Kinetische Energie eines Zylinders

Die Ergebnisse sollen nicht gleich sein.

Es gibt zwei Möglichkeiten, Ihre Frage zu interpretieren:

1. Sie möchten die kinetische Energie in verschiedenen Bezugssystemen berechnen .

Denken wir zum Beispiel an einen punktförmigen Körper, der sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt$\mathbf{v}$. Es ist kinetische Energie$\frac{1}{2}mv^2$, aber wenn wir es in einem Referenzrahmen berechnen, der sich mit dem Körper bewegt, ist der Körper in diesem Rahmen in Ruhe und wir erhalten Null. Wir erwarten also nicht das gleiche Ergebnis, wenn wir die kinetische Energie in verschiedenen Referenzrahmen berechnen.

2. Sie möchten im Laborbezugssystem bleiben, aber andere Punkte als Rotationsachse für Ihre Berechnungen wählen.

Hier gibt es einen subtilen Punkt, dessen wir uns bewusst sein müssen. Es ist wahr, dass einige Berechnungen, die die Drehung starrer Körper beinhalten, auf verschiedene Arten durchgeführt werden können, wobei jedes Mal eine andere Achse ausgewählt wird und dennoch das richtige Ergebnis erzielt wird. Das funktioniert zum Beispiel, wenn wir die Linear- und Winkelbeschleunigung eines Körpers berechnen wollen, wenn eine bestimmte Kraft auf ihn einwirkt.

Wenn sich ein starrer Körper jedoch gleichzeitig linear bewegt und dreht und wir seine kinetische Energie berechnen möchten, müssen wir bei der Verwendung der Formel vorsichtig sein:

Wo$\mathbf{V}$ist die Geschwindigkeit des Achsenpunktes und$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit der Drehung um diesen Punkt. Dies ist die Formel, die Sie in Ihren Berechnungen verwendet haben, aber tatsächlich ist sie nur in den folgenden Fällen gültig (und ich gebe unten einen Beweis dafür):

1. Wenn wir den Massenmittelpunkt als Rotationsachse verwenden .
2. Bei Stillstand der Rotationsachse (z$\mathbf{V}=0$).
3. Wenn die Geschwindigkeit parallel zu der Linie ist, die den Achsenpunkt mit dem Massenmittelpunkt verbindet.

Zu den Berechnungen, die Sie in Ihrer Frage gezeigt haben:
Wenn Sie den Fixpunkt des Zylinders als Achsenfall 2 verwendet haben. Wenn Sie den Massenmittelpunkt verwendet haben, gilt Fall 1. Wenn Sie das bewegliche Extrem verwendet haben, traf keiner der Fälle zu, und Sie können die obige Formel in diesem Fall nicht verwenden.

Beweis:
Wir modellieren den starren Körper als Ansammlung punktförmiger Massen$m_i$wobei ihre Positionen relativ zur Rotationsachse als bezeichnet sind$\mathbf{r}_i$. Die Geschwindigkeit der Masse$i$Ist:

Die gesamte kinetische Energie ist dann:

Wo$M=\sum_i m_i$ist die Gesamtmasse,$I=\sum_i m_i |\hat{\boldsymbol\omega} \times \mathbf{r}_i|^2$ist das Trägheitsmoment und$\mathbf{R}_{CM} = (\sum_i m_i \mathbf{r}_i )/M$ist der Massenmittelpunkt relativ zur Rotationsachse.
Wir sehen, dass der letzte Term verschwinden muss, um die Formel zu erhalten, die wir beweisen wollen, und wir können dieses if bekommen$\mathbf{R}_{CM}=0$(Fall 1),$\mathbf{V}=0$(Fall 2) bzw$\mathbf{V} \cdot (\boldsymbol\omega \times \mathbf{R}_{CM})=0$(Fall 3).

Ich glaube, ich habe deinen Fehler gefunden. Das Trägheitsmoment eines um den Mittelpunkt fixierten Stabes ist

Sie können dies auf verschiedene Weise ableiten. Ich habe es abgeleitet, indem ich zwei Stäbe betrachtete, die sich getrennt bewegen (aber immer noch starr), so dass das Trägheitsmoment wie zuvor ist, aber

Sie können das als Winkelgeschwindigkeit betrachten$\dot{\phi}$jeder Stange ist die gleiche wie zuvor.

Wenn Sie dann die Geschwindigkeit des Massenschwerpunkts nehmen, sollten Sie haben

Da der sich verschiebende Teil der Massenmittelpunkt ist, auf halber Gesamtlänge vom Fixpunkt (denken Sie an die Probleme mit rollenden Rädern).

Sie sollten jetzt in der Lage sein, nach der Energie zu lösen.