Klassische Grenze in der Quantenmechanik Beweis

Mehrere Fragen beziehen sich auf die Grenze ℏ → 0 , z.B

ich lese ℏ → 0 in der Quantenmechanik . Hoch bewertete Antworten besagen sowohl, dass diese Grenze ein akzeptabler Weg ist, um Newtons Bewegungsgesetze aus der Schrödinger-Gleichung (SE) ( https://physics.stackexchange.com/a/108226/307786 ) wiederherzustellen, als auch, dass dies nicht der Fall ist ( https ://physics.stackexchange.com/a/42007/307786 ). Kann jemand einen Beweis anstelle von Beispielen liefern?

Ich weiß nicht genau, welche beobachtbare Aussage ich in der Grenze betrachte. Etwas Einfaches, hoffentlich. Der erste Link, den ich habe, besagt, dass das Energiespektrum des harmonischen Quantenoszillators im Grenzbereich kontinuierlich wird. Ich werde einen Beweis dafür akzeptieren

  • alle gebundenen Zustände für alle v unter der Grenze kontinuierlich werden.

  • Oder ein Beweis, dass die Wellenfunktion im Limes eine andere klassische Bedeutung annimmt.

  • Oder dieses SE wird zu einer Euler-Lagrange (EL)-Gleichung oder Hamilton-Gleichung oder Newtonschen Gleichung ( F = M A -like) ohne komplexe Zahlen.

  • Oder dass die Lösungen für SE gleichzeitig im Ortsraum und im Impulsraum wie Deltafunktionen aussehen (weil im Massenschwerpunkt (CM) keine Orts- oder Impulsunsicherheit besteht).

Ich habe diese Ideen von Was macht eine Theorie zu "Quanten"? . Ich glaube, dass ein Beweis für eine dieser Aussagen die meisten anderen implizieren wird. Ich kann nicht definitiv sagen, welche ich will, weil ich nicht weiß, welche richtig und beweisbar sind. Aber ich werde einen Beweis für jedes solche Argument akzeptieren.

Erwägen Sie, welche genaue Beobachtung/Aussage in die Grenze einbezogen wird ℏ → 0 . Die Schlussfolgerung hängt davon ab.
@Qmechanic Ich kann diese Frage nicht beantworten, weil ich nicht weiß, welche Observable beweisbar ist (siehe Bearbeiten). Ich habe ein paar Beispiele für Observables gegeben, ist es in Ordnung, wenn ich für eine davon eine Antwort bekomme? Danke.
Ich habe Ihre Antwort für Ihre Bemühungen positiv bewertet.
Die beobachtbare Aussage: Im klassischen Grenzfall ist es möglich, den Ort zu messen, ohne den Impuls zu stören, und umgekehrt. Das erlaubt es, klassisch-ähnliche scharfe Werte sowohl für die Orts- als auch für die Impulsverteilung zu finden (aber die Wellenfunktionen bleiben immer noch komplexwertig).

Antworten (1)

Ich werde auf diesen Teil der Frage antworten:

Oder dieses SE wird zu einer EL-Gleichung oder Hamilton-Gleichung oder Newtonschen Gleichung (F=ma-ähnlich) ohne komplexe Zahlen.

Lassen ψ eine Lösung der Schrödinger-Gleichung sein

ich ℏ ∂ ψ ∂ T = − ℏ 2 2 M ∇ 2 ψ + v ψ

Sie können die komplexwertige Funktion immer in Polarform schreiben ψ = R e ich S / ℏ für reale Funktionen R Und S . Wenn Sie das in die Schrödinger-Gleichung einsetzen und den Real- und Imaginärteil trennen, erhalten Sie zwei gekoppelte, reellwertige PDEs

∂ R ∂ T = − 1 2 M [ R ∇ 2 S + 2 ∇ R ⋅ ∇ S ]
Und
∂ S ∂ T = − [ | ∇ S | 2 2 M + v + Q ]
Wo
Q = − ℏ 2 2 M ∇ 2 R R
ist das "Quantenpotential".

Beachten Sie, dass der einzige Term, der einen Faktor von hat ℏ darin ist Q . Die erste der beiden Gleichungen, wenn Sie definieren ρ = R 2 = “ ψ “ 2 , gibt Ihnen die Kontinuitätsgleichung aus der Quantenmechanik. Die zweite ist wie die Hamilton-Jacobi-Gleichung für ein klassisches Teilchen mit der Hauptfunktion von Hamilton S mit Ausnahme des zusätzlichen Begriffs "Quantum". Q .

Wenn Sie offiziell nehmen ℏ → 0 , Sie stellen die HJ-Gleichung für das klassische Teilchen genau wieder her, was meiner Meinung nach den Teil Ihrer Frage bis zu der bekannten Tatsache beantwortet, dass Sie zwischen den EL- und HJ-Gleichungen hin und her wechseln können, sobald Sie sich vollständig in der klassischen Mechanik befinden.

(Seit ℏ eine Konstante ist, anstatt die Grenze zu nehmen, die auf 0 geht, ziehe ich es vor, an die Grenze zu denken | Q | ≪ | | ∇ S | 2 / ( 2 M ) + v | , aber die Schlussfolgerung ist die gleiche.)

Es gibt immer noch die Kontinuitätsgleichung, die meiner Meinung nach Teil Ihrer verbleibenden Verwirrung wird. Die Kontinuitätsgleichung gilt weiterhin. Im klassischen Kontext könnte es häufiger als Spezialfall der Fokker-Planck-Gleichung bezeichnet werden, in diesem Fall mit 0-Diffusion. Wenn Sie eine gewisse Unsicherheit haben (im klassischen Ich-weiß-nicht-alles-genau-Sinn und nicht im Quanten-Ich-kann-nicht-alles-genau-wissen-Sinn), dann sagt Ihnen diese Gleichung, wie Sie diese Unsicherheit nach vorne propagieren können. Was jetzt entscheidend anders ist, ist, dass die zugrunde liegende Dynamik nicht von dieser Unsicherheit einmal abhängt Q Begriff wird ignoriert. Wenn Sie keine Unsicherheit haben, was in der klassischen Theorie zulässig ist, funktioniert diese Gleichung immer noch im Sinne einer verallgemeinerten Verteilung, wenn die Verteilung an die Grenze einer Delta-Funktion geht ρ ∼ δ .

Einige der Fragen, Antworten und Papiere, auf die Sie sich beziehen, machen diesen Punkt explizit und getrennt von der " ℏ → 0 "Grenze. Das könnte zumindest teilweise ein Unterschied in der Terminologie sein. Ich bin bereit, die Fokker-Planck-Gleichung "klassisch" zu nennen, wo andere ihr ein Unterscheidungsmerkmal wie "stochastisch klassisch" oder "probabilistisch klassisch" geben wollen. Diejenigen im letzteren Lager (zu Recht) weisen dann darauf hin, dass Sie auch das Limit nehmen müssen ρ → δ um zum "deterministischen" klassischen Fall zu kommen.

Warum ist die Phase von ψ die Lösung der HJ-Gleichung sinnvoll sein? Wie beziehen Sie sich auf die Phase von ψ mit irgendeiner klassischen Observable? Wenn ich mich recht erinnere das S in der HJ-Gleichung ist die klassische Aktion mit freiem Endpunkt
Die Frage – zumindest der von mir identifizierte Teil, den ich beantwortet habe – fragt, wie man die klassische Grenze erkennt. Das ist es. Die Schrödinger-Gleichung hat, wie gegeben, eine reelle Form, und die reelle Form macht unter den genannten Bedingungen deutlich, dass die Dynamik des Teilchens genau durch die klassischen Gleichungen gegeben ist. Was willst du noch? @FrodCube Wie in der Antwort erwähnt, S ist Hamiltons Hauptfunktion, die bekannte Beziehungen zu einigen Varianten von "Aktion" innerhalb der klassischen Physik hat.
Wenn Sie die fallen lassen Q Term, dann ist die rechte Seite der HJ-Gleichung die (klassische) Gesamtenergie, die natürlich eine klassische Observable ist. @FrodCube. Sobald Sie klassisch sind, können Sie daraus auch das Momentum berechnen (da wir auch haben v ), und mit Anfangsbedingungen können Sie die Position als Funktion der Zeit berechnen. Das ist zu diesem Zeitpunkt alles klassische klassische Physik, daher verstehe ich nicht, was Sie im Zusammenhang mit dem Kommentar mit "mit irgendeiner klassischen Observablen" in Beziehung setzen wollten.
vielleicht ist meine frage doof. Ich kenne Ihre Herleitung, ich habe sie in mehreren Büchern gesehen. Ich habe einfach keine Intuition (vielleicht wusste ich es irgendwann), warum die Phase einer Wellenfunktion mit der Aktion zusammenhängt.
@FrodCube Ich denke, ich denke lieber andersherum darüber nach. Die Aktion ist grundlegend, und sie in das Exponential zu setzen, macht die Operatordefinition P → P ^ = − ich ℏ ∂ X trainieren. Die komplexe Version der Gleichung ist sowohl aus historischen als auch aus praktischen Gründen beliebter, aber (als Meinungssache) denke ich, dass die echte Version enger mit intuitiven Grundlagen verbunden ist. Aber wie auch immer, wir wandern wahrscheinlich an dieser Stelle in eine neue Frage ...
@Brick Deine Antwort ist sehr schön.
Wenn ℏ geht auf null, dann passiert was R ? Das heißt, ist es trivial, dass das Quantenpotential verschwindet?
@Hulkster, ich glaube nicht, dass ich deine Frage verstehe. Die Gleichung für R , wie gezeigt, hängt nicht direkt von ab ℏ . Es gibt eine weitere Diskussion darüber im vorletzten Absatz der Antwort.
OK. Wenn R ist unabhängig von ℏ , dann ist die klassische Grenze klar.
Klassische Grenze in der Quantenmechanik Beweis
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