Mermin-Wagner-Theorem in Gegenwart von Hardcore-Wechselwirkungen

In der Literatur zur theoretischen Physik scheint es ziemlich üblich zu sein, Anwendungen des "Mermin-Wagner-Theorems" (siehe Wikipedia oder Scholarpedia für einige begrenzte Hintergrundinformationen) auf Systeme mit harten Wechselwirkungen zu sehen; zum Beispiel zu dem Schluss, dass echte Kristallphasen für ein System von Festplatten (mit möglichen zusätzlichen Wechselwirkungen) nicht in 2 Dimensionen existieren können. Wenn diese spezielle Behauptung vor einigen Jahren rigoros bewiesen wurde (siehe diesen Artikel ), ist allgemein bekannt, dass das Vorhandensein von Kernwechselwirkungen zu Phasen mit gebrochener kontinuierlicher Symmetrie führen kann (ein spezifisches Beispiel wird unten gegeben).

Um die Dinge einfach zu halten, möchte ich mich auf die Spin-Modelle des nächsten Nachbarn auf dem quadratischen Gitter konzentrieren, wobei die Spins Werte im Einheitskreis annehmen. Betrachten wir also einen formalen Hamiltonoperator der Form

∑ ich ∼ j v ( S ich , S j ) ,
mit v ist eine stetige Funktion, die unter der Wirkung von als unveränderlich angenommen wird S Ö ( 2 ) : v ( r θ S ich , r θ S j ) = v ( S ich , S j ) , wo r θ dreht den Spin um einen Winkel θ . In diesem Fall ist bekannt, dass alle reinen Phasen des Modells unter der Wirkung von unveränderlich sind S Ö ( 2 ) . (Beachten Sie, dass wir nicht einmal verlangen v glatt sein, so dass die üblichen, sowohl heuristischen als auch rigorosen Argumente, die sich auf eine Taylor-Entwicklung und ein Spin-Wave-Argument stützen, nicht sofort gelten; dass man das kann, wurde hier bewiesen ). Eigentlich sind wesentlich allgemeinere Ergebnisse bekannt, aber das genügt für meine Frage.

Was mich interessiert, ist, was bei Modellen dieser Art in Gegenwart von Hardcore-Interaktionen passiert. Es sind keine allgemeinen Ergebnisse bekannt, und die Situation erweist sich als subtil. Betrachten Sie zum Beispiel das Patrascioiu-Seiler-Modell, in dem

v ( S ich , S j ) = { − S ich ⋅ S j wenn  | δ ( S ich , S j ) | ≤ δ 0 , + ∞ Andernfalls,
wo δ ( S ich , S j ) bezeichnet den Winkel zwischen den Spins S ich und S j , und δ 0 > 0 ist irgendein Parameter. Mit anderen Worten stimmt dieses Modell mit dem klassischen XY-Modell überein, abgesehen von der zusätzlichen Einschränkung, dass sich benachbarte Spins nicht zu sehr unterscheiden können. Für dieses Modell wird hier bewiesen , wann δ 0 < π / 4 , gibt es (nicht entartete) Phasen, in denen die Rotationsinvarianz gebrochen ist. Nichtsdestotrotz erwartet man, dass Phasen, die man beispielsweise erhält, indem man den thermodynamischen Grenzwert entlang quadratischer Kästchen mit freien, periodischen oder konstanten Randbedingungen nimmt, rotationsinvariant sein sollten.

Hier also meine Frage : Gibt es heuristische physikalische Argumente, die die Gültigkeit einer Version des "Mermin-Wagner-Theorems" in solchen Situationen stützen? Alle heuristischen Argumente, die ich kenne, versagen in einem solchen Kontext. Gute heuristische Argumente zu haben, könnte sehr hilfreich sein, um die strengen Beweise auf solche Situationen auszudehnen.

Bearbeiten: Lassen Sie mich meine Frage präzisieren, da die (ziemlich lange) Diskussion mit Ron Maimon unten zeigt, dass ich sie nicht klar genug formuliert habe. Ich bin nicht an einer Diskussion interessiert, warum das oben angegebene Gegenbeispiel zu einer Verletzung des MW-Theorems führt und ob es physikalisch realistisch ist (was mich betrifft, bestand seine Hauptrelevanz darin, zu zeigen, dass man einige Annahmen treffen muss die Interaktion v um eine Rotationsinvarianz aller Gibbs-Zustände mit unendlichem Volumen zu haben, und genau das tut dieses Beispiel). Was mich wirklich interessiert, ist Folgendes: Gibt es heuristische (aber mathematisch formulierte, nicht nur vage Bemerkungen) Argumente, mit denen Physiker das MW-Theorem bei Vorhandensein von Kernwechselwirkungen ableiten können? Mich würden sogar Argumente interessieren, die in Abwesenheit von Hardcore-Interaktionen gelten, aber wann v nicht differenzierbar ist (obwohl dieser Fall in der oben angegebenen Referenz streng behandelt wird).

Die Frage war zu 100% klar, und die Antwort, die ich Ihnen gegeben habe, ist die richtige – es gibt keinen Unterschied im heuristischen Argument für Mermin Wagner in Gegenwart von Hardcore-Interaktionen oder in ihrer Abwesenheit, weil Ihr Gegenbeispiel Unsinn ist. Das Argument ist die übliche Feststellung gemittelter Spinwellenzustände und die Feststellung, dass die freie Energie das Freifeld ist, das nur logarithmisch divergente Konfigurationen hat. Das schlägt nur fehl, wenn man alle Fluktuationen eingefroren hat, so dass es überhaupt keine Spin-Wellen mehr gibt, und das ist Ihr Beispiel. Dies hat nicht unbedingt mit Hartwänden zu tun.
Der Grund, warum Ihre Methoden für den Hard-Potential-Fall nicht funktionieren, liegt nicht daran, dass das Argument von Mermin und Wagner fehlschlägt, sondern weil Ihre Methoden nicht im Sinne von Mermin-Wagner sind. Der Grund, warum sie versagen, ist, dass Sie kein gemitteltes Langstrecken-Spinwellenfeld definieren, sondern versuchen, Dinge mit den bloßen Konfigurationen zu tun, was hoffnungslos ist. Der Weg, eine Ferntheorie zu definieren, ist die Renormierung (im Sinne von Wilson, aber einfacher, weil die Grenze frei ist).
Ich freue mich auf Ihre Argumentation. Beachten Sie, dass in der Gemeinschaft der rigorosen statistischen Mechaniker die Erweiterung über reibungslose Interaktionspotentiale hinaus (wie wir es taten) etwa 20 Jahre lang offen blieb (lesen Sie die mathscinet-Rezension, wenn Sie das nicht glauben). Wenn also ein einfacher Ansatz diese Art von Problemen und mehr lösen könnte, wäre das großartig.
@RonMaimon: Ich denke, dass Sie etwas unfair (oder falsch informiert) sind, wenn Sie sagen, "Ihre Methoden sind nicht im Sinne von Mermin-Wagner". Die von uns verwendeten Methoden (die Ende der 1970er Jahre von Dobrushin & Shlosman und von Pfister eingeführt wurden) scheinen mir sehr im Sinne von MW zu sein: Sie vergleichen grob gesagt das (endliche) Gibbs-Maß vor und nach der Verformung des Konfigurationen durch eine globale Spinwelle und zeigen, dass der Effekt dieser Deformation vernachlässigbar wird, wenn die Systemgröße groß wird (und damit die Wellenlänge groß wird). [fortgesetzt werden]
[Fortsetzung] Die Schwierigkeit, wenn ein harter Kern vorhanden ist, besteht darin, dass die meisten Konfigurationen nach der Verformung durch die Spinwelle verboten werden (unendliche Energie haben). Man kann dann versuchen, auf eine konfigurationsabhängige Verformung zurückzugreifen (das macht Richthammer in seiner Behandlung des Festplattenmodells), aber das ist technisch leider ziemlich schwierig.
Ich habe es ausgearbeitet und Ihr Hindernis ist auf die Arbeit mit Mikrozuständen zurückzuführen. Der Satz von Mermin und Wagner ist im üblichen Physikverständnis mit durchschnittlichen Feldern, obwohl Sie Recht haben, dass dieses Argument mit Mermin Wagner übereinstimmt, aber nicht mit Kadanov. Sie müssen sich überhaupt nicht mit Mikrozuständen befassen, sondern nur mit RG-Flüssen.
@RonMaimon: Aber wäre ein solches Argument: (i) rigoros (oder könnte durch harte Arbeit so gemacht werden), da sich die Realraum-Renormalisierung aus mathematischer Sicht sehr schlecht verhält; (ii) uns die Invarianz aller Gibbs-Zustände im unendlichen Volumen geben (im üblichen Sinne der mathematischen statistischen Physik, dh Lösungen der DLR-Gleichungen)? Danke für all die Zeit, die du dafür aufgewendet hast :) . Ich würde wirklich gerne Ihren Ansatz besser verstehen. Hast du eine Ref. für einen Renormalisierungsgruppen-Ansatz für MW (selbstverständlich nicht streng)?
Das Argument gibt Ihnen, dass alle Gibbs-Zustände mit nichttrivialer umfangreicher Entropie zum Gaußschen freien Feld auf dem Gitter konvergieren. Ich versuche dies rigoros zu beweisen, mit einer Migdal-Kadanoff-Renormierung (obwohl dies nicht der "Buchbeweis" ist, wie Erdos sagen würde), die mathematisch völlig klar definiert ist. Ich habe vor langer Zeit ein Werkzeug erfunden, um die Konvergenz offensichtlich zu machen, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich das Argument vervollständigen kann. Ich poste es in den nächsten Tagen.
@RonMaimon: Großartig, ich freue mich darauf, Ihre Argumentation zu lesen.
@RonMaimon: Irgendwelche Neuigkeiten? Wenn Sie darüber nachgedacht haben und zu dem Schluss gekommen sind, dass es tatsächlich weniger trivial ist als erwartet, dann würde es mich auch interessieren, es zu wissen (obwohl ich natürlich eine Lösung vorziehen würde ;) ).

Antworten (1)

Zunächst übersetze ich die relevanten Passagen in Ihrer Arbeit aus dem Mathematischen.

Das Argument in Ihrer Referenz

Sie studieren ein XY-Modell mit der Einschränkung, dass benachbarte Spins immer innerhalb eines bestimmten Winkels zueinander stehen müssen. Sie definieren die Sammlung von Gibbs-Verteilungen der statistischen Mechanik unter Verwendung einer gegebenen Randbedingung im Unendlichen, da die Grenzen immer weiter entfernt sind. Dann stellen Sie fest, dass, wenn das Feld an der Grenze den Spin so weit wie möglich von oben nach unten dreht, die Spins an Ort und Stelle arretiert sind – sie können sich nicht bewegen, weil sie eine bestimmte Windung machen müssen, und Sie können die Wicklung nicht machen, wenn sie nicht im maximal möglichen Winkel sind.

Unter Verwendung dieser Randbedingungen gibt es keine freie Energie, keine Thermodynamik, keine Spinwellen-Grenze, und das Mermin-Wagner-Theorem versagt.

Sie behaupten auch, dass der Satz mit einem translationsinvarianten Maß fehlschlägt, das nur durch Mittelung desselben über verschiedene Zentren gegeben ist. Sie versuchen, die Sache physikalischer zu machen, indem Sie die Randbedingung ein wenig um den Mittelwert schwanken lassen δ . Aber um die Randwicklungsbedingung eng zu halten, wie die Größe der Box N geht ins Unendliche, δ muss schrumpfen wie 1 N , und die resultierende Freie Energie Ihrer Konfiguration wird in der unendlichen Systemgrenze immer subextensiv sein. Wenn δ nicht schrumpft, werden die Konfigurationen ihre Winkel immer randomisieren, wie das Mermin-Wagner-Theorem besagt.

Die Fehler des Mermin-Wagner-Theorems kommen alle von dieser physikalisch unmöglichen Grenzsituation, nicht wirklich von den singulären Potentialen. Indem Sie die Anzahl der zulässigen Konfigurationen für alle Absichten und Zwecke auf genau 1 zwingen, schaffen Sie eine Situation, in der jeder unterschiedliche Durchschnittswert des Winkels einen völlig disjunkten Repräsentanten in der thermodynamischen Grenze hat. Dies macht die Energie als Funktion des durchschnittlichen Winkels diskontinuierlich (tatsächlich ist die Energie unendlich, außer in der Nähe einer Konfiguration) und macht es unmöglich, Spinwellen aufzubauen.

Diese Art von Argumentation hat ein 1d-Analogon, wobei das Analogon zu Mermin-Wagner viel einfacher zu beweisen ist.

1-dimensionale mechanische Analogie

Um zu sehen, dass dieses Ergebnis nicht Mermin-Wagners Schuld ist, betrachten Sie den viel einfacheren eindimensionalen Satz – es kann keinen 1d-Körper geben (langreichweitige Translationsordnung). Wenn Sie zwischen Punkten ein Potential bilden, das in einem bestimmten Abstand D unendlich ist, können Sie auch diesen Satz brechen.

Was Sie tun, ist, dass Sie die Bedingung auferlegen, dass es N Teilchen gibt und das N-te Teilchen in einem Abstand ND vom ersten ist. Dann werden die Teilchen gezwungen, direkt am Rand des unendlichen Brunnens zu sein, und Sie erhalten dieselbe Verletzung: Sie bilden einen 1d-Kristall nur, indem Sie einem translationsinvarianten Potential Randbedingungen auferlegen.

Das Argument in 1d, dass es keine Kristallordnung geben kann, kommt von der Feststellung, dass ein lokaler Defekt die durchschnittliche Position willkürlich weit nach außen verschiebt, so dass Sie die Positionsordnung auswaschen, wenn Sie weitere Defekte hinzufügen.

Mermin-Wagner ist nicht betroffen

Die Standardargumente für das Mermin-Wagner-Theorem müssen nicht modifiziert werden. Sie gehen davon aus, dass es ein tatsächliches thermodynamisches System mit einer umfangreichen freien Energie ungleich Null und einer zum Volumen proportionalen Entropie gibt, und dies wird durch Ihr Beispiel verletzt. Der Fall einer Temperatur von genau Null ist auch etwas analog - es gibt keine umfangreiche Entropie, und bei einer Temperatur von genau Null brechen Sie die Symmetrie.

Wenn Sie eine umfangreiche Entropie haben, gibt es eine wunderbare Überlappungseigenschaft, die von zentraler Bedeutung dafür ist, wie Physiker die Glätte der makroskopischen freien Energie demonstrieren. Die Gibbs-Verteilung bei zwei Winkeln, die infinitesimal getrennt sind, summiert sich über fast dieselben genauen Konfigurationen (in dem Sinne, dass Sie bei einem ausreichend kleinen Winkel lokal nicht sagen können, dass er sich geändert hat, da die lokalen Fluktuationen den Durchschnitt überschwemmen, sodass die lokalen Konfigurationen dies nicht tun ' nicht bemerken)

Die enorme, fast vollständige Überlappung zwischen den Konfigurationen in benachbarten Winkeln zeigt, dass die thermodynamischen Durchschnittspotentiale viel viel glatter sind als die möglicherweise singulären Potentiale, die in die mikroskopische Beschreibung eingehen. Eine quadratische Spinwellendichte erhält man immer , auch bei dem von Ihnen erwähnten Modell, immer dann, wenn Sie über eine umfangreiche freie Energie verfügen.

Sobald Sie eine quadratische Spinwellenenergie haben, folgt das Mermin-Wagner-Theorem.

Schnelle Antwort

die Gibbs-Verteilungen zur Orientierung θ und die Gibbs-Verteilungen zur Orientierung θ ' schließen Sie immer lokal überlappende Konfigurationen als ein θ Ansätze θ ' . Diese Annahme schlägt in Ihrem Beispiel fehl, da selbst eine infinitesimale Winkeländerung für die Randbedingung die Konfigurationen vollständig ändert, da sie keine umfangreiche Entropie haben und innerhalb von a gesperrt sind δ , die mit der Systemgröße schrumpft, einer nicht physikalisch eingeschränkten Konfiguration.

Danke für deine Antwort. Ich muss gestehen, dass ich nicht alle Ihre Punkte verstehe und wahrscheinlich alles zurück ins Mathematische übersetzen muss, wie Sie sagen. Wenn ich jedoch zustimme, dass unser Beispiel ziemlich erfunden und unrealistisch ist (es wurde gegeben, um zu erklären, warum wir in unserer Arbeit eine gewisse Regelmäßigkeit der Wechselwirkung benötigen , nämlich Kontinuität oder die allgemeinere Bedingung (26)), denke ich das nicht Der resultierende Gibbs-Zustand ist nur eine Mischung von Maßen, bei denen alle Spins in einer bestimmten Richtung eingefroren sind (obwohl dies ein Gibbs-Maß wäre, wenn auch ein pathologisches). [fortgesetzt werden]
[Fortsetzung] Aber auf jeden Fall bezog sich meine Frage auf ein heuristisches Argument, das erklären würde, wie man ein Spin-Wellen-Argument in Gegenwart von Hardcore-Wechselwirkungen implementiert. Sie scheinen eine zu geben, aber ich kann ihr nicht folgen, da sie zu ungenau ist. Könntest du noch etwas Mathematik hinzufügen? Eigentlich wäre es sogar schon schön, Ihr Argument zu explizieren, wenn die Wechselwirkung kontinuierlich (aber nicht differenzierbar) ist (obwohl wir wissen, wie man das rigoros beweist, und ein schönes physikalisches Argument aus dem Beweis extrahiert werden kann).
Wie würden Sie außerdem argumentieren (heuristisch, aber bitte mit einigen mathematischen Details), dass Festplatten in der Ebene keine kristalline Phase bilden können (dh die Translationsinvarianz kann nicht gebrochen werden)? Um die Dinge so einfach wie möglich zu halten, gehen Sie davon aus, dass es außer Hardcore keine anderen Interaktionen gibt. Ein strenger Beweis ist bekannt (siehe den Hinweis in meiner Frage), aber er ist ziemlich kompliziert. Natürlich sind es hier eher Dichtewellen als Spinwellen, aber das ist eher irrelevant. Beachten Sie, dass hier die Eingabe einer Konfiguration entweder ist 0 oder + ∞ , was die glatte Verformung von Konfigurationen schwierig macht.
Obwohl dies nicht der Hauptpunkt ist, lassen Sie mich auf Ihren Kommentar zurückkommen δ in deiner Antwort. Sicher, δ muss hin 0 mit N . Aber das bedeutet nicht, dass das resultierende Gibbs-Maß keine umfangreiche Entropie hat, weil die weit von der Grenze entfernten Spins Raum zum Wackeln haben. Das sind nur Spins in einer endlichen Entfernung vom Ursprung, den Sie in der thermodynamischen Grenze sehen. Ich bin mir also ziemlich sicher (obwohl es einige Zeit dauern würde, einen formalen Beweis zu erbringen), dass unter dem Maß, das wir "konstruieren", der Winkel zwischen zwei gegebenen Scheitelpunkten (sagen wir ( 0 , 0 ) und ( 1 , 0 ) ) hat eine Varianz ungleich Null.
Übrigens, ich wäre sehr interessiert, wenn Sie eine Referenz hätten, in der die Art der Argumente, die Sie im Sinn haben, detailliert sind (ich meine, mit der relevanten mathematischen Ableitung; natürlich verlange ich hier keine Strenge!). Die, die ich kenne, machen immer Erweiterungen zweiter Ordnung, was Sie nicht in allen von mir erwähnten Fällen tun können.
...und die Größenbeschränkung in Kommentaren ist wirklich nervig... >:(
@Yvan: Das Mermin-Wagner-Theorem wird von singulären Potentialen, wie denen, die Sie verwenden, nicht beeinflusst. Der Grund dafür ist, dass eine lokale Entropie ungleich Null das Potenzial unter Verwendung einer glatten Mittelungsfunktion mittelt – nämlich „ exp ⁡ ( − β E ) ", und dieses Mittelungsverfahren glättet das Potential zu einer üblichen Spinwellenform. In Ihrem Beispiel ist nichts Ungewöhnliches, es ist analog zur vollständig gefrorenen Nulltemperaturgrenze, die ebenfalls gegen das Theorem verstößt.
Um eine thermodynamische freie Energie zu haben, brauchen Sie nicht nur, dass die Varianz zwischen 0,0 und 0,1 ungleich Null ist, was bei Verwendung von a zutrifft δ , aber dass die Anzahl der Konfigurationen in der Gesamtzahl der Gitterecken exponentiell ist. Wenn die Entropie nicht umfangreich ist (dh wenn es keine Entropie ungleich Null pro Gitterplatz gibt), mitteln Sie nicht über überlappende Konfigurationen für benachbarte durchschnittliche Spinrichtungen und Sie haben keine makroskopische Glätte.
Nein, ich glaube nicht, dass es der Nulltemperatur ähnlich ist, wie ich oben erklärt habe. Aber das spielt keine Rolle. Was ich wirklich wissen möchte, ist, wie Sie die Argumente, die Sie vorschlagen, mit einem Potenzial zusammenbringen, das sich, sagen wir, so verhält 1 − e − 1 / θ bei 0 , wo θ ist die Winkeldifferenz zwischen zwei benachbarten Spins. Beachten Sie, dass ein kleiner Winkel zu einem großen Energieunterschied führt. (Nochmals: Das ist ein Fall, mit dem ich umzugehen weiß, aber Ihre Sichtweise könnte interessant sein). Wie behandeln Sie das Festplattengehäuse?
"... die Anzahl der Konfigurationen ist exponentiell in der Gesamtzahl der Gitterecken". Das weiß ich natürlich. Und ich sage, dass dies in unserem Beispiel im limitierenden Gibbs-Zustand wahrscheinlich der Fall ist : Alle Spins in einer endlichen Entfernung vom Ursprung haben Raum zum Wackeln, was zu einer positiven Entropiedichte führt.
Nach einigen Überlegungen könnte es tatsächlich so sein, dass die Entropiedichte Null ist: Es würde genügen, dass der Wackelraum der Spins mit dem Abstand to hinreichend schnell abklingt 0 . Es sieht unwahrscheinlich aus, aber ich habe im Moment sicherlich kein gutes Argument. Aber konzentrieren wir uns bitte lieber auf meine Hauptfragen. Zum Beispiel die Festplatten oder das folgende Beispiel, das den in diesen Kommentaren besprochenen Modellen viel näher kommt [Beispiel im nächsten Kommentar].
Hier ist das Beispiel. Es ist nicht bekannt, wie man das Ergebnis beweist, also wenn Sie eine Idee haben, warum es wahr sein sollte , wäre ich sehr glücklich. Aber versuchen Sie bitte, einige mathematische Details oder einen Hinweis darauf zu geben. Das Problem ist folgendes: Die Spins nehmen Werte auf R ; Ich nenne ihre Werte "Höhe". Die Wechselwirkungsenergie zwischen zwei Nachbarn (on Z 2 ) ist gleich 0 wenn sich die Höhen um weniger als unterscheiden 1 , und + ∞ wenn sie sich unterscheiden durch 1 oder mehr. Betrachten Sie die Kiste { − N , … , N } 2 . MW würde bedeuten, dass die Varianz der Höhe bei 0 wächst wie Protokoll ⁡ N . Wie würden Sie argumentieren?
@Yvan: Es ist der Nulltemperatur insofern ähnlich, als die Entropiedichte Null ist , was aus dem Zerfall von Delta mit N ersichtlich ist. Sie brauchen eine Konstante δ eine Entropiedichte haben. Das ist der zentrale Fehler des Modells. Das Mermin-Wagner-Argument ist alles, was ich verwende, es gibt keine Modifikation für singuläre Potentiale. Warum stellen Sie den Fall der Höhenfunktion nicht als Frage, die Kommentare sind zu einschränkend --- Ich verstehe heuristisch, warum es funktioniert (masseloses 2D-Feld). Das einzige Beweishindernis sind gewisse Wahrscheinlichkeitskonstruktionen, die ich persönlich verwende und die ich nie niedergeschrieben habe.
Ok, ich stell das mal als neue Frage. Ich bin mit Ihrer Behauptung nicht einverstanden δ , aber das könnte daran liegen, dass wir dieselben Wörter für zwei verschiedene Dinge verwenden. Auf jeden Fall sehe ich immer noch nicht, wie man positive Entropiedichte verwendet, um mit einem der Fälle umzugehen, die ich in den obigen Kommentaren erwähnt habe ...
Lassen Sie mich hinzufügen, dass das "Mermin-Wagner-Theorem" eine sehr genaue (und sehr starke) Bedeutung in der mathematischen statistischen Mechanik hat: in Dimensionen 1 und 2 , sofern die Wechselwirkung schnell genug mit der Entfernung abklingt, ist eine stetige Symmetrie des Hamiltonoperators immer auch eine Symmetrie jedes unendlichvolumigen Gibbs-Maßes. Das von uns konstruierte Maß ist also ein echtes Gegenbeispiel. Ich stimme jedoch zu (und dies ist sogar in meiner Frage niedergeschrieben), dass wir erwarten, dass der Satz für "vernünftige" Gibbs-Zustände gilt . Unser Beispiel zeigt jedoch, dass man Annahmen über die Interaktion treffen muss.
Nur ein letzter Kommentar/eine letzte Frage zu diesem Thema mit der Entropiedichte (ich möchte stattdessen zur eigentlichen Frage übergehen, nicht zur Diskussion dieses Gegenbeispiels ;) ). Was Sie als Grenze betrachten, scheint zu sein N → ∞ der endlichen Volumen-Entropiedichten. Dies geht auf Null, wenn δ → 0 . Ich sehe jedoch nicht ein, warum die mit dem begrenzenden Gibbs-Zustand verbundene Entropiedichte ebenfalls Null sein sollte. Als Beispiel zur Veranschaulichung dieses Punktes ist die Grenzentropiedichte des Dimermodells im Aztekendiamanten nicht gleich der Entropiedichte des Grenzmaßes[...]
[...] in den endlichen Kästchen makroskopisch eingefrorene Bereiche, während das begrenzende Maß (in der thermodynamischen Grenze, dh Topologie der lokalen Konvergenz) auf ungeordneten Dimerkonfigurationen gestützt wird.
@Yvan: Ihre Interpretation von Mermin-Wagner ist falsch --- in der genauen Nulltemperaturgrenze gibt es einen Symmetriebruch in 2d, und der Grund ist genau derselbe wie in Ihrem Modell, wobei die umfangreiche Entropie verschwindet. Das Theorem von Mermin Wagner besagt, dass die Symmetrie nur dann eine Symmetrie des Gibbs-Zustands ist, wenn der Gibbs-Zustand Schwankungen aufweist. Es ist am wichtigsten zu verstehen, dass Ihre Konstruktion in 1d funktioniert, Sie können einen geordneten 1d-Kristall mit großer Reichweite aus Ihrer Art von Dingen erhalten, und Mermin Wagner ist in 1d noch stärker und völlig trivial. Da Sie eine neue Frage gestellt haben, werde ich dorthin gehen, um zu antworten.
Ich verstehe das Mermin-Wagner-Theorem sehr gut, danke. Sie scheinen die Definition eines Gibbs-Zustands mit unendlichem Volumen falsch zu verstehen, das ist der einzige Grund, warum wir anderer Meinung sind, denke ich ... Beachten Sie, dass der Gibbs-Zustand, den wir erhalten , Fluktuationen aufweist (Varianz der Winkeldifferenz zwischen verschiedenen Spins ungleich Null). (Oder zumindest sollte dies aus einer sorgfältigeren Analyse in Anlehnung an unseren Beweis folgen ...)
Trotzdem glaube ich, dass Sie meine Frage missverstehen: Das genaue Gegenbeispiel, das wir in der Arbeit gegeben haben (und das nur eine Bemerkung in der Arbeit war), interessiert mich nicht. Was mir wichtig ist, ist ein (nicht unbedingt strenges) mathematisches Argument, das das Fehlen einer kontinuierlichen Symmetriebrechung in Situationen ableitet, in denen Sie harte Interaktionen haben. Das hast du mir leider nicht gegeben. Wie ich oben sagte, wäre sogar ein nettes heuristisches (aber mathematisches!) Argument im Fall nicht differenzierbarer Wechselwirkungen interessant (obwohl wir diese in der Arbeit behandelt haben).
Die Argumente von Mermin und Wagner kümmern sich nicht um die Differenzierbarkeit in den mikroskaligen Potentialen. Die Spinwellen haben die übliche freie Energie in der thermodynamischen Grenze abseits von Situationen, in denen die Spins fast vollständig eingefroren sind. Ich werde versuchen, dasselbe Ergebnis in Ihrer neuen Frage rigoros zu beweisen. Es erfordert einige einfache Realraum-Renormierungstechniken. Die Verfahren, die nicht auf ein gemitteltes Spinwellenfeld renormieren, verfehlen das Boot vollständig, und die Einschränkung des harten Kerns ist ein Artefakt der Konfigurationsverfahren von Mikrosystemen, die renormierungsblind sind.
super, ich freu mich drauf :) .
Mermin-Wagner-Theorem in Gegenwart von Hardcore-Wechselwirkungen
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