frage: Are there any things which, by definition, exist?Da ist die Antwort weniger eindeutig. Anselm zum Beispiel argumentierte bekanntermaßen, dass Gott ein solches Wesen sei, aber sein Beweis ist umstritten – wie Sie sicher wissen.
Ich habe das in der Frage nicht gesagt, aber der Umfang liegt in der Mathematik - dies würde also Ihr fiktives Einhorn ausschließen. Ich werde die Frage entsprechend bearbeiten.
und was Ihren zweiten Kommentar betrifft, sicher - deshalb wurde eine kurze Anmerkung zum notologischen Gottesbeweis sowie zur Essenz vor der Existenz hinzugefügt.

Antworten (3)

Mengentheorien müssen nicht die a priori Existenz irgendwelcher Objekte oder Strukturen postulieren. ZFC postuliert jedoch die Existenz der leeren Menge (es ist Null) und eine Art Nachfolgefunktion, die auf der leeren Menge als Ausgangspunkt basiert. Die resultierende Menge könnte unendlich viele Junk - Terme enthalten, die unter Verwendung des Separation (Subset)-Axioms ausgewählt werden müssen, wobei nur die Menge der natürlichen Zahlen übrig bleibt, dh eine Teilmenge, die Peanos Axiome erfüllt.

Sie könnten auch einfach die Existenz einer Dedekind-unendlichen Menge außerhalb der Mengenlehre postulieren – kein großer Vertrauensvorschuss. (Wenn eine solche Menge nicht existiert, wäre das Universum in der Tat ein sehr langweiliger Ort.) Dann können Sie eine Teilmenge daraus extrahieren, die PA erfüllt.

Nachdem Sie mit einem dieser Mittel die Existenz einer Menge gezeigt haben, die PA erfüllt, wären Sie berechtigt, mit der Entwicklung der Zahlentheorie und -analyse zu beginnen, indem Sie einfach die natürlichen Zahlen mit Hilfe von PA definieren.

Ich bin nicht einverstanden mit "Mengentheorien müssen nicht die a priori Existenz von Objekten oder Strukturen postulieren." Modern ausgedrückt interpretieren wir eine Theorie mit einem "Diskursuniversum", das einen nicht leeren Bereich hat. Wenn also ZFC konsistent ist, hat es ein Modell mit "Eigenschaften", die die Axiome von ZFC erfüllen. Daher muss das Universum dieser Modelle eine "leere Menge", eine unendliche Menge usw. enthalten. Das Grundmaterial dieser Modelle sind die Sets .
@MauroALLEGRANZA Zu viele unnötige Abstraktionsebenen? Ich glaube, Sie können eine praktikable Mengentheorie haben, wie ich sie beschreibe. Es ist die Basis für die vereinfachte Version von ZFC, die ich in meinem DC-Proof-Programm verwende. Damit kann ich mit einiger Zuversicht sagen, dass Sie wahrscheinlich die reellen Zahlen konstruieren können, indem Sie die Peano-Axiome als anfängliche Prämisse verwenden. (Ein riesiges Projekt, das Zehntausende von Zeilen formaler Beweise erfordert, von denen ich vielleicht 3/4 abgeschlossen habe.)

In Logik und Mathematik: NEIN

Betrachten wir das wohlbekannte Russellsche Paradoxon : Wir (versuchen) eine Menge R zu definieren, die eine bestimmte Bedingung erfüllt, nur um einen Widerspruch zu beweisen. Fazit: Diese Menge existiert nicht.

Betrachten Sie einen "paradigmatischen" Fall wie die leere Menge in ZF.

Zuerst beweisen wir, dass eine Menge ohne Elemente existiert, dann fügen wir der Sprache der Theorie ein neues Symbol (eine individuelle Konstante ) hinzu, das sie bezeichnet.

Alle "ontologischen" Schlussfolgerungen treffen auf Sie zu ...

Das Hauptproblem hier ist jedoch die Inkonsistenz . Wenn Sie parakonsistente Logik verwenden, können Sie tatsächlich eine solche Menge definieren - und auch Dinge darüber beweisen. Ich denke, die Frage, die ich stelle, liegt irgendwo in der Philosophie des Formalismus.
@MoziburUllah - Ich denke, Sie "entziehen" sich dem Problem. Soweit ich weiß, kann die parakonsistente Mengenlehre die Existenz von Russells Menge beweisen; aber es interessiert immer noch die Existenz von Modellen (siehe z. B. Greg Restall, A Note on Naive Set Theory in LP (1992) oder Ross Brady, The simple consistency of a set theory based on the logic CSQ (1983), beide in NDJouFormLog ) . Wir können die Konsistenz von der Existenz eines Modells trennen , aber das Problem bleibt bestehen. Wenn wir in ZF das Axiom der Unendlichkeit formulieren , erzeugen wir nicht zwangsläufig eine unendliche Menge. 1/2
Wir beschränken die Klasse möglicher Modelle nur auf solche mit unendlichem Definitionsbereich. Aber wir fragen trotzdem: Gibt es solche Modelle? Die Definition der unendlichen Menge reicht nicht aus, um auf die Existenz einer unendlichen Menge zu schließen. 2/2

In der normalen Mathematik (oberhalb der Mengenlehre) ist es ein Standardverfahren, ein Objekt zu definieren und dann zu zeigen, dass mindestens ein solches Objekt existiert .

Zum Beispiel definieren wir eine Gruppe als eine Menge mit einer binären Operation, die das und das erfüllt. Als nächstes geben wir einige Beispiele für Gruppen: die ganzen Zahlen bei der Addition, die reellen Zahlen ungleich Null bei der Multiplikation, die Symmetrien eines Bettes. Die Zimmermädchen im Hilbert Hotel kennen sich damit aus.

Das ist zum Beispiel der ganze Zweck der Dedekind-Schnittkonstruktion der reellen Zahlen. Niemand benutzt es jemals. Du siehst es einmal und vergisst es. Warum ist es wichtig?

Es ist wichtig, denn wenn wir die reellen Zahlen als einen archimedischen vollständigen geordneten Körper definieren, können Sie mit diesen Axiomen die gesamte reelle Analyse durchführen. Sie sind alles, was Sie brauchen.

Aber Sie könnten die gesamte echte Analyse aus diesen Axiomen aufbauen, und Sie wüssten nicht, ob es eine solche Menge gibt. Gehen Sie also nur einmal zu den Grundlagen zurück und zeigen Sie, wie Sie mit den Axiomen der Mengenlehre eine Menge mit diesen Eigenschaften konstruieren können.

Sobald Sie das getan haben, können Sie einfach die Axiome der reellen Zahlen verwenden. Sie kümmern sich nie wieder um den Existenzbeweis.

Aber es ist wichtig , einen Existenzbeweis zusammen mit einer Definition zu liefern. Ich könnte ein lila Einhorn als ein Einhorn definieren, das lila ist. Ich könnte die Biologie eines lila Einhorns beschreiben und Bücher über die Zucht lila Einhörner schreiben. Aber es wäre alles leer. Es gibt kein Objekt, das der Definition entspricht.

Existenznachweise sind zwingend erforderlich.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich Ihre Argumentation verstehe. 1) Sie sagen: "Beginnen Sie mit den Axiomen für den archimedischen vollständigen geordneten Körper [nennen Sie es: A-Axiome] und entwickeln Sie mit ihnen eine echte Analyse." Aber wenn Sie sagen: "und Sie würden nicht wissen, ob es eine solche Menge gibt"; Meinst du: die Realen ? Aber die Realzahlen sind die Elemente im Bereich jedes Modells der Axiome für archimedische vollständige geordnete Körper. 2) Wenn Sie sagen: "Sie gehen zurück zu den Grundlagen und zeigen, wie Sie angesichts der Axiome der Mengenlehre eine Menge konstruieren können [ich nehme an: Erfüllung der A-Axiome] mit diesen Eigenschaften", beweisen Sie, dass ... 1 /2
... im Bereich jedes Modells, das die Axiome der Mengenlehre erfüllt, gibt es Objekte, die die A-Axiome erfüllen. Was ist der "wesentliche" Unterschied? Warum sind wir lizenziert, uns „nie wieder um den Existenzbeweis zu kümmern“? Wir haben die Existenz von Realzahlen auf die von Mengen "reduziert" , und dies ist ein enormer Fortschritt für die Mathematik, aber aus "ontologischer" oder "erkenntnistheoretischer" Sicht scheinen wir keinen wirklichen Fortschritt gemacht zu haben. Nachdem wir reelle Zahlen als "spezielle Mengen" definiert haben , verzichten wir auf einen "Existenz"-Beweis ?2/2
@Mauro ALLEGRANZA Das ist mein Purpleunicorn-Beispiel. Ich kann die Axiome für die reellen Zahlen aufschreiben. Was aber, wenn es kein solches Objekt gibt, das diese Axiome erfüllt? Dann ist alles, was ich über die Realzahlen beweise, nichtssagend. Woher wissen Sie, dass es JEDES mathematische Objekt gibt, das diese Axiome erfüllt? Wir brauchen einen Existenzbeweis. Natürlich haben wir keine absolute Existenz gezeigt ... nur Existenz relativ zu den Axiomen der Mengenlehre. Für berufstätige Mathematiker ist das ausreichend. Wenn wir an Mengen glauben, dann sind wir berechtigt, an die Realzahlen zu glauben.
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