Um den Grund für die Definition des dualen elektromagnetischen Tensors zu verstehen, müssen Sie den Elektromagnetismus in der Sprache der Differentialformen verstehen . Ein sehr empfehlenswertes Buch dafür ist Gauge Fields, Knots and Gravity von Baez und Muniain.

Wenn Sie dieses Buch lesen, werden Sie sehen, dass der elektromagnetische Tensor$F$ist eine 2-Form. In einfachen Worten, ein$n$-Form kann als Tensor mit beschrieben werden$n$antisymmetrische Indizes, und das macht Sinn$F_{\mu\nu}$ist eine 2-Form, wenn sie innen antisymmetrisch ist$\mu$Und$\nu$(was es ist).

In$d$Dimensionen gibt es eine Operation namens Hodge-Dual , die durch einen Stern gekennzeichnet ist$\star$, was dauert$n$-form$A$zu einem$(d-n)$-form$\star A$. Also im Spezialfall des elektromagnetischen Tensors$F$in 2 Dimensionen haben wir$n=2$Und$d=4$, und das duale$\star F$des elektromagnetischen Tensors ist eine weitere 2-Form, die wie folgt definiert ist:

$$(\star F)_{\mu\nu} \equiv \frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^{\rho\sigma}.$$

Nun, in der Sprache der Differentialformen können Maxwells Gleichungen sehr elegant ausgedrückt werden als:

$$dF=0,$$

$$d \star F = \star J,$$

Wo$J$ist der Strom, der eine 1-Form ist. Die erste Zeile gibt Ihnen die ersten beiden Maxwell-Gleichungen in Bezug auf$E$Und$B$, und die zweite Zeile gibt Ihnen die beiden anderen Maxwell-Gleichungen in Form von an$E$Und$B$.

Entscheidend ist, dass es unmöglich ist, alle 4 Maxwell-Gleichungen zu verwenden$F$allein; es ist dual$\star F$muss in der zweiten Gleichung verwendet werden.

Ich fordere Sie auf, das oben empfohlene Buch zu lesen, um weitere Informationen zu erhalten. all dies und noch viel mehr wird dort sehr anschaulich erklärt.

Obwohl Sie eine Antwort auf diese Frage erhalten haben, dachte ich, dass es Sie vielleicht auch interessieren könnte, dass es einen ganzen zugrunde liegenden Raum gibt, der eine andere Perspektive auf den Hodge-Operator gibt, als in gewissem Sinne eine 90-Grad-Drehung des Problems um einige nicht sofort -scheinbare Achse.

Spin-Raum

Es gibt also eine grundlegendere Theorie, aus der der Minkowski-Raum auf natürliche Weise hervorgeht und die als "Spinoralgebra" oder "Spinraum" oder was auch immer bezeichnet werden kann. Die Grundidee ist, dass wir die Pauli-Matrizen nehmen$\sigma_{1,2,3}$die Sie vielleicht aus der Quantenmechanik kennen, fügen Sie die Identitätsmatrix hinzu als$\sigma_w$, und nehmen Sie dann die Komponenten eines Weltvektors$v^\mu$im Minkowski-Raum und bilden die hermitische 2x2-Matrix$V = \sigma_w v^w + \sigma_x v^x + \sigma_y v^y + \sigma_z v^z.$(Wie gewöhnlich,$w=ct.$)

Das scheint auf den ersten Blick schrecklich willkürlich, aber es wird weniger willkürlich, wenn man das erkennt$\det V = v_\mu~v^\mu$im$(+~-~-~-)$metrisch. Da die Definition der Lorentz-Transformation "alles, was die Metrik bewahrt" ist, haben wir dies jetzt umformuliert als "alles, was diese hermitischen Matrizen auf andere hermitische Matrizen mit derselben Determinante abbildet", und wir finden heraus, dass die Lorentz-Transformationen natürlich in vier Teile fallen getrennt Populationen: Die "Haupt" ist kontinuierlich mit der Identitätstransformation und nimmt die Form an$V\mapsto L V L^\dagger$Wo$L$ist eine komplexe 2x2-Matrix mit der Determinante 1; die anderen Populationen kommen durch Zusammensetzen dieser mit den zwei Paritätstransformationen$V \mapsto -V$Und$V \mapsto (\det V)V^{-1}.$Das ist also die Verbindung zwischen der Lorentz-Gruppe und der Gruppe$\text{SL}(2, \mathbb C),$direkt gesehen. Wir bekommen auch einen sehr schönen theoretischen Vorteil, dass die Untergruppe der Rotationen genau dort der Fall ist$L$ist einheitlich.

Wenn wir uns genau ansehen, was$L$verkörpert eine Drehung durch$\theta$über die$z$-Achse, die wir oben gewählt haben, können wir feststellen, dass dies tatsächlich der Fall ist$L = \exp(i\sigma_z~\theta/2) = \cos(\theta/2) ~I+ i\sin(\theta/2)\sigma_z,$mit der Eigenschaft, dass nach einer Drehung durch$2\pi$wir enden nicht bei$I$sondern eher bei$-I.$Natürlich die Tatsache, dass die Transformation ist$V\mapsto L~V~L^\dagger$bedeutet, dass sich die beiden Minuszeichen aufheben, aber nicht auf den natürlichen Vektoren des Raums dieser Matrix . Also zum Beispiel, wenn wir einen Nullvektor haben$\det V = 0$wir wissen, dass das eine Projektion ist und als äußeres Produkt geschrieben werden kann,$V = v~v^\dagger,$aber eine 360-Grad-Drehung Karten$v \mapsto - v$und deshalb$v$ist ein Spinor , wobei diese Eigenschaft "nach einer 360-Grad-Drehung erhalten wir das Negativ dessen zurück, womit wir begonnen haben" die definierende Eigenschaft von Spinoren ist. Also der natürliche Vektorraum, den diese haben$V$Matrizen leben auf diesem Spin-Raum und seine Vektoren sind Spinoren in Bezug auf die Gruppenelemente, die unseren 3D-Raum drehen. Wir können sehen, dass wir 4 komplexe Komponenten benötigen, die wir aufrufen können$v^{00}, v^{01}, v^{10}, v^{11},$um unseren 4-Vektor zu beschreiben, aber sie sind durch die Hermitesche Einschränkung verwandt.

Um diese Einschränkung in unserem Formalismus ausdrücken zu können, müssen wir uns das vorstellen$\psi^a$lebt in einem Spinorraum$\mathcal S^a$und hat ein kanonisches Konjugat$\bar\psi^{\bar a}$Leben im Spinorraum$\mathcal S^\bar a.$Diese kanonische Konjugationsrelation verteilt sich über Produkte und Summen auf einfache Weise und über skalare Vielfache von$\bar{\alpha~\psi^a} = \alpha^*~\bar\psi^{\bar a}.$Und dann können wir sagen, dass unsere echten 4-Vektoren diese 2-Spinoren sind$v^{a\bar a}$mit einem Paar aus einem normalen und einem gesperrten Index, und sie sind in dem Sinne echt$v^{a\bar a} = \bar v^{a\bar a}.$Beachten Sie, dass die gesperrten und die nicht gesperrten Leerzeichen nicht leicht miteinander verwechselt werden können (es führt zu ziemlich sofortigen Tippfehlern), sodass wir gesperrten und nicht gesperrten Indizes einfach erlauben können, in Spinor-Ausdrücken frei miteinander zu pendeln.

Wir müssen also einen Index des Weltvektorraums darstellen$v^\alpha$mit einem Paar verwandter Indizes$v^{a\bar a},$wobei der Balken anzeigt, dass bei der Konjugation dieses Symbol$\bar a$soll dem Symbol entsprechen$a$. Mit anderen Worten, wir definieren die Operation$\bar{p^A} = \bar p^{\bar A}$als komplexe Konjugationsoperation im Spinraum$\bar{\alpha p^a + \beta q^a} = \bar p^{\bar A}$Mit Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir dann gesperrte Indizes mit nicht gesperrten vertauschen, man gehört eben zum "konjugierten Raum".

Damit lässt sich auch eine interessante „metrische Quadratwurzel“ ziehen: wenn wir uns das innere Produkt vorstellen$g_{\alpha\beta} u^\alpha v^\beta$wird durch einen Spin-Raum-Tensor verkörpert$\epsilon_{ab}\epsilon_{\bar a\bar b}~u^{a\bar a}v^{b\bar b}$Wir können feststellen, dass dies eine natürliche Wahl ist, die zu unserem Ergebnis führt$(+~-~-~-)$Metrik würde einfach geschrieben werden$\epsilon_{ab} = \begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$. Mit anderen Worten, wir stellen natürlich fest, dass, wenn wir dem Spin-Raum einen Orientierungstensor geben, er auf magische Weise zu einer Metrik auf dem Welt-Raum wird.

Es orientiert sich natürlich auch gleichzeitig mit dem Minkowski-Raum

$$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} = \epsilon_{a\bar a b\bar b g\bar g d\bar d} = i\epsilon_{ag}\epsilon_{bd}\epsilon_{\bar a\bar d}\epsilon_{\bar b\bar g} - i \epsilon_{ad}\epsilon_{bg}\epsilon_{\bar a\bar g}\epsilon_{\bar b\bar d}.$$

Wie antisymmetrische Tensoren im Spinraum aussehen.

Ihr antisymmetrischer Valenz-[0, 2]-Welttensor gehorcht$F_{\alpha\beta} = -F_{\beta\alpha},$was im Spin-Raum aussieht

$$F_{a\bar ab\bar b} = -F_{b\bar ba\bar a}.$$

Wandeln Sie nun die gesperrten Indizes bis zum Ende um und verwenden Sie dies, um sie durch die Summe zweier Hälften von sich selbst zu ersetzen.

$$F_{ab\bar a\bar b} = \frac12 F_{ab\bar a\bar b} - \frac12 F_{ba\bar b\bar a}.$$ Addieren und Subtrahieren der „Rückwärts“-Mischung $\pm F_{ab \bar b \bar a}$zu diesem Ausdruck mit der dazugehörigen Symmetrie; hat man: $$F_{ab\bar a \bar b} = \frac12 (F_{ab\bar a\bar b} - F_{ab\bar b \bar a}) + \frac12 (F_{ab\bar b\bar a} - F_{ba\bar b \bar a}).$$ Nun ist ein Theorem im Spinraum, dass wenn ein Paar normaler (entweder beide unkonjugierter oder beide konjugierter) Indizes antisymmetrisch ist, es zu einem einfachen „heruntergekocht“ werden kann $\epsilon_{ab}$Begriff, und hier sehen wir, dass er an zwei Stellen erscheint, $$F_{ab\bar a \bar b} = \varphi_{ab}~\epsilon_{\bar a \bar b} + \epsilon_{ab}~\bar \varphi_{\bar a \bar b},$$ wobei die Anforderung, dass dies konjugierte 2-Spinoren sein müssen, von der Tatsache herrührt, dass $F$ist echt. Man kann sich auch ausrechnen, dass der 2-Spinor $\varphi_{ab}$ist symmetrisch und hat daher 3 komplexe oder 6 reelle Freiheitsgrade.

Anwenden der Orientierung können wir schreiben,

$$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~F^{\gamma\delta} = (i\epsilon_{ag}\epsilon_{bd}\epsilon_{\bar a\bar d}\epsilon_{\bar b\bar g} - i \epsilon_{ad}\epsilon_{bg}\epsilon_{\bar a\bar g}\epsilon_{\bar b\bar d})(\varphi^{gd}~\epsilon^{\bar g \bar d} + \epsilon^{gd}~\bar \varphi^{\bar g \bar d}).$$ Hier ist die Erhöhung der Indizes erledigt $\epsilon^{ab}$definiert, um zu machen $\epsilon^{ab}~\epsilon_{cb} = \delta^a_c,$und dies wiederum reduziert diese Ausdrücke zu: $$\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}~F^{\gamma\delta} = -2i\varphi_{ab}~\epsilon_{\bar a \bar b} - 2i\epsilon_{ab}\bar\varphi_{\bar a\bar b}.$$ Mit anderen Worten, das elektromagnetische Feld ist ein [0 2]-Spinor, und es gibt eine Operation, die wir Hodge-Rotation nennen könnten, $\varphi_{ab} \mapsto e^{-i\theta} \varphi_{ab},$und das Hodge-Dual ist nur die 90-Grad-Hodge-Drehung. Die Tatsache, dass es wichtig ist, bedeutet wirklich zu sagen, dass wir alle Teile dieses 2-Spinors benötigen, nicht nur den "realen Teil", wie er natürlich im Welttensor zu sehen ist, um seine Entwicklung und skalaren Invarianten zu beschreiben.

Es hilft auch, dies zu verstehen, indem man die Lorentz-Invarianten bildet$\varphi_{ab}~\varphi^{ab}.$Wenn Sie das Produkt genau betrachten$F_{ab}F^{ab}$wird Ihnen nur den wahren Teil davon geben, nämlich$E^2 - B^2.$Aber es gibt noch eine weitere Lorentz-Invariante, nämlich den Imaginärteil$E \cdot B.$Und diese Lorentz-Invariante kommt nur natürlich heraus$F_{ab} \tilde F^{ab}$. Sie brauchen also diesen Orientierungstensor, um Ihnen diese zusätzliche Lorentz-Invariante richtig zu zeigen, die Ihnen zuvor "verborgen" war.