Korrelationsfunktion des Lückensystems

Dass Gapped-Korrelatoren exponentiell abklingen, lässt sich anhand der spektralen Darstellung nachweisen. Erinnern Sie sich an die Zweipunktfunktion für einen Skalar is

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}(p)\mathcal{O}(0) \rangle=\int_0^\infty \frac{\rho(\mu^2)}{p^2+\mu^2}d\mu^2 \end{align}$$ Wo$\rho(\mu^2)$ist die Spektralfunktion (das Ergebnis verallgemeinert sich trivialerweise für Felder, die keine Skalare und Systeme sind, die nicht relativistisch sind; es gibt immer noch eine Spektraldarstellung, aber die Illustration wird hier sauberer, wenn wir das Obige verwenden). Im Positionsraum $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle=\int_0^\infty \rho(\mu^2)\frac{\exp\left(-\mu r\right)}{r}d\mu^2 \end{align}$$

Wenn nun das Spektrum von$\mathcal{O}$ist lückenhaft, das heißt, es gibt kein spektrales Gewicht unter einer Energie$\Delta$, dh$\rho (\mu^2)=0$für$\mu<\Delta$.

$$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle&=\int_\Delta^\infty \rho(\mu)\frac{\exp\left(-\mu r\right)}{r}2\mu d\mu\\ &=\int_0^\infty \rho(\mu+\Delta)\frac{\exp\left(-(\mu+\Delta) r\right)}{r}2\left(\mu+\Delta\right)d\mu \end{align}$$ wo wir einfach umgezogen sind$\mu\rightarrow\mu-\Delta$. Herausziehen eines Faktors $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle&=\frac{\exp\left(-\Delta r\right)}{r}\int_0^\infty \rho(\mu+\Delta)\exp\left(-\mu r\right)2\left(\mu+\Delta\right)d\mu \end{align}$$ Betrachten Sie nun das Langstreckenverhalten$r\rightarrow \infty$. Das Integral wird dann von der unteren Grenze dominiert$\mu\approx 1/r\rightarrow 0$(wobei die Exponentialfunktion angenähert werden kann$1$). Nehmen wir an, dass in diesem Bereich, also in der Nähe der Lücke, die Spektralfunktion so aussieht$\rho\sim\mu^\alpha$. Dann haben wir $$\begin{align} \langle \mathcal{O}(x)\mathcal{O}(0) \rangle &\rightarrow \frac{2\Delta\exp\left(-\Delta r\right)}{r}\int_0^{1/r} \mu^\alpha d\mu \\ &=\frac{2\Delta\exp\left(-\Delta r\right)}{r^{2+\alpha}} \end{align}$$

Dies zeigt, dass lückenhafte Korrelatoren exponentiell abfallen; Ein obiger Kommentar behauptet, das Gegenteil sei nicht wahr, und lückenlose Systeme können exponentiell abfallende Korrelatoren haben. Ich habe das Papier zugegebenermaßen nur überflogen, aber es schien, als würden sie nur Lückenzustände diskutieren. Mich würden jedoch die Details eines Gegenbeispiels interessieren.

Ich sollte auch hinzufügen, dass wir immer im Hinterkopf behalten sollten, welche Freiheitsgrade von den Korrelatoren erfasst werden, von denen wir sprechen. Wenn$\mathcal{O}$ein Elektronenoperator ist, dann wissen wir, dass das Elektron eine Lücke hat. Aber das bedeutet zum Beispiel nicht, dass unser System isolierend ist: Einzelteilchen-Greens-Funktionen wissen zum Beispiel nichts über Cooper-Paare; diese Informationen werden in der Zwei-Partikel-Greens-Funktion codiert$^1$.

$^1$_{Abgesehen davon können Sie auch lückenlose Supraleiter haben, dh nicht einmal das Elektron hat eine vollständige Lücke, da die Lücke Knoten entlang der Fermi-Oberfläche hat.}