Kerr-Metrik aus gedrehtem Schwarzschild?

Angenommen, wir haben ein System in GR, das durch die Schwazschild-Metrik beschrieben wird. Dann führen wir eine Koordinatentransformation durch, die die Metrik in einem rotierenden System ergibt.

Warum ist die transformierte Metrik nicht in irgendeiner Form die Kerr-Metrik?

Mein Verdacht ist, dass dies auf die Anforderung zurückzuführen ist, dass sowohl die Kerr- als auch die Schwarzschild-Metrik dazu neigen, den Raum weit von der zentralen Masse abzuflachen. Diese Annahme wird bei der Ableitung der beiden Metriken verwendet. Aber warum ist das körperlich? Und wenn das, was ich bisher gesagt habe, richtig ist, gibt es experimentelle Tests der "Ebenheit" weit entfernt von Körpern, von denen angenommen wird, dass sie Schwarzschild/Kerr in unserem Universum sind? (dh um zu testen, wie nützlich diese Lösungen für Einsteins Gleichungen bei der Modellierung realer Objekte sind).

Unterscheidet sich das von der klassischen Mechanik? In einem rotierenden Koordinatensystem würde die Schwerkraft (wegen fiktiver Kräfte) in einiger Entfernung scheinbar abstoßend werden, oder nicht?
@CuriousOne Ich habe das Gefühl, dass Ihre Frage mit Machs Prinzip zusammenhängt, obwohl ich weder genug über GR noch über das Prinzip weiß (was meiner Meinung nach nicht einmal unbedingt Teil von GR ist, siehe physical.stackexchange.com/q/5483 ) . etwas dazu sagen.
Ein rotierendes Koordinatensystem ist lokal eindeutig nachweisbar, ich weise nur darauf hin, dass die Situation keine allgemeine Relativitätstheorie erfordert. Vielleicht verstehe ich deine Frage falsch?
@CuriousOne Ich möchte wissen, warum Sie keine Rotationstransformation auf die Schwarzschild-Metrik anwenden können, um die Kerr-Metrik zu erhalten, dh inwiefern es sich um zwei unterschiedliche Metriken handelt und nicht um dieselbe Metrik in einem anderen Koordinatensystem. Alles an meiner Frage erscheint mir GR, was meinst du mit wir können es in der klassischen Mechanik tun? Über das lokal Erkennbare: Ein weiterer Verdacht, den ich hatte, war, dass Rotationstransformationen in gewissem Sinne nicht "erlaubt" wären. Ich sehe aber nicht warum. Ist es das, was du sagst?
Ich habe das Teil. Meine Sorge ist, dass ein rotierendes Koordinatensystem nicht dasselbe ist wie zB ein rotierender Planet. Die Newtonsche Schwerkraft eines rotierenden Planeten ist die gleiche wie die eines nicht rotierenden Planeten, während das fiktive Kraftfeld, das sich aus einem rotierenden Koordinatensystem ergibt, das der Newtonschen Gravitationsbeschleunigung einer Punktmasse überlagert wird, einen mit der Entfernung wachsenden abstoßenden Term zeigt. Dies ist überhaupt kein relativistisches Phänomen, daher würde ich nicht erwarten, dass GR "das richtig macht" (da es sich in der niedrigen Geschwindigkeit und der schwachen Feldgrenze in Newtonsche Physik verwandelt).
@CuriousOne Ah, jetzt verstehe ich Ihren Punkt :) Ich stimme zu, dass Sie dieses Phänomen in dem von Ihnen beschriebenen klassischen System bekommen, aber sollte GR dieses Ergebnis nicht immer noch auf natürliche Weise liefern? Wenn Sie die Minkowski-Metrik haben und eine Rotationstransformation durchführen, sollte die Geodäte der neuen Metrik genau das sein, was durch die fiktiven Kräfte im Newtonschen Rahmen beschrieben wird (ich hoffe ... wenn irgendetwas von dem, was ich in diesem Kommentar gesagt habe, falsch ist dann verstehe ich GR eindeutig überhaupt nicht). Würden Sie dem zustimmen? Wenn ja, dann ist meine Frage, warum dies nicht zum Rotieren der Schwarzschild-Metrik funktioniert.
Ich bin kein Relativist und habe nie eine formale Ableitung der Kerr-Metrik durchlaufen, jedoch habe ich Kerrs Kommentare zu den erheblichen Schwierigkeiten gesehen, die er und andere überwinden mussten, um sie abzuleiten. Es scheint trivial auszusehen, wenn man vom endgültigen, weniger als überwältigenden Ergebnis zurückgeht ... aber so scheint es sich im Entdeckungsprozess nicht abgespielt zu haben, was darauf hindeutet, dass dort etwas nicht Triviales vor sich geht. Wir haben hier eine Frage dazu: physical.stackexchange.com/questions/150446/… .
@CuriousOne danke für den Link, die Frage ist verwandt, denke ich. Ich denke, die Nicht-Trivialität ist, dass wir auferlegen, dass die Metrik dazu neigen sollte, den Raum weit vom Objekt abzuflachen. Meine Frage ist hauptsächlich, ob das richtig ist (weil es erklären würde, warum Sie die Kerr-Metrik NICHT aus einer Drehung von Schwarzschild erhalten können. Die Systeme wären einfach unterschiedlich, da Kerr im Unendlichen flach ist, während das Rotieren von Schwarzschild es nicht ist, da es immer noch gibt fiktive Kräfte dort). Als Folge davon fragte ich dann, warum wir dies überhaupt auferlegen und ob es dafür eine Validierung gibt.
Ich werde dies in den Chat verschieben, da es für die Frage nicht wirklich relevant ist, sondern eher eine zusätzliche Diskussion.
Der zugrunde liegende Punkt hier ist, dass eine Koordinatentransformation für die Physik überhaupt keinen Unterschied macht : Es ist nur eine Buchhaltungsübung. Sie können niemals durch Buchführung von einem physikalischen System zu einem anderen gelangen, es sei denn, diese Systeme sind tatsächlich dasselbe System, was Kerr und Schwarzschild nicht sind.

Antworten (2)

Eines der Hauptmerkmale der Kerr-Metrik ist, dass sich der Horizont des Schwarzen Lochs in Bezug auf den Raum im Unendlichen dreht – Sie erhalten Frame-Draging- Effekte, die dazu führen, dass sich die Vorstellung von „Ruhe“ ändert, wenn Sie sich dem Schwarzen Loch nähern. Tatsächlich muss Energie aufgewendet werden, wenn Sie in Bezug auf die Unendlichkeit stationär bleiben wollen, bis Sie schließlich eine Oberfläche erreichen, die Ergosphäre genannt wird (die tatsächlich außerhalb des Ereignishorizonts liegt), wo es eigentlich unmöglich ist, relativ zur Unendlichkeit in Ruhe zu sein .

Dies sind alles physikalische, Frame-unabhängige Effekte. Insbesondere ist es möglich, Energie vom Schwarzen Loch durch geschickte Explosionen in der Ergosphäre durch den sogenannten Penrose-Prozess ins Unendliche zu übertragen. Eine bloße Koordinatentransformation wäre nicht in der Lage, solche Effekte zu replizieren. Und eine Koordinatenänderung, die eine einfache starre Rotation um das Schwarzschild-Schwarze Loch beschreibt, würde dazu führen, dass sich "die Kugel im Unendlichen" mit der gleichen Geschwindigkeit wie das Loch dreht.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Mit "Drehen in Bezug auf den Raum im Unendlichen" meinen Sie also, dass sich die Metrik für große Entfernungen der Minkowski-Raumzeit nähert, wie ich in der Frage sagte? Ich verstehe, wie dies all die von Ihnen erwähnten Effekte verursacht, aber könnten Sie den Grund nennen, warum wir dies für die Metrik von Kerr und Schwarzschild auferlegen? Warum erwarten wir zum Beispiel, dass die Metrik für einen rotierenden Stern oder ein schwarzes Loch in unserem Universum eine flache Raumzeit im Unendlichen ist?
@Numrok: ja. Tatsächlich werden diese Raumzeiten "asymptotisch flach" genannt, was in der GR-Literatur eine technische Bedeutung hat. Und der Grund, warum wir dies erwarten, ist, dass wir die Auswirkungen von Schwarzen Löchern in Andromeda auf der Erde nicht zu spüren scheinen.
Da Ihr Argument jetzt verwendet, dass wir die Auswirkungen davon nicht sehen, würde ich gerne fragen, ob Sie dafür eine experimentelle Überprüfung kennen?
@Numrok: andere als die klassischen Tests der allgemeinen Relativitätstheorie und der lokalen Ebenheit des Sonnensystems usw.?
Ich sehe nicht, wie die klassischen Tests von GR dies zeigen würden, da die Metrik im Unendlichen, die nicht flach ist, GR nicht ungültig machen würde. Was meinst du mit Flachheit des lokalen Sonnensystems? Ist das eine bestimmte Reihe von Experimenten/Daten, auf die Sie sich beziehen?
Außerdem werde ich versuchen, das, was ich eigentlich frage, im Lichte dessen, was wir jetzt diskutieren, noch einmal neu zu formulieren. Sie haben in Ihrer Antwort darauf hingewiesen, dass sich der "Horizont des Schwarzen Lochs im Raum im Unendlichen dreht", was ich bereits neu bin (es ist sogar in der Frage). Dann haben Sie einige physikalische Effekte aufgelistet, die alle richtig sind, aber wirklich nicht viel mit der Frage zu tun haben. Am Ende vergleichen Sie dies mit Schwarzschild, das einen Teil der Frage beantwortet, indem es den von mir geäußerten Verdacht bestätigt.
ich habe auch gefragt und finde es immer noch nicht trivial, warum der flache raum im unendlichen eine gute physikalische annahme ist. Haben wir Beweise dafür, dass rotierende Objekte in unserem Universum eher eine Kerr-Metrik als eine gedrehte Schwarzschild-Metrik haben?
@Numrok: Der flache Raum im Unendlichen ist eine vernünftige Annäherung, da der Raum lokal Minkowski ist, abzüglich kosmologischer Effekte. Wir beobachten keine zufälligen Hintergrundeffekte, lokal, von entfernten Schwarzen Löchern. Alle Gravitationstests des Sonnensystems haben dieses Ergebnis – es gibt beispielsweise keine Massenanisotropie in der Gravitation, die von der Phase der Umlaufbahnen im Plenarbereich abhängt.
ty, das war was ich gesucht habe!

Ich denke, die eigentliche Frage ist, warum sollte es so sein? Ein rotierender Koordinatenrahmen ist nicht dasselbe wie ein physisch rotierendes Objekt. Dies ist einfacher in der Galileischen Relativitätstheorie zu sehen, wo wir genau wissen, dass nur eine gleichförmige Bewegung relativ ist: Ein rotierender Stern ist nicht dasselbe wie ein Beobachter, der sich um einen statischen Stern dreht, weil letzterer eine Zentrifugalkraft erfährt.

Angenommen, wir nehmen die Kerr- und die rotierende Schwarzschild-Metrik, die Ihrer Meinung nach gleich sein sollten, und lassen die Masse des Schwarzen Lochs auf Null gehen. Die Kerr-Metrik geht in die Minkowski-Metrik über, was vernünftig ist, da Sie in einer leeren Raumzeit stillstehen. Aber die rotierende Schwarzschild-Metrik geht zu einer rotierenden Minkowski-Metrik über, die sich von der normalen Minkowski-Metrik unterscheidet! Sie haben Zentrifugalkräfte und so weiter. Daher sind die beiden ursprünglichen Metriken nicht identisch.

Die Bewegung zu einem rotierenden Koordinatensystem ist keine Symmetrie der Natur. Das ist wirklich alles, was dazu gehört.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich denke, Sie weisen darauf hin, was ich damit meine, dass wir auferlegen, dass die Metrik im Unendlichen zur Minkowski-Metrik geht. aber warum ist das so? Was lässt uns glauben, dass dies für die Modellierung zB von Schwarzen Löchern in unserem Universum gilt? Gibt es einen theoretischen Grund? Oder experimentelle Beweise?
@Numrok: Ich habe nie gesagt, dass wir auferlegen, dass die Metrik im Unendlichen nach Minkowski geht; Für die Schwarzen Löcher, über die wir hier sprechen, geht es in die flache Raumzeit im räumlichen Unendlichen, aber nicht im zeitlichen Unendlichen. Der zweite Absatz ist nur eine Ausarbeitung, der erste und der letzte sind wichtiger.
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