Kompakter Ausdruck der Maxwell-Gleichungen: Fehlt ein Minuszeichen?

Question

Kompakter Ausdruck der Maxwell-Gleichungen: Fehlt ein Minuszeichen?

Physik
Potenzial
Tensorkalkül
Dichteoperator
Elektromagnetismus
Maxwell-Gleichungen

Sebastiano

Die kompakte Form der Maxwell-Gleichungen:

\begin{matrix} (1) & ◻ F = μ_{0} J \end{matrix}

$\boxed{\square\, \boldsymbol{\mathsf{F}}=\mu_0 \boldsymbol{\mathcal{J}}} \tag{1}$ wobei der Stromdichte-Quadrivektor durch die Beziehung gegeben ist

J = (\bar{J}, i c ρ)

$\boldsymbol{\mathcal{J}}=(\bar J, ic\rho)$ . Der Tensor des elektromagnetischen Feldes ist gegeben durch

\begin{matrix} (2) & F_{μ v} := \frac{\partial A_{v}}{\partial X_{μ}} - \frac{\partial A_{μ}}{\partial X_{v}} \end{matrix}

$F_{\mu\nu}:=\frac{\partial \mathcal{A}_{\nu}}{\partial X_{\mu}}-\frac{\partial \mathcal{A}_{\mu}}{\partial X_\nu} \tag{2}$ mit dem Viererpotential berechnet

A = (\bar{A}, \frac{i}{c} φ)

$\boldsymbol{\mathcal{A}}=\left(\bar{A}, \dfrac ic \varphi\right)$ .

Es ist bekannt $F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu}$ und mit mehreren Schritten (über die ich nicht berichte) habe ich das bewiesen:

\begin{matrix} (3) & \sum_{v = 1}^{4} \frac{\partial F_{μ v}}{\partial X_{v}} = μ_{0} J_{μ}, μ = 1, 2, 3, 4. \end{matrix}

$\begin{equation} \sum^4_{\nu=1}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial X_\nu}=\mu_0\mathcal{J}_\mu,\quad \mu=1,2,3,4. \tag{3} \end{equation}$ Somit

(3) ⟺ (1)

$(3) \iff (1)$ . Offensichtlich erhalte ich leicht das Minuszeichen, wenn ich die Indizes des Tensors des elektromagnetischen Felds vertausche. In der Tat

\begin{matrix} (4) & F_{μ v} = - F_{v μ} : \end{matrix}

$F_{\mu\nu}=-F_{\nu\mu} \tag{4}:$

\begin{matrix} (5) & \sum_{μ = 1}^{4} \frac{\partial F_{v μ}}{\partial X_{μ}} = - μ_{0} J_{v}, v = 1, 2, 3, 4. \end{matrix}

$\begin{equation} \sum^4_{\mu=1}\frac{\partial F_{\nu\mu}}{\partial X_\mu}=-\mu_0\mathcal{J}_\nu,\quad \nu=1,2,3,4. \tag{5} \end{equation}$ oder

\begin{matrix} (6) & ◻ F = - μ_{0} J \end{matrix}

$\square \,\boldsymbol{\mathsf{F}} =-\mu_0 \boldsymbol{\mathcal{J}} \tag{6}$

Die (6) und die (1) sind dasselbe oder hat das Minuszeichen eine andere Bedeutung?

Benutzer178876

Wenn (3) richtig ist, dann muss (5) falsch sein (z

μ_{0} J_{ν} \neq 0

$\mu_0\mathcal{J}_\nu\ne0$ ), da sich die Gleichungen nur durch einen Austausch der Indizes, also eine Umbenennung von unterscheiden

μ \leftrightarrow ν

$\mu\leftrightarrow\nu$ und ein Zeichen.

Sebastiano

@marmot Hallo sehr nett :-). Es gibt viele Passagen, die ich nicht berichtet habe, aber möglicherweise, wenn Sie die partielle Ableitung des Tensors des elektromagnetischen Felds im Vergleich zum zweiten Index-Tick zu einem Minuszeichen machen. All das steht natürlich in meinem "Buch". Ich gebe keine Erklärung ab. Danke für deinen Kommentar.

Benutzer178876

Ich habe erfolgreich alle Erinnerungen an gelöscht

μ_{0}

$\mu_0$ aber Gleichung (3) lässt sich sehr einfach aus den Bewegungsgleichungen für ableiten

A_{μ}

$A_\mu$ . Und durch Austausch

μ

$\mu$ Und

ν

$\nu$ man bekommt (5) bis zum Zeichen, dessen Herkunft ich nicht verstehe. wenn Sie die Antisymmetrie von verwenden

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ , dann bekommst du eine Gleichung mit einem Minus, bei der aber die Ableitung auf den ersten Index wirkt

F

$F$ .

Sebastiano

@marmot ich stimme dir voll und ganz zu. Um die (5) zu erhalten, habe ich die (4) mit dem Minuszeichen verwendet. Tatsächlich wirkt in diesem Fall das Derivat auf den ersten Index von

F

$F$ . Tatsächlich ist meine Frage: Warum muss ich die Antisymmetrie von verwenden?

F

$F$ ? Wenn meine Frage nicht ganz klar ist, sind Sie zur Bearbeitung berechtigt.

Benutzer178876

Sie müssen die Antisymmetrie nicht verwenden. Sie können die Indizes beliebig nennen.

DanielC

Oh, bitte, benutze das nicht

x_{4} = i c t

$x_4 = ict$ . Es ist so 1909, und wir sind im Jahr 2019 ...

Sebastiano

@DanielC Wo habe ich geschrieben

x_{4} = i c t

$x_4=ict$ ?

fqq

@Sebastiano Sie haben - implizit - überall in Ihren Definitionen von Vierervektoren, Ableitungen usw. die Verwendung von getan

i

$i$ 's in den zeitähnlichen Komponenten (und übrigens, es als zu haben

x_{4}

$x_4$ statt

x_{0}

$x_0$ ) gilt allgemein zugunsten der modernen geometrisch/metrischen Sichtweise als überholt.

fqq

Auch,

◻

$\square$ bezeichnet normalerweise den D'Alembert-Operator, der 2-Tensoren nicht auf Vektoren abbildet, wie es für die sinnvolle Gleichung erforderlich wäre. Ich kann mir vorstellen, was du meinst

◻ \overset{\leftrightarrow}{F}

$\square \overleftrightarrow F$ , aber AFAIK ist keine Standardnotation, und da Sie es mit einem Vorzeichenproblem zu tun haben, denke ich, dass Definitionen wichtig sind. 9

Sebastiano

@fqq Es gibt keine in meine Frage

x_{4}

$x_4$ Und

x_{0}

$x_0$ . Wo haben Sie diese Notationen gesehen? Ich kenne den modernen geometrisch / metrischen Standpunkt nicht, sorry.

fqq

überall in Ihren Gleichungen haben Sie

X_{ν}

$X_\nu$ ,

ν = 1 \dots 4

$\nu=1\dots 4$ , und Sie haben explizit Faktoren von

i

$i$ in der vierten Komponente von Vierervektoren! Du benutzt

X_{4} = i c t

$X_4=i c t$ , sogar unter Verwendung von Derivaten

\partial / \partial (i c t)

$\partial / \partial (ict)$ .

Antworten (2)

Kompakter Ausdruck der Maxwell-Gleichungen: Fehlt ein Minuszeichen?

Wenn (3) richtig ist, dann muss (5) falsch sein (z $\mu_0\mathcal{J}_\nu\ne0$ ), da sich die Gleichungen nur durch einen Austausch der Indizes, also eine Umbenennung von unterscheiden $\mu\leftrightarrow\nu$ und ein Zeichen.
@marmot Hallo sehr nett :-). Es gibt viele Passagen, die ich nicht berichtet habe, aber möglicherweise, wenn Sie die partielle Ableitung des Tensors des elektromagnetischen Felds im Vergleich zum zweiten Index-Tick zu einem Minuszeichen machen. All das steht natürlich in meinem "Buch". Ich gebe keine Erklärung ab. Danke für deinen Kommentar.
Ich habe erfolgreich alle Erinnerungen an gelöscht $\mu_0$ aber Gleichung (3) lässt sich sehr einfach aus den Bewegungsgleichungen für ableiten $A_\mu$ . Und durch Austausch $\mu$ Und $\nu$ man bekommt (5) bis zum Zeichen, dessen Herkunft ich nicht verstehe. wenn Sie die Antisymmetrie von verwenden $F_{\mu\nu}$ , dann bekommst du eine Gleichung mit einem Minus, bei der aber die Ableitung auf den ersten Index wirkt $F$ .
@marmot ich stimme dir voll und ganz zu. Um die (5) zu erhalten, habe ich die (4) mit dem Minuszeichen verwendet. Tatsächlich wirkt in diesem Fall das Derivat auf den ersten Index von $F$ . Tatsächlich ist meine Frage: Warum muss ich die Antisymmetrie von verwenden? $F$ ? Wenn meine Frage nicht ganz klar ist, sind Sie zur Bearbeitung berechtigt.
Sie müssen die Antisymmetrie nicht verwenden. Sie können die Indizes beliebig nennen.
Oh, bitte, benutze das nicht $x_4 = ict$ . Es ist so 1909, und wir sind im Jahr 2019 ...
@Sebastiano Sie haben - implizit - überall in Ihren Definitionen von Vierervektoren, Ableitungen usw. die Verwendung von getan $i$ 's in den zeitähnlichen Komponenten (und übrigens, es als zu haben $x_4$ statt $x_0$ ) gilt allgemein zugunsten der modernen geometrisch/metrischen Sichtweise als überholt.
Auch, $\square$ bezeichnet normalerweise den D'Alembert-Operator, der 2-Tensoren nicht auf Vektoren abbildet, wie es für die sinnvolle Gleichung erforderlich wäre. Ich kann mir vorstellen, was du meinst $\square \overleftrightarrow F$ , aber AFAIK ist keine Standardnotation, und da Sie es mit einem Vorzeichenproblem zu tun haben, denke ich, dass Definitionen wichtig sind. 9
@fqq Es gibt keine in meine Frage $x_4$ Und $x_0$ . Wo haben Sie diese Notationen gesehen? Ich kenne den modernen geometrisch / metrischen Standpunkt nicht, sorry.
überall in Ihren Gleichungen haben Sie $X_\nu$ , $\nu=1\dots 4$ , und Sie haben explizit Faktoren von $i$ in der vierten Komponente von Vierervektoren! Du benutzt $X_4=i c t$ , sogar unter Verwendung von Derivaten $\partial / \partial (ict)$ .

Andreas Steane · Answer 1

Ausgehend von Ihrer Gleichung (3) haben wir

μ_{0} J_{μ} = \sum_{μ = 1}^{4} \frac{\partial F_{μ v}}{\partial X_{v}} = - \sum_{μ = 1}^{4} \frac{\partial F_{v μ}}{\partial X_{v}}

$\begin{equation} \mu_0\mathcal{J}_\mu = \sum^4_{\mu=1}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial X_\nu} = -\sum^4_{\mu=1}\frac{\partial F_{\nu\mu}}{\partial X_\nu} \end{equation}$ daher sollte Ihre Gleichung (5) lauten

\sum_{μ = 1}^{4} \frac{\partial F_{v μ}}{\partial X_{v}} = - μ_{0} J_{μ}

$\begin{equation} \sum^4_{\mu=1}\frac{\partial F_{\nu\mu}}{\partial X_\nu} = - \mu_0\mathcal{J}_\mu \end{equation}$ die auch geschrieben werden können (nach Umbenennung von Indizes)

\sum_{μ = 1}^{4} \frac{\partial F_{μ v}}{\partial X_{μ}} = - μ_{0} J_{v}

$\begin{equation} \sum^4_{\mu=1}\frac{\partial F_{\mu\nu}}{\partial X_\mu} = - \mu_0\mathcal{J}_\nu \end{equation}$ Daher hat Ihre Gleichung (5) einen Vorzeichenfehler.

Aber vielleicht wollten Sie sagen, dass Sie (5) nicht aus (3) erhalten, sondern nur behaupten, dass (5) das wäre, was Sie erhalten würden, wenn Sie von vornherein von einer anderen Gleichung ausgehen würden.

Ich denke, das Problem hier könnte darin bestehen, dass Sie sich einer Annahme nicht bewusst sind, die in die indexfreie Notation eingebaut ist, die Sie in (1) übernommen haben, in Bezug auf welchen Index von $F$ Der Differentialoperator wird verwendet. Es muss eine Konvention vorliegen, sonst ist die Gleichung mehrdeutig, weil $F$ ist nicht symmetrisch.

Der allgemeine Punkt ist, dass Sie nicht erwarten können $\partial_\mu F^{\mu b}$ gleich sein $\partial_\mu F^{b \mu}$ Wenn $F^{ab} \ne F^{ba}$ , daher muss bei jeder Gleichung mit solchen Größen darauf geachtet werden, ob die Ableitung auf dem ersten oder dem zweiten Index gebildet wird.

Benutzer178876 · Answer 2

Um die inhomogenen Maxwell-Gleichungen herzuleiten, müssen Sie die Antisymmetrie des Feldstärketensors nicht verwenden. Sie folgen aus den Bewegungsgleichungen für $A_\mu$ . Wenn Sie mit beginnen

L = - \frac{1}{4} F_{μ v} F^{μ v} - e J^{μ} A_{μ},

$\mathscr{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-e J^\mu A_\mu\;,$ die Euler-Lagrange-Gleichungen geben Ihnen

\partial_{μ} F^{μ v} = e J^{v}

$\partial_\mu F^{\mu\nu}=e J^\nu$ bis zu einem Gesamtableitungsterm, der abgeschätzt oder wegdiskutiert werden kann. Wenn Sie umbenennen

μ \leftrightarrow ν

$\mu\leftrightarrow\nu$ , du erhältst

\partial_{v} F^{v μ} = e J^{μ} .

$\partial_\nu F^{\nu\mu}=e J^\mu\;.$ Es kann durchaus sein, dass sich unsere Konventionen unterscheiden, weil ich damit nicht arbeite

μ_{0}

$\mu_0$ Kuriositäten. Das heißt, alles Obige geht von natürlichen Einheiten aus, in denen

c = 1

$c=1$ . In jedem Fall erhalten Sie beim Umbenennen der Summenindizes kein Vorzeichen.

Sie haben den Lagrangian und den CGS verwendet :-(. Ich habe etwas verstanden :-) aber das Minuszeichen, wie lasse ich es erscheinen?
@Sebastiano Ich weiß es nicht. Es gibt viele konventionsabhängige Vorzeichen, wie das Vorzeichen von e(das in meinen Konventionen negativ ist) oder die Signatur der Metrik (ich verwende $(+,-,-,-)$ ). Ich kann nur sagen, dass Sie es nicht durch Umetikettieren bekommen können, Buona notte!
Vielen Dank für Ihre wunderbare und wunderbare Zusammenarbeit. Es ist mein Tag hier und ich weiß nicht, ob du schläfst. Wenn es so gut wäre, sich auszuruhen. Meine herzlichsten Grüße.
Neinoooooooooo, warum kündigen Sie TeX.SE? Sag mir nicht, es ist ein Witz. Sie haben und werden meine volle Unterstützung haben. Ich will es gar nicht glauben, du gehörst zu meinen Freunden und das nicht nur wegen der Hilfe, die du mir gegeben hast. Ich will überhaupt nicht daran denken, dass du gehst. Eigentlich schreibe ich Ihnen mit dem Herzen, darüber nachzudenken. Ich musste mich allen Arten von Straftaten stellen, aber vor allem Freunden. Du bist eine wichtige Person.
Nein, nein, ich verstehe nicht wirklich. Warum sollten sie dich suspendieren? :-( Ich sehe überhaupt nichts, was du schlecht gemacht hast. Bitte bleib. Warum müssen gute und kompetente Leute immer fliehen? Ich will nicht glauben, dass du gehst.
Sie können die Moderatoren fragen, was ich falsch gemacht habe. Sie konnten mir die Frage nicht beantworten, also sagen sie es dir vielleicht. Egal, jetzt ist es zu spät. Moderatoren haben viel Macht, und wie der Papst können sie sich nicht irren.

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