Kniffliger Homöomorphismus [geschlossen]

Question

Kniffliger Homöomorphismus [geschlossen]

Dazai Osamu

Zeige, dass $X=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{m} \times \mathbb{R}^{n} ;|x|^{2}+|y|^{2}=1, y \neq 0\right\}$ ist homöomorph mit $\mathbb{R}^{m} \times S^{n-1}$ .

Mir fällt keine Karte zwischen diesen Mengen ein, die wie ein Homöomorphismus erscheint.

Bitte, kann mir da jemand weiterhelfen?

Fimpellizieri

@ Loobear23 Die erste Koordinate von

X

$X$ ist begrenzt.

Thorgott

Ich würde sagen, es ist einfacher, sich einen Homöomorphismus dazwischen vorzustellen

X

$X$ Und

B^{m} \times S^{n - 1}

$B^m\times S^{n-1}$ , Wo

B^{m}

$B^m$ bedeutet die offene Einheit Ball in

R^{m}

$\mathbb{R}^m$ . Nämlich wenn

(x, y) \in X

$(x,y)\in X$ , Dann

x \in B^{m}

$x\in B^m$ , und umgekehrt, wenn

x \in B^{m}

$x\in B^m$ , Die

y \in R^{n}

$y\in\mathbb{R}^n$ so dass

(x, y) \in X

$(x,y)\in X$ sind genau die Sphäre des Radius

\sqrt{1 - | x |^{2}}

$\sqrt{1-|x|^2}$ In

R^{n}

$\mathbb{R}^n$ . Aus diesen Beobachtungen ist es nicht schwer, einen Homöomorphismus zu konstruieren

X ≅ B^{m} \times S^{n - 1}

$X\cong B^m\times S^{n-1}$ .

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Kniffliger Homöomorphismus [geschlossen]

Ich würde sagen, es ist einfacher, sich einen Homöomorphismus dazwischen vorzustellen $X$ Und $B^m\times S^{n-1}$ , Wo $B^m$ bedeutet die offene Einheit Ball in $\mathbb{R}^m$ . Nämlich wenn $(x,y)\in X$ , Dann $x\in B^m$ , und umgekehrt, wenn $x\in B^m$ , Die $y\in\mathbb{R}^n$ so dass $(x,y)\in X$ sind genau die Sphäre des Radius $\sqrt{1-|x|^2}$ In $\mathbb{R}^n$ . Aus diesen Beobachtungen ist es nicht schwer, einen Homöomorphismus zu konstruieren $X\cong B^m\times S^{n-1}$ .

Fimpellizieri · Answer 1

Fimpellizieri

Betrachten Sie die Karte

(X, j) \mapsto (\frac{X}{“ j “}, \frac{j}{“ j “})

$(x,y) \mapsto \left(\frac x{\lVert y\rVert}, \frac y{\lVert y\rVert}\right)$

Glaubst du, du kannst zeigen, dass es ein Homöomorphismus ist?

Dazai Osamu

Kann ich sagen, dass f stetig ist, weil es Lipschitz ist? Ich meine:

D (\frac{X}{“ j “}, \frac{j}{“ j “}) < D (X, j)

$d\left(\frac{x}{\|y\|}, \frac{y}{\|y\|}\right) < d(x,y)$

Fimpellizieri

Es ist kontinuierlich, weil

y

$y$ ist niemals

0

$0$ und die Norm (und die Multiplikation mit einem Skalar und die Inversion von Skalaren ungleich Null) ist kontinuierlich. Aber ein Homöomorphismus braucht eine kontinuierliche Inverse, also gibt es noch mehr zu tun.

Dazai Osamu

Tut mir leid, dass ich hier wieder hochkomme, aber könnten Sie mir sagen, wie man die Umkehrung von definiert

f

$f$ ? Ich versuche es die ganze Nacht, aber ich konnte keine einzige Umkehrung von finden

f

$f$ .

Fimpellizieri

Nutzen Sie die Tatsache, dass

‖ y ‖^{2} = 1 - ‖ x ‖^{2}

$\lVert y \rVert^2 = 1 - \lVert x \rVert^2$ .

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