Was bedeutet dieses Zitat über die vierdimensionale Divergenz eines antisymmetrischen Tensors?

Am Anfang sagte Gott, dass die vierdimensionale Divergenz eines antisymmetrischen Tensors zweiter Ordnung gleich Null ist und es Licht gibt.

Kann jemand erklären, was dieses Zitat von Michio Kaku bedeutet?

Kurz gesagt, das Zitat ist ein Hinweis auf die spezielle relativistische Formulierung der Maxwellschen Gleichungen (ohne Quellterme), die wiederum das Licht regiert.

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Der antisymmetrische Tensor zweiter Ordnung, auf den verwiesen wird, ist der elektromagnetische Feldtensor . Es ist wie folgt definiert. Lassen φ sei das elektrostatische Potential (ein Skalarfeld) und sei EIN _ sei das magnetische Potential (ein 3-Vektor) aus der klassischen E&M. Verketten Sie sie zu einem 4-Vektor EIN → . Definieren Sie nun den interessierenden Tensor als äußere Ableitung von EIN → :

F = d EIN → .
Wir können dies komponentenweise mit partiellen Ableitungen schreiben:
F μ v = ∂ μ EIN v − ∂ v EIN μ .
Sie können das sehen, wenn Sie es sich als Matrix vorstellen, die Komponenten F μ v von F sind antisymmetisch.

Nun, die Verwendung davon ist, dass die vier Gleichungen , die den klassischen Elektromagnetismus (und damit das Licht ) regeln, äquivalent sind zu:

∂ v F μ v = J μ
( J → ist der 4-Strom, der aus elektrischer Ladung besteht, die mit 3-Strom verkettet ist) und
∂ [ a F μ v ] = 0
(Die Klammern bezeichnen die Summierung aller Permutationen von Indizes mit einem Vorzeichen, das durch die Parität der Permutation gegeben ist).

Beachten Sie, dass es abhängig von Ihrem Einheitensystem Konstanten wie geben kann c oder μ 0 in diesen Gleichungen herumschwimmen.

Welchen Vorteil hat es, mit der Anforderung zu beginnen, dass F kann geschrieben werden als d EIN ? Und wenn Sie so anfangen, warum aufschreiben ∂ [ a F μ v ] = 0 auch?

Aus dieser Abschrift stammt das vollständige Zitat

Wenn Sie also nach Berkley gehen, wo ich promoviert habe, können Sie ein T-Shirt kaufen, auf dem steht: „Am Anfang sagte Gott, dass die vierdimensionale Divergenz eines antisymmetrischen Tensors zweiten Ranges gleich Null ist, und es gab Licht, und es war gut. Und am siebten Tag ruhte er.“ Meine Damen und Herren, das ist die Lichtgleichung.

Ein Tensor des zweiten Rangs wird allgemein als Matrix bezeichnet, und ein Tensor des ersten Ranges wird allgemein als Vektor bezeichnet.

Ein antisymmetrischer Tensor ist ein Tensor, bei dem der Austausch zweier Indizes den Tensor negiert; zum Beispiel a j ich = − a ich j .

Laut Wikipedia ist die Divergenz eines Tensors zweiter Ordnung (Rang) ein Tensor erster Ordnung (Rang) (ich habe das Ergebnis dort auf vier Dimensionen extrapoliert)

∇ ⋅ ϵ = [ ∂ ϵ x x ∂ x + ∂ ϵ j x ∂ j + ∂ ϵ z x ∂ z + ∂ ϵ w x ∂ w ∂ ϵ x j ∂ x + ∂ ϵ j j ∂ j + ∂ ϵ z j ∂ z + ∂ ϵ w j ∂ w ∂ ϵ x z ∂ x + ∂ ϵ j z ∂ j + ∂ ϵ z z ∂ z + ∂ ϵ w z ∂ w ∂ ϵ x w ∂ x + ∂ ϵ j w ∂ j + ∂ ϵ z w ∂ z + ∂ ϵ w w ∂ w ]
Was die physikalische Bedeutung betrifft, das ist eher ein Thema für die Physik .

Es ähnelt den T-Shirt-Designs von vor ein paar Jahrzehnten mit Maxwells Gleichungen anstelle von „Es werde Licht“ in dem berühmten biblischen Zitat, außer dass sich diesmal einige Designer entschieden, die raffinierte Art des Raumzeit-Tensors zu verwenden, um elektromagnetische Felder zu beschreiben . In der Relativitätstheorie wird das elektromagnetische Feld durch einen antisymmetrischen 4D-Tensor beschrieben. Seine Divergenz, also die antisymmetrisierte Ableitung, ist im Vakuum Null. (Bei Ladungen und Strömen ist es ungleich Null, aber ich denke, Gott hat die Ladung erst am nächsten Tag erfunden.)

Was bedeutet dieses Zitat über die vierdimensionale Divergenz eines antisymmetrischen Tensors?
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