Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen im Impulsraum

Zeitunabhängige Form der Schrödinger-Gleichungszustände

H ^ ψ = E ψ
Für einen Hamiltonoperator in Form von
H ^ = P ^ 2 2 M
Was auf ein freies Teilchen hinweist, ist im Ortsraum Routine und beginnt mit dem Einstecken des Impulsoperators im Ortsraum als
P ^ = − ich ℏ ∂ ∂ X
Und wir können Eigenwerte und Eigenfunktionen erhalten als
E = ℏ 2 k 2 2 M
ψ + ( X ) = e ich k X     ,     ψ − ( X ) = e − ich k X
ψ ( X ) = A ψ + + B ψ −
Ich weiß auch, dass wir die Wellenfunktion im Impulsraum mit einer Fourier-Transformation ableiten können. Aber ich möchte die SE im Impulsraum lösen. So
H ^ ψ ~ ( P ) = E ψ ~ ( P )
P 2 2 M ψ ~ ( P ) = E ψ ~ ( P )
ψ ~ ( P ) ( P 2 2 M − E ) = 0
Eine Antwort ist die gleiche wie bei der vorherigen Methode
E = ℏ 2 k 2 2 M
Aber hier ψ ~ ( P ) kann jede Funktion von sein P . Aber wir wissen, dass es dasselbe sein sollte wie das Ergebnis der Fourier-Transformation ψ .

Wie können wir erhalten ψ ~ ( P ) mit dieser Methode?

@AlfredCentauri Nein, nur die Eigenfunktionen. Aber wie können wir Eigenfunktionen des Impulses für ein freies Teilchen erhalten, ohne FT auf psi zu verwenden?
@AlfredCentauri Ich werde mein Problem anders formulieren. Wir können das SE im Ortsraum lösen, erhalten ψ und verwenden Sie FT, um zu erhalten ψ ~ . Das wird in jedem Lehrbuch gemacht. Aber ich will den SE im Impulsraum lösen und erhalten ψ ~ Verwenden Sie dann eine FT, um zu bekommen ψ .

Antworten (1)

Aber hier ψ ( P ) ~ kann jede Funktion von sein P .

In P Raum, P ist die Variable , keine Konstante und so im Allgemeinen

P F ( P ) ≠ P F ( P )

Wo P ist eine Konstante. Nur für den Fall, dass F ( P ) ∝ δ ( P − P ) können wir zb schreiben

P δ ( P − P ) = P δ ( P − P )

Kannst du es von hier nehmen?

Danke, aber kann ich dazu etwas mehr Einblick und Erklärung bekommen?
@Alireza, was ist der Impulsoperator in der P Basis?
Es ist einfach P . Wie im Ortsraum ist der Ortsoperator X .
@Alireza, jetzt lass | P ⟩ ein Eigenket des Impulses sein, so dass P ^ | P ⟩ = P ⋅ | P ⟩ . Lassen ψ P ( P ) = ⟨ P | P ⟩ sei der P Raumdarstellung von | P ⟩ . Dann muss es das sein P ⋅ ψ P ( P ) = P ⋅ ψ P ( P ) . Was ist die einzige 'Funktion' von P das erfüllt das?
Lösen der Schrödinger-Gleichung für ein freies Teilchen im Impulsraum
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