Kann jeder Rangtensor in symmetrische und antisymmetrische Teile zerlegt werden?

Ein höheres)$n$-Rang Tensor$T^{\mu_1\ldots \mu_n}$mit$n\geq 3$kann nicht immer nur in ein total symmetrisches und ein total antisymmetrisches Stück zerlegt werden. Im Allgemeinen wird es auch Komponenten mit gemischter Symmetrie geben.

Die symmetrische Gruppe $S_n$wirkt auf die Indizes

$$(\mu_1,\ldots ,\mu_n)\quad \longrightarrow\quad (\mu_{\pi(1)},\ldots ,\mu_{\pi(n)})$$ über Permutationen $\pi\in S_n$. Man kann den Tensor zerlegen $T^{\mu_1\ldots \mu_n}$nach irreps (irreduzible Darstellungen) der symmetrischen Gruppe.

Jeder Irrep entspricht einem Young-Tableau von$n$Boxen. Zum Beispiel eine einzelne horizontale Reihe von$n$Boxen entspricht einem völlig symmetrischen Tensor, während eine einzelne vertikale Spalte von$n$Boxen entspricht einem total antisymmetrischen Tensor. Aber es gibt auch andere Young-Tableaus mit einer (Art) gemischten Symmetrie.

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Nein.

Definitionen:

• Ein Rang-n-Tensor ist eine lineare Abbildung von n Vektoren auf einen Skalar.
• Ein symmetrischer Tensor ist einer, bei dem die Reihenfolge der Argumente keine Rolle spielt.
• Ein antisymmetrischer Tensor ist einer, bei dem das Transponieren zweier Argumente das Ergebnis mit -1 multipliziert.

Angenommen, wir haben einen Rang-3-Tensor$T$mit symmetrischem Teil$S$und antisymmetrischer Teil$A$Also

$$T(a,b,c) = S(a,b,c) + A(a,b,c)$$

wo$a,b,c\,$sind beliebige Vektoren. Transponieren$c$und$a$auf der rechten Seite, dann transponieren$a$und$b$, wir haben

$$T(a,b,c) = S(c,a,b) + A(c,a,b)$$

so schließen wir

$$T(a,b,c) = T(c,a,b)$$

Es ist trivial, ein Gegenbeispiel zu konstruieren, daher können nicht alle Tensoren vom dritten Rang in symmetrische und antisymmetrische Teile zerlegt werden.