Mathematischer Hintergrund für die Quantenmechanik [Duplikat]

Mathe hast du für die ersten beiden Semester der Quantenmechanik mehr als genug, wenn du in einem Mathematikstudium Funktionalanalysis belegst.

Die überwiegende Mehrheit der Bücher über Quantenmechanik enthält die erforderliche Mathematik in einem Anhang. Das gilt unabhängig davon, ob Sie die ausgefeilteren mathematischen Behandlungen (z. B. den klassischen Text von Von Neumman) oder die weniger strengen Grundlagen wünschen oder nicht.

Während Sie also möglicherweise woanders nach der Theorie der Verteilungen suchen müssen (z. B. die richtige Art und Weise, mit der Dirac-Delta-Funktion umzugehen), müssen Sie sie größtenteils nicht wirklich kennen, um die Physik zu machen, oder vielmehr ist sie nur unübersichtlich Notation.

Dies gilt mehr oder weniger auch für die Quantenfeldtheorie (wo Sie zB etwas Gruppentheorie kennen müssen) und auch hier werden die meisten Texte das notwendige Material diskutieren, obwohl es natürlich je nachdem, wie weit Sie kommen, zu aktiven Forschungsgebieten führen wird, in denen das Wissen vorhanden ist etwas esoterische Mathematik ist manchmal nützlich.

Dover-Bücher sind gut und billig. Hier ist zum Beispiel Mathematik für Quantenmechanik .

Ein guter Ort, um nach Buchempfehlungen für mathematische Physiker zu suchen, ist diese Seite von John Baez:

• Bücher , wie man Mathe und Physik lernt

Ich muss den anderen zustimmen, dass der beste Weg, den mathematischen Hintergrund von QM zu lernen, darin besteht, QM zu lernen, Sie werden selbst sehen, welche Art von mathematischen Werkzeugen Sie benötigen, um weiter zu lernen.

Wie auch immer, hier sind ein paar Tipps: Wenn Sie sich entscheiden, einen Mathematikkurs über Funktionalanalysis zu besuchen, sehen Sie, dass es um lineare Operatoren auf dem Hilbert-Raum geht, die zum Spektralsatz führen. Das ist der Teil der Funktionsanalyse, den Sie im QM zuerst brauchen. "Funktionsanalyse" ist ein weites Thema, und viele mathematische Fakultäten beginnen mit abstrakteren Dingen, die Sie erst später brauchen (wie Banach-Algebren oder topologische Vektorräume).

Hier ist ein Beispiel für ein Buch, das auf die besonderen Bedürfnisse von Physikern zugeschnitten ist, die QM lernen:

• Nino Boccara: "Funktionsanalyse. Und Einführung für Physiker".

Es ist kurz, es erklärt alles ausführlich und deckt die wesentlichen Themen für QM ab:

• Messen und integrieren

• Lebesgue-Räume

• Hilbert Räume

• Verteilungen, Fourier- und Laplace-Transformationen

• Lineare Operatoren, begrenzt und unbegrenzt, Spektraltheorie

Wichtigster Hintergrund ist die Erweiterung der linearen Algebra auf unendlichdimensionale vektorielle Räume. Sie führen also Banach- und Hilbert-Räume ein,$L^p$und beachte nur das$L^2$(das ist der Raum der Quantenwellenfunktionen) ist ein Hilbert-Raum.

Sie müssen lineare Operatoren weiter studieren$L^2$, Und$l^2$: Adjungierte Operatoren, hermitesche und antihermitesche Operatoren, Einheitsoperatoren, Proiektoren ... müssen viel Aufmerksamkeit geschenkt werden. Danach Definition der Norm eines Vektors und eines Operators sowie eines begrenzten und nicht begrenzten Operators (ein begrenzter Operator ist ein kontinuierlicher Operator). und das Riesz-Theorem. Wenn Sie die Maßtheorie von Lebesgue studieren, ist es besser.

Die Definition des Tensorprodukts vieler Hilbert-Räume (nur ein endliches Tensorprodukt von Hilbert-Räumen ist wieder ein Hilbert-Raum) ist ebenfalls wichtig.

Last but not least, Fourier-Analyse, der Begriff einer vollständigen und orthonormalen Basis, Skalarprodukte und verallgemeinerte Fourier-Reihen; Grüne Funktionen.

Alle diese Definitionen und Argumente finden sich zum Beispiel in diesem Buch: Reed M, Simon B, Methods Of Modern Mathematical Physics, das mathematisch sehr streng und genau ist.