Lorentz-Kovarianz der Noether-Ladung

Sie können die folgende Notation für Hyperflächen in vier Dimensionen verwenden:

$d\sigma_\mu = \epsilon_{\mu\alpha\beta\gamma}dx^\alpha dx^\beta dx^\gamma$

Zum Beispiel$d\sigma_0= d^3x$

Der Ausdruck der Impulsenergie ist dann:

$P_\nu = \int d\sigma^\mu \Theta_{\mu\nu}$

Die gleiche Art von Ausdruck könnte mit der Ladung verwendet werden:

$Q = \int d\sigma^\mu j_{\mu}$

[BEARBEITEN]

Wie stellen Sie die Verbindung zu den OP-Formeln her?

Man kann den folgenden Standpunkt einnehmen, zum Beispiel die Formel für die Ladung$\tilde Q = \int d\sigma^\mu j_{\mu}$, das heisst :

$\tilde Q = \int d\sigma^0 j_{0} + \int d\sigma^1 j_{1} + \int d\sigma^2 j_{2}+ \int d\sigma^3 j_{3} \\ =\int dx~ dy~ dz ~j_{0}+\int dy~ dz~ dt ~j_{1}+\int dz~ dt~ dx ~j_{2} + \int dt~ dx~ dy ~j_{3} \\=Q + \int dy~ dz~ dt ~j_{1}+\int dz~ dt~ dx ~j_{2} + \int dt~ dx~ dy ~j_{3}$

Nehmen Sie nun zum Beispiel eines der Restintegrale$I_1=\int dy~ dz~ dt ~j_{1}$, es ist ein Integral bei$x$konstant, und man kann wählen$x=\pm\infty$. Im Unendlichen können wir annehmen, dass der Strom Null ist:$j_1(\pm \infty)=0$. Also unter der Annahme eines Nullstroms$j_1$bei räumlich$x$Unendlich, bekommen wir$I_1=0$, und man kann die gleiche Demonstration für die anderen 2 Integrale haben.

Mit der Hypothese, räumliches Schneiden der Restintegrale bei räumlicher Unendlichkeit und verschwindende Ströme bei räumlicher Unendlichkeit zu nehmen, haben wir also schließlich$\tilde Q = Q$