Lagrangesche Eichtheorie mit physikalisch beobachtbaren lokalen Freiheitsgraden

(Meiner Erfahrung nach ist dies eher ein kontroverses Thema, daher denke ich, dass diese Antwort einige Diskussionen auslösen könnte!)

Zunächst einmal ist es bei einer bestimmten Aktion ein rein mathematisches Ergebnis, ob es eine lokale Transformation gibt, die von einer beliebigen glatten Funktion abhängt oder nicht$\lambda(x)$auf der Raumzeit und lässt die Aktion invariant. Die Gleichungen wissen nicht, ob diese "Eichfreiheitsgrade"$\lambda(x)$"physisch beobachtbar" sind oder nicht. Aber die Existenz einer solchen lokalen Freiheit führt zu nicht trivialen mathematischen Ergebnissen, die gelten, ob die lokalen Freiheitsgrade beobachtbar sind oder nicht. Der schwierige Teil besteht darin, diesen Freiheitsgraden die richtige physikalische Interpretation zuzuweisen.

Die genaue mathematische Folge einer lokalen Symmetrie ist einfach, dass die Eichfreiheitsgrade vollständig von den eichinvarianten Freiheitsgraden entkoppelt sind. Der Punkt ist nicht, dass diese Freiheitsgrade niemals physisch sind; Es ist so, dass Sie, wenn Sie sich nur um eichungsinvariante Größen kümmern, damit davonkommen können, die Eichungsfreiheitsgrade vollständig zu ignorieren, indem Sie in dem gewünschten Eichmaß arbeiten, und Sie wissen, dass jede Wahl, die Sie treffen, Ihre Ergebnisse für das Eichmaß nicht beeinflusst. unveränderliche Größen.

Es kann bestimmte Sätze lokaler Freiheitsgrade geben, die in einigen Situationen physikalisch messbar sind, in anderen jedoch nicht. Nehmen wir zum Beispiel an, Sie haben ein neues fundamentales Skalarfeld entdeckt$\varphi(x)$das über eine Kopplung direkt mit dem elektromagnetischen Eichfeld gekoppelt ist$g\, \varphi\, A_\mu A^\mu$und brach daher ausdrücklich den Elektromagneten$U(1)$Symmetrie messen. (Ich gehe vorerst davon aus, dass alle Felder klassisch sind - die Dinge werden wirklich subtil, sobald Sie anfangen, Eichquantenfeldtheorien in Betracht zu ziehen.) Sie könnten dieses Feld dann als Sonde verwenden, die den Wert des Eichfelds direkt messen könnte$A_\mu$selbst, die damit physikalisch beobachtbar werden würde. Welche körperlichen Auswirkungen hätte das?

Nun, die direkteste physikalische Folge der Eichsymmetrie ist die Erhaltung des Stroms, an den das Eichfeld linear koppelt. Betrachten wir den modifizierten Maxwell-Lagrangian

Aber hier ist der entscheidende Punkt: in einer Region des Weltraums, in der das die Spursymmetrie brechende Feld liegt$\varphi(x) \equiv 0$, bleibt die Ladung erhalten , selbst wenn$\varphi(x) \neq 0$irgendwo anders. In diesem hypothetischen$A_\mu$ist eine physikalisch messbare Größe, denn es gibt a$\varphi$Feld, das es "misst". Also selbst wenn es einen Raumbereich gibt, der zufällig keinen hat$\varphi$Feld darin, dann die$A_\mu$Feld immer noch eine einzigartige Konfiguration in dieser Region. Aber die Spursymmetrie wird in diesem Bereich effektiv wiederhergestellt, weil Sie nicht messen$A_\mu$obwohl du könntest . (Das ist ungefähr so, wie Teilchen nur in Regionen der Raumzeit Masse haben, in denen das Higgs-Feld liegt$U(1)$Symmetrie wird spontan gebrochen.) Wir haben das vernünftige Ergebnis gezeigt, dass die Erzwingung der Ladungserhaltung durch die Eichsymmetrie "robust" ist, in dem Sinne, dass die Verletzung der Ladungserhaltung proportional zur Verletzung der Eichsymmetrie ist - also wenn wir es morgen entdecken würden dass das Photon tatsächlich eine Masse von hatte$10^{-10}$eV ist es nicht so, dass plötzlich Anklagen auftauchen und wie aus dem Nichts verschwinden. Aus diesem Grund ist in kondensierten Materiesystemen mit entstehenden Eichsymmetrien, die nur ungefähr und bei niedriger Temperatur gelten, die Eichsymmetrie immer noch nützlich, obwohl sie nicht exakt ist - es gibt die Eichsymmetrie brechende Felder, aber ihre Auswirkungen sind gering.

Um dies noch konkreter zu machen, stellen wir uns vor, Sie bauen eine Magie "$A_\mu$-Meter", das einen Strahl ausstrahlt$\varphi$Feld auf jedem System, und Sie verwenden es, um direkt zu messen$A_\mu$. Sie würden feststellen, dass, wenn Sie den Strahl auf ein System richten, die Ladung in diesem System nicht erhalten bleibt (dh Ladung kann erscheinen oder verschwinden). Aber sobald Sie den Strahl ausschalten, bleibt die Ladung plötzlich erhalten! Es ist, als ob der Strahl dem System Ladung hinzufügt oder abzieht$\varphi$Und$J_\mu$nicht direkt gekoppelt, sondern nur indirekt über$A_\mu$Eichfreiheitsgrade.

Wenn man diese Idee weiterführt, wenn ein gesamter Lagrange, der ein System beschreibt, eine Eichsymmetrie hat, dann bedeutet dies, dass die Eichfreiheitsgrade nicht innerhalb des von diesem Lagrange beschriebenen Systems durch einen Detektor auch innerhalb dieses Systems erkannt werden können.Wenn Sie also ein kondensiertes Materiesystem mit einer emergenten Eichsymmetrie haben, die keine echte Symmetrie des Standardmodells ist, kann dieses System die Eichfreiheitsgrade nicht in sich selbst "sehen", sondern nur die eichinvarianten. Aber wir "Außenseiter" wissen, dass diese Freiheitsgrade immer noch einzigartige physikalische Werte haben, und könnten eine externe Sonde verwenden, um sie zu messen. Oder anders ausgedrückt, es könnte durchaus Felder jenseits des Standardmodells geben, die direkt an die Freiheitsgrade des elektromagnetischen Messgeräts koppeln und diese daher direkt messen können$A_\mu$Feld - aber solange diese Felder nicht auch an uns gekoppelt sind und die Dynamik der eichinvarianten Freiheitsgrade (die$F_{\mu \nu}$Tensor), haben wir keine Möglichkeit, ihre Existenz festzustellen.