Konfigurationsraum, der keine Mannigfaltigkeit ist

Betrachten Sie ein Punktepaar$P$Und$Q$, sagen wir der Masse$m>0$, und nehmen Sie an, dass sie wie folgt eingeschränkt sind.

1. $Q$bleibt auf der$z$Achse und kann sich entlang dieser bis zu den unten genannten Einschränkungen frei bewegen.

2. $P$kann sich frei drehen$z$und verbunden ist$Q$mittels eines idealen Stabes (Nullmasse) der Länge$\ell$, und es ist auch mit dem Ursprung verbunden$O$mittels einer anderen idealen Stange der Länge$\ell$.

Dies ist ein ziemlich standardisiertes idealisiertes mechanisches System (ich könnte es als Ausgangspunkt für eine Übung in meinem Grundkurs Analytische Mechanik verwenden).

Ein geeignetes Koordinatensystem zur Beschreibung des Systems ist offenbar durch den vorzeichenbehafteten Abstand gegeben$Z\in (-2\ell, 2\ell)$von$Q$aus$O$entlang$z$und eine Winkelkoordinate$\theta\in (-\pi,\pi]$Beschreibung der Position von$P$um$z$im Flugzeug$x,y$.

Nun, Sie sehen das, wenn Sie die Extrempunkte verwerfen$Z= \pm 2\ell$(Sie könnten bei einer genaueren Diskussion einbezogen werden, siehe ADDENDUM ) Eine Katastrophe zeigt sich, wenn$Z=0$.

Apropos Set$Z\in (-2\ell, 0)$Und$Z\in (0, +2\ell)$, der Raum der Konfigurationen ist diffeomorph zu$\mathbb R \times \mathbb S^1$. Wenn$Z=0$der Konfigurationsbereich (bei fixed$Z$) statt zu sein$\mathbb S^1$, es wird$\mathbb S^2$und ein anderer Satz von Koordinaten sollte verwendet werden.

Es gibt zwei Möglichkeiten: entweder den Konfigurationsraum als diffeomorph zu deklarieren$\mathbb R \times \mathbb S^1$ das Problem bewusst ignorieren$Z=0$, oder erklären, dass es kein ($2$-dimensional) Mannigfaltigkeit (weil jeder Punkt in der Teilmenge bei$Z=0$hat eine Nachbarschaft, die nicht diffeomorph zu ist$\mathbb R^2$), sondern setzt sich aus der Vereinigung dreier Mannigfaltigkeiten jeweils diffeomorph zu$\mathbb R \times \mathbb S^1$,$\mathbb S^2$, Und$\mathbb R \times \mathbb S^1$. In der Praxis ist es mit einer ungenauen, aber bildlichen Beschreibung (siehe ADDENDUM für eine genaue Beschreibung) die Vereinigung eines Zylinders und einer Kugel innerhalb des Zylinders, die den Zylinder am Äquator tangiert. Dies ist keine Mannigfaltigkeit, da sie nicht lokal homöomorph zu ist$\mathbb R^n$für einige fest$n$($2$in unserem Fall).

Im Allgemeinen ist der Konfigurationsraum fast immer eine Mannigfaltigkeit, da er durch Auferlegen von Beschränkungen auf eine Menge von erhalten wird$N$Angelegenheitspunkte, die ursprünglich in beschrieben wurden$\mathbb R^{3N}$. Einschränkungen werden durch eine Familie von bestimmt$c< 3n$reellwertige Funktionen$f_k = f_k(t,\vec{x}_1,\cdots, \vec{x}_N)$indem er jede zulässige Konfiguration vorschreibt$\vec{x}_1,\cdots, \vec{x}_N$jederzeit$t$befriedigen muss

$$f_k(t,\vec{x}_1,\cdots, \vec{x}_N) =0\:, \quad k=1,\ldots, c\:. \tag{1}$$ Wenn das funktioniert $f_k$glatt und funktional unabhängig sind , beweist der Satz der regulären Werte , dass (1) eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von definiert $\mathbb R \times \mathbb R^{3N}$von Dimension $1+ 3N-c$. Fixierzeit $t \in \mathbb R$, haben wir eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von $\mathbb R^{3N}$, von Dimension $3N-c$, genannt Raum der Konfigurationen .

Die beiden Bedingungen der Beschränkungen können für einige Punkte falsch sein, und es passiert manchmal, insbesondere wenn es sich um Beschränkungen wie Steifigkeit auf geometrisch komplizierte Weise handelt.

NACHTRAG . Wenn$X,Y, Z$bezeichnen den Koordinatensatz von$Q$Und$x,y,z$der Koordinatensatz von$P$, beides im Ganzen$\mathbb R^3$Leerzeichen, die vier Einschränkungen, die dem Satz von Bedingungen 1 und 2 oben entsprechen, lauten

$$f(x,y,z, X,Y,Z)=0\:, \quad g(x,y,z,X,Y, Z)=0\:, \quad h(x,y,z, X,Y,Z)=0, \quad i(x,y,z, X,Y,Z)=0\tag{2}$$ Wo $$f(x,y,z, X,Y, Z) := x^2+y^2+z^2 -\ell^2\:, \quad g(x,y,z, X,Y,Z) := x^2+y^2+(z-Z)^2 -\ell^2\:, \quad g(x,y,z, X,Y,Z)= X\:, \quad i(x,y,z, X,Y,Z)= Y\:.$$ Diese Beschränkungen sind funktional unabhängig , wenn ihre Differentiale per Definition linear unabhängig von der Menge der Punkte sind $(x,y,z,X,Y, Z)$wo alle Bedingungen (2) gültig sind.

In diesem Fall impliziert der Satz der regulären Werte , dass diese Menge eine eingebettete Untermannigfaltigkeit von ist$\mathbb R^3 \times \mathbb R^3$mit Abmessung$6-4 =2$. Durch direkte Rechnungen ist klar, dass die vier Differentiale nicht linear unabhängig sind (weil$df=dg$) Wenn$Z=0$. Das ist das Problem mit dem besagten System von Beschränkungen.

Eine genaue Beschreibung des Konfigurationsraums unter Einbeziehung der Punkte$Z= \pm 2\ell$ist die Vereinigung von zwei$2$-Kugeln hinein$\mathbb R^4$die einen Äquator gemeinsam haben.