Ich bin derzeit ein Mathematik-Doktorand mit Spezialisierung auf algebraische Geometrie, der anstrebt, an den Grenzen der Bereiche Mathematik und Physik zu arbeiten, und habe mich daher mit dem Bereich der mathematischen Physik befasst. Im Gegensatz zu vielen anderen Bereichen der reinen Mathematik oder der theoretischen Physik scheint es keinen klaren Weg zu geben, die Grundlagen für dieses Gebiet zu studieren, da die meisten Bücher über "mathematische Physik" einfach mathematische Methoden sind, die in der Physik verwendet werden. Im krassen Gegensatz dazu haben viele Bereiche mehr oder weniger klare Fahrpläne, welche Bücher zu studieren sind.
Als solches verstehe ich nicht wirklich das Grundwissen, das ein mathematischer Physiker haben sollte? Spezialisieren sie sich auf ein bestimmtes Gebiet der Mathematik oder sind es meist Topologie und Geometrie oder müssen sie auch andere anwendbare Gebiete wie Funktionalanalysis kennen und in welcher Tiefe?
Also habe ich mich gefragt, wie genau man anfangen sollte, die Grundlagen für die Forschung in der mathematischen Physik zu lernen? Was sollte man in Bezug auf ein bestimmtes Ziel lernen, um Dinge wie die Forschungsarbeiten von Ed Witten zu verstehen? Sollte man idealerweise mit Nakaharas Buch beginnen? Und würde es helfen, Themen wie tqft und Eichtheorie zu studieren? Auch wenn es jetzt zu spät ist, sollte man sich für ein Mathematik- oder Physik-Studium bewerben, wenn man sich für mathematische Physik interessiert?
Dies wurde zu lang für einen Kommentar, soll aber erweitert werden. Ich bin ziemlich der Typ, um zu sagen, dass ich mich hauptsächlich aus einer strukturellen / mathematischen Perspektive dafür interessiere. Verzeihen Sie mir, wenn ich Ihnen nichts Neues erzähle.
Sie können TQFT definitiv innerhalb der Grenzen der reinen Mathematik durchführen. Wenn Sie das Standardmodell wollen, tun Sie gut daran, Ihre Darstellungstheorie zu verstehen, da Teilchentypen fundamentalen Darstellungen von Lie-Gruppen entsprechen ( im Standardmodell multipliziert mit der Poincaré-Gruppe, wenn Sie die Analyse durchführen.) Von dort aus ist ein Quantenfeld ein Abschnitt eines Vektorbündels, das mit der Darstellung über die Raumzeit verbunden ist und ein Variationsprinzip (ein Extremal einer Aktion) mit einer geeigneten Äquivariante erfüllt Verbindungen (die übrigens Ihre Bosonen sind). Faria-Melo entwickelt dies und stellt tatsächlich das Standardmodell in diesem Rahmen aus.
Sie lassen eine klare Analyse aus, wie Repräsentationen mit Partikeltypen zusammenhängen, aber dies wird von Baez und Huerta in diesem Text getan ( http://math.ucr.edu/~huerta/guts/ ). Grundsätzlich sind Elemente in Ihren fundamentalen Darstellungen fermionische Teilchenzustände, Generatoren der adjungierten Darstellung sind Bosonen, die auf Ihre Fermionen in einer Weise einwirken, die durch Feynmann-Diagramme dargestellt werden kann.
Quantisierung ist für mich immer noch flauschig, aber es scheint, dass hier Quantengruppen ins Spiel kommen: Sie können eine halbeinfache Lie-Algebra nicht deformieren und eine vernünftige Deformation ihrer Darstellungstheorie (ihrer Kategorie von Darstellungen) erhalten. Sie können jedoch ihre universelle Hüllalgebra verformen (die eine Hopf-Algebra ist, dh ein Objekt mit einem günstig wechselwirkenden Produkt und Koprodukt). Es gibt gerade eine Meisterklasse darüber, die darüber spricht, um 3-Mannigfaltigkeits-Invarianten unter Verwendung von 3-dimensionalen Feldtheorien zu studieren. Hinweise zu Quantengruppen finden sich auf deren Webseite: http://www.math.ku.dk/english/research/conferences/2014/tqft/Sie haben übrigens auch einen Crashkurs über Operatoralgebren, der Teil der Theorie ist, die es Ihnen erlaubt, vernünftig mit unendlich dimensionalen Darstellungen der Poincaré-Gruppe umzugehen.
Wie sich der Funktor-Standpunkt auf Feldtheorien auf den "klassischen" bezieht, der in Faria-Melo entwickelt wurde, ist mir etwas unklar, aber ich vermute, Sie finden einige Antworten in Segals Artikel über konforme Feldtheorien ( http: //www.math .upenn.edu/~blockj/scfts/segal.pdf – ein ziemlich beschissener Scan, aber Sie finden ihn in seinem Ding zum 60. Geburtstag).
Natürlich lässt dies grundlegende rechnerische Aspekte der Art aus, von denen ein Physiker Ihnen erzählen könnte, und ich bin dem, was die Physiker tun, nie nahe genug gekommen, um tatsächlich etwas renormieren zu wollen (etwas, wegen dem Sie anscheinend tun müssen). selbstwechselwirkende Teilchen, die divergierende Integrale erzeugen). Dies ist definitiv ein ziemlich großer Teil von QFT, den Sie vermissen werden, wenn Sie nicht auch den Ansatz der Physiker studieren.
Es scheint auf jeden Fall die große verbindende Idee zu sein, dass ein physikalisches System unter der Wahl der Darstellung (Eichweite) bis hin zu einer Gruppe oder Automorphismen (Eichtransformation) invariant sein sollte und dass dies für klassische Systeme gilt (Lorentz- oder Poincaré-Invarianz des Raums bzw Raumzeit) sowie Quantensysteme (andere Lie-Gruppen, die auf ein Vektorbündel von Zuständen wirken) und dass die gesamte Physik mehr oder weniger als Eigenschaften von Stoffen mit den richtigen Symmetrien herausfällt. Darin scheinen sich Physiker und Mathematiker so oder so einig zu sein, also kann man beim Studium von Darstellungen nichts falsch machen.
Abgesehen von Faria-Melo sind hier einige Notizen, die ich mir gerne anschaue:
Diese Notizen sind ziemlich explizit in Bezug auf die Art der Mathematik, die sie verwenden math.lsa.umich.edu/~idolga/physicsbook.pdf
Diese Anmerkungen zu Lie-Gruppen und Darstellungstheorie sind sehr gut. staff.science.uu.nl/~ban00101/lie2012/lie2010.pdf Sie kommen mit Videovorträgen. webmovies.science.uu.nl/WISM414
Eivin Dahl
Himmel123