Kollaps der Wellenfunktion in nicht-diskreten Systemen

Betrachten wir ein diskretes Quantensystem wie den harmonischen Oszillator oder das Wasserstoffatom. Gemäß der Quantenmechanik kollabiert die Wellenfunktion bei einer Messung der Energie des Systems zu einer der Eigenfunktionen des Hamilton-Operators. Aber wenn wir stattdessen ein nicht-diskretes System wie ein freies Teilchen betrachten, sind die Eigenfunktionen des Hamilton-Operators nicht normalisierbare Funktionen, sodass die Wellenfunktion nicht auf eine davon kollabieren kann. Was sagt die Quantenmechanik in diesem Fall? Kann mit Kenntnis des Messergebnisses bestimmt werden, was die neue Wellenfunktion ist (wie wir es in einem diskreten System mit ausreichend genauen Instrumenten können)?

Vielleicht möchten Sie dies bezüglich der Normalisierung lesen . Ich sehe auch nicht, wie daraus folgt, dass die Unfähigkeit zur Normalisierung dazu führt, dass das System nicht in einem bestimmten Zustand gefunden werden kann.
Das Wasserstoffatom hat ein Kontinuum ungebundener Zustände.
Nicht normalisierbare Funktionen sind keine akzeptablen Lösungen, daher können sie die Wellenfunktion eines Teilchens nicht darstellen, es sei denn, Sie berücksichtigen eine Annahme davon. Meine Frage ist: Nachdem ich eine Messung gemacht und eine bestimmte Energie erhalten habe, auf welche Überlagerung der Eigenfunktionen ist das System zusammengebrochen?
@G.Smith richtig, meine Frage gilt auch für das Wasserstoffatom, wenn ich eine Energie größer als Null messe

Antworten (1)

Dies hängt von der Art der Messung ab, die Sie durchführen. Der idealisierte Fall wird durch das PVM (Projektorwertmaß) beschrieben, das eindeutig der Observable zugeordnet ist, die als selbstadjungierter Operator durch das Spektraltheorem betrachtet wird . Der PVM ist eine Sammlung orthogonaler Projektoren P E , Wo E ist ein Borel-Satz der reellen Achse, typischerweise ein endliches Intervall, das in der Praxis durch die Genauigkeit des Instruments definiert wird. Diese Sammlung von Projektoren erfüllt einige mathematische Eigenschaften, die denen eines positiven Maßes ähneln.

Wenn der Anfangszustand dargestellt wird durch ψ und das Ergebnis ist E , wird der Zustand nach der Messung immer durch den Vektor beschrieben P E ψ ≠ 0 bis zur Normalisierung.

Hier | | P E ψ | | 2 ist die Wahrscheinlichkeit, das Ergebnis zu erhalten E wenn der Anfangszustand durch den normalisierten Vektor dargestellt wird ψ .

All das ist nichts anderes als das Postulat von Luders-von Neumann .

Wenn das Spektrum kontinuierlich ist, einzelne Punkte E = { λ } haben automatisch Nullprojektor P E = 0 , so dass auf diese Weise keine "nicht normalisierbaren Vektoren" erzeugt werden können.

Zum Beispiel für den Positionsoperator, wenn die Positionsmessung das Ergebnis erbracht hat E = [ A , B ] , ist der entsprechende Projektor

( P E ψ ) ( X ) := χ E ( X ) ψ ( X )
wo die Funktion χ E ist draußen null E Und 1 In E .(Beachten Sie, dass wenn E ein einzelner Punkt ist, ist der zugehörige Projektor null, da einzelne Punkte das Lebesgue-Maß null haben.)

Es ist hervorzuheben, dass diese Beschreibung auch gültig ist, wenn das Spektrum ein Punktspektrum ist. In diesem Fall haben einzelne Punkte (Eigenwerte) Nicht-Null-Projektoren: die Einsen auf Eigenräume.

Eine realistischere Beschreibung wird durch ein POVM (Positive Operator Valued Measure) und seine Zerlegung (es ist nicht eindeutig) in Bezug auf Kraus-Operatoren bereitgestellt , aber auch diese Beschreibung führt nicht zu nicht normalisierten Zustandsvektoren.

Es hängt also von der Voreinstellung des Instruments ab und es ist nur ein Teil des Ausgangszustands renormiert? Und was bedeuten „PVM und POVM“?
Zu jeder als selbstadjungierter Operator betrachteten Observable gibt es eine zugehörige a PVM. dh eine Karte, die jeden Borel-Satz sendet E zu einem Orthogonalprojektor P E einige Eigenschaften erfüllen. Die Messung definiert E bezogen auf das konkrete Instrument. Beachten Sie, dass diese Beschreibung auch gültig ist, wenn das Spektrum ein Punktspektrum ist. In diesem Fall haben einzelne Punkte (Eigenwerte) endliche Projektoren: die auf Eigenräume.
Ein POVM ist eine Karte, die Borel-Mengen (Ergebnisse) positiven Operatoren (PO) anstelle von Projektoren (P) zuordnet. PVM = Projektor bewertetes Maß ... Aber diese Beschreibung ist etwas komplizierter und ich möchte nicht auf die Details eingehen.
Kollaps der Wellenfunktion in nicht-diskreten Systemen
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