Kramers-Kronig-Beziehungen für die Elektron-Selbstenergie Σ

Question

Kramers-Kronig-Beziehungen für die Elektron-Selbstenergie Σ

Physik
Forschungsniveau
kondensierte Materie
Störungstheorie
Quantenfeldtheorie

Gregor Graviton

Ich studiere gerade einen Artikel von Maslov , insbesondere den ersten Abschnitt über höhere Korrekturen des Fermi-Flüssigkeitsverhaltens von wechselwirkenden Elektronensystemen. Leider bin ich auf einen Haken gestoßen, als ich versuchte, ein Argument bezüglich der (retardierten) Selbstenergie zu verstehen $\Sigma^R(ε,k)$ .

Maslov gibt an, dass in einer Fermi-Flüssigkeit der Realteil und der Imaginärteil der Selbstenergie sind $\Sigma^R(ε,k)$ werden von gegeben

Betreff Σ^{R} (ε, k) = - EIN ε + B ξ_{k} + \dots

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(ε,k) = -Aε + B\xi_k + \dots$

- Ich bin Σ^{R} (ε, k) = C (ε^{2} + π^{2} T^{2}) + \dots

$-\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε,k) = C(ε^2 + \pi^2T^2) + \dots$

(Gleichungen 2.4a und 2.4b). Diese Gleichungen scheinen vernünftig: Wenn sie in den Fermionenpropagator gesteckt werden,

G^{R} (ε, k) = \frac{1}{ε + ich δ - ξ_{k} - Σ^{R} (ε, k)}

$G^R(ε,k) = \frac1{ε + i\delta - \xi_k - \Sigma^R(ε,k)}$

der Realteil modifiziert die Dispersionsrelation geringfügig $ε = \xi_k$ leicht und der imaginäre Teil verbreitert den Peak leicht. Das nenne ich mal eine Fermi-Flüssigkeit: Die blanken Elektronenspitzen sind etwas verschmiert, aber alles andere bleibt wie gewohnt.

Nun leitet Maslov Korrekturen höherer Ordnung für den Imaginärteil der Selbstenergie, beispielsweise der Form, ab

Ich bin Σ^{R} (ε) = C ε^{2} + D | ε |^{3} + \dots .

$\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε) = Cε^2 + D|ε|^3 + \dots .$

Erstens verstehe ich nicht ganz, wie ich diese Erweiterung interpretieren soll.

Wie soll ich die Erweiterungen in der Reihenfolge verstehen $ε$ ? ich vermute das $ε$ ist klein, aber im Verhältnis zu was? Das Fermi-Niveau scheint gegeben zu sein durch $ε=0$ .

Zweitens stellt er fest, dass diese Erweiterung "auf der Masse-Hülle" zu verstehen ist.

Ich nehme an, dass "auf die Massenschale" setzen bedeutet $\xi_k=ε$ ? Aber was bedeutet die Erweiterung dann? Vielleicht soll ich in Bestellungen von erweitern $(ε-\xi_k)$ ?

Nun die Frage, die mir am wichtigsten ist. Maslov argumentiert, dass der Realteil der Eigenenergie über die Kramers-Kronig-Beziehung aus dem Imaginärteil der Eigenenergie gewonnen werden kann. Mein Problem ist, dass die entsprechenden Integrale divergieren.

Wie kann
$Betreff Σ^{R} (ε, k) = P \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} d ω \frac{Ich bin Σ^{R} (ω, k)}{ω - ε}$ $\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(ε,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{\omega-ε}$ für nicht integrierbare Funktionen wie verstanden werden $\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε,k) = ε^2$ ?

Es hat wohl damit zu tun $ε$ klein zu sein, aber ich verstehe nicht wirklich, was los ist.

Ich sollte vielleicht meine Motivation für diese Fragen erwähnen: Ich habe den Imaginärteil der Eigenenergie für die eindimensionale Luttinger-Flüssigkeit berechnet $\xi_k=|k|$ wie

Ich bin Σ^{R} (ε, k) = (| ε | - | k |) θ (| ε | - | k |) Zeichen (ε)

$\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(ε,k) = (|ε|-|k|)θ(|ε|-|k|)\mathop{\text{sgn}}(ε)$

und möchte die Verbindung zu Maslovs Interpretation und Ergebnissen herstellen. Insbesondere möchte ich den Imaginärteil der Eigenenergie mit den Kramers-Kronig-Beziehungen berechnen .

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Kramers-Kronig-Beziehungen für die Elektron-Selbstenergie Σ

Josch · Answer 1

Ich kann nicht sachkundig über die Besonderheiten Ihres Problems sprechen, aber ich kann einige Gedanken anbieten.

In Bezug auf Ihre erste Frage benötigen Sie Abmessungen von $\text{energy}^{-1}$ zum $C$ und $\text{energy}^{-2}$ zum $D$ . Konkret heißt das $C/D$ hat Energieeinheiten. Das gibt der Aussage Bedeutung

D | ϵ |^{3} ≪ C ϵ^{2} \Leftrightarrow | ϵ | ≪ C / D .

$D|\epsilon|^3 \ll C\epsilon^2 \quad\Leftrightarrow\quad |\epsilon| \ll C/D\,.$

Was eine divergierende Kramers-Kronig-Relation betrifft, sollten Sie sich über ein- oder mehrmalig subtrahierte Dispersionsrelationen informieren. Dann, anstatt zu schreiben

Betreff Σ^{R} (ϵ, k) = P \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} d ω \frac{Ich bin Σ^{R} (ω, k)}{ω - ϵ},

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{\omega-\epsilon}\,,$ Du kannst schreiben

Betreff Σ^{R} (ϵ, k) - Betreff Σ^{R} (ϵ_{0}, k) = P \frac{1}{π} \int_{- \infty}^{\infty} d ω \frac{(ϵ - ϵ_{0}) Ich bin Σ^{R} (ω, k)}{(ω - ϵ) (ω - ϵ_{0})},

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon,k) - \mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon_0,k) = \mathcal{P}\frac1{\pi}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega \frac{(\epsilon-\epsilon_0)\mathop{\text{Im}}\Sigma^R(\omega,k)}{(\omega-\epsilon)(\omega-\epsilon_0)}\,,$ wo

ϵ_{0}

$\epsilon_0$ ist ein bequemer Subtraktionspunkt, vermutlich einer, den Sie kennen

Re Σ^{R} (ϵ_{0}, k)

$\mathop{\text{Re}}\Sigma^R(\epsilon_0,k)$ . Sie können auch auf doppelt oder mehr subtrahierte Dispersionsbeziehungen erweitern. Weinberg Bd. 1 hat viel über Dispersionsbeziehungen, wo Sie mehr darüber lesen können.

Hm, ich bin mit deinem Zustand nicht ganz zufrieden $|ε|$ da es nur a posteriori entsteht, sobald Sie eine bestimmte Erweiterung haben. Vielen Dank für die subtrahierten Dispersionsbeziehungen, das sieht sehr brauchbar aus. Ich schau mal was Weinberg schreibt.
Ich bin froh, dass die subtrahierten Dispersionsbeziehungen nützlich waren. Bezüglich der Expansionsbedingung würde ich eher sagen, dass sie gleichzeitig mit der Expansion selbst entsteht und Teil der Rechtfertigung für das Abschneiden der Expansion auf einer bestimmten Ebene ist.
Ich habe über die subtrahierten Dispersionsrelationen nachgedacht, und es scheint mir, dass wir die folgende Situation haben: Die subtrahierte Dispersionsrelation ergibt eine bessere Konvergenz, aber wir verlieren Informationen über Terme niedrigerer Ordnung. Wenn wir zum Beispiel wissen, dass der Imaginärteil schneller verschwindet als $|z|\to∞$ , können wir die zweite Ableitung des Realteils rekonstruieren, aber wir können keine Informationen über den linearen oder konstanten Teil gewinnen. Dies ist eine grundsätzliche Einschränkung. Leider stellt dies den gesamten Ansatz in Frage, eine Entwicklung niedriger Ordnung zu rekonstruieren. Haben Sie irgendwelche Gedanken dazu?

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Gregor Graviton

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