Möglicherweise ist 7 keine Primzahl [geschlossen]

Unter den üblichen Definitionen gibt es absolut keine Möglichkeit, dass 7 eine Primzahl ist, in diesem oder irgendeinem anderen Universum.
Die üblichen Definitionen sind, sagen wir (unter vielen äquivalenten Arten, sie auszudrücken), dass

• eine positive ganze Zahl n ist eine Primzahl , wenn n ≠ 1 und n keine anderen positiven Teiler als 1 und n hat, und
• eine ganze Zahl d ist ein Teiler einer ganzen Zahl n, wenn es eine andere ganze Zahl c gibt, so dass n = cd.
• (Plus einige weitere detailliertere Definitionen von "Ganzzahlen", von Produkten usw.)

Die Tatsache, dass 7 eine Primzahl ist, besagt also einfach, dass keine der Zahlen 2, 3, 4, 5 oder 6 ein Teiler von 7 ist, was wahr ist.

Die Existenz anderer möglicher Welten hat keinen Einfluss darauf, ob 7 eine Primzahl ist, weil die für die Mathematik interessante „Welt“ vollständig durch die mathematischen Axiome definiert ist. (Eine Frage von philosophischem Interesse ist, welche Beziehung diese mathematische Welt zu unserer realen Welt hat – in einem anderen Universum mag diese mathematische Welt der ganzen Zahlen für dieses Universum weniger relevant sein – aber das ist eine völlig andere Frage, die nichts damit zu tun hat, ob 7 a ist Primzahl oder nicht.)

Beachten Sie, dass es selbst im Fall der Quadratwurzel von -1 keine zuvor geglaubte Behauptung gab, die durch die Einführung komplexer Zahlen als falsch entdeckt wurde: -1 ist immer noch nicht das Quadrat einer ganzen Zahl oder einer rationalen Zahl. noch von irgendeiner wirklichen Zahl und wird es auch nie sein, und wir können all dies mit den üblichen Axiomen beweisen . Zufällig gibt es eine Erweiterung der Menge der reellen Zahlen, bei der es sinnvoll ist, von einer "Quadratwurzel" aus -1 zu sprechen: Dazu müssen wir aber auch die Bedeutung von "Quadratwurzel" erweitern (die Domäne und Bereich dieser Funktion).

Um auf den Fall von 7 zurückzukommen, gibt es einen sehr einfachen alternativen Weg, um eine mathematische "Welt" zu bekommen, in der 7 keine Primzahl ist: Bewegen Sie sich einfach vom Ring der ganzen Zahlen zum Ring der rationalen Zahlen. Hier ist es möglich, die Definition von Primzahlen zu erweitern (alles wird übernommen), um zu zeigen, dass 7 keine Primzahl ist, weil sie beispielsweise das Produkt zweier Zahlen (3/2) und (14/3) ist, um nur zu greifen ein Beispiel. (Tatsächlich können wir zeigen, dass es im Ring der rationalen Zahlen überhaupt keine Primzahlen gibt, da jedes p/q beispielsweise als Produkt von 2p/q und 1/2 geschrieben werden kann.)

Betrachten Sie als weniger triviales Beispiel den Zahlenring (a + b√-3), wobei a und b beide ganze Zahlen sind. Die guten alten ganzen Zahlen sind eine Teilmenge davon, die man erhält, indem man b = 0 nimmt. Obwohl es zunächst nicht offensichtlich sein mag, ist hier 7 keine Primzahl, weil 7 = (2 + √-3)(2 - √-3). Es gibt jedoch noch andere Primzahlen in diesem Ring: Sie können beweisen, dass 5 auch in diesem größeren Ring eine Primzahl ist.

In keinem dieser Beispiele hat sich an den Eigenschaften von 7 nichts geändert. Nur die Definition der „Primzahl“ hat sich geändert, und es sollte nicht überraschen, dass sich die Dinge mit einer anderen Definition ändern können. In jedem Paralleluniversum, im Ring der ganzen Zahlen und unter den üblichen Definitionen wird 7 jedoch weiterhin eine Primzahl sein.

Die Antwort auf Ihre Frage ist "Nein", niemand hat eine solche Nummer vorgeschlagen.

Denn davon gibt es unendlich viele.

0,1 ist ein Beispiel, ebenso 0,01, 0,2 usw. usw. usw.

Sobald Sie Ihre "i"-Zahl darauf beschränken, eine positive ganze Zahl zu sein (und damit für die Definition der Primzahl relevant zu sein), wird es unmöglich, da es eine endliche Anzahl von ganzen Zahlen zwischen 1 und 7 gibt, und alle können es sein nachweislich nicht durch 7 teilbar. Alles, was größer als 7 ist, wird offensichtlich nicht durch 7 mit einem ganzzahligen Ergebnis geteilt. Alles kleiner als 1 ist keine positive ganze Zahl.

Obwohl es also Zahlen gibt, die sich gleichmäßig (dh mit einem ganzzahligen Ergebnis) durch 7 teilen lassen, sind keine davon (außer 1 und 7) positive ganze Zahlen, und das ist es, was man braucht, um 7 zu einer Primzahl zu machen.

Wenn Sie „i“ zum ersten Mal als Konzept begreifen, ist es wichtig zu erkennen, dass es NICHT Teil der Zahlensysteme ist, die Sie bereits kennen. Ähnlich wie ein Kind, das zum ersten Mal Brüche oder negative Zahlen lernt, liegen diese außerhalb der Systeme, die es bisher gelernt hat. Es ist möglich, ein "neues" Konzept zu haben, das zu einer derzeit unmöglichen Definition passt, aber Sie können nicht versuchen, daraus zu schließen, dass es in eine bestehende Menge von Zahlen (positive ganze Zahlen) passt und daher eine bestehende Regel (Primzahl) bricht.

Ich werde eher das beantworten, was ich als die Absicht der Frage sehe, als die Frage selbst (die in den früheren Antworten ziemlich gut beantwortet zu sein scheint). Kurz gesagt, ich würde sagen, dass die Antwort lautet yes- in dem Sinne, dass sich die Leute gefragt haben, ob es andere sinnvolle Erweiterungen der ganzen Zahlen als die Gaußschen ganzen Zahlen gibt, und wo ich mit dem, was ich mit "bedeutungsvoll" meine, etwas locker bin. Um ihm mehr Substanz zu verleihen, meine ich eine assoziative Algebra über den reellen Zahlen, bei der jedes Element ungleich Null umkehrbar ist. (Sie würden wirklich weit gehen, wenn Sie sich dies intuitiv als etwas vorstellen, das sich wie die ganzen Zahlen verhält, aber vielleicht ein wenig anders ist).

Und da sind.

Es gibt auch Quaternionen . Dies sind 4-dimensionale Zahlen im gleichen Sinne wie komplexe Zahlen 2-dimensionale Zahlen sind, aber mit einigen komplizierteren Multiplikationsregeln. Außerdem erweitern die Quaternion-Ganzzahlen tatsächlich die Gaußschen Ganzzahlen. Außerdem berücksichtigen $7$ die Quaternionen. Übrigens werden alle „natürlichen Primzahlen“ in den Quaternionen berücksichtigt – Quaternionen wurden auch als „Quadratwurzeln der Primzahlen“ bezeichnet, und Sie können dies strenger machen. (Aber ich werde nicht)

Andererseits ist die Quaternion-Multiplikation nicht einmal kommutativ. Sind sie also wirklich wie die ganzen Zahlen? Sie könnten höher gehen, zu den Oktonionen , die 8-dimensional sind. Aber sie sind nicht einmal assoziativ. Sie könnten noch höher gehen – es gibt einen Weg – aber Sie verlieren immer mehr von dem, was Sie mit den ganzen Zahlen verbinden.

Aber das sind es - mehr gibt es nicht. Für einen Beweis könnte ich Sie auf diese Frage bei Math.SE oder auf Hintergrund und Intuition verweisen .

Ich möchte auch sagen, dass es sehr schwierig ist zu entscheiden, was Sie mit „existiert“ meinen. Ein Großteil der Mathematik basiert auf denselben oder sehr ähnlichen Axiomen, und das meine ich. Aber eine sehr beliebte Frage ist: Existieren komplexe Zahlen? , was nicht trivial ist (würde ich sagen). In ähnlicher Weise könnten Sie jedoch fragen, in welchem ​​​​Sinn natürliche Zahlen oder negative Zahlen existieren. Ich sage das nur, weil ich mir sicher bin, dass es möglich wäre, eine andere Sammlung von Axiomen/eine andere Vorstellung davon zu entwickeln, was eine „Zahl“ ausmachen darf und 7 keine Primzahl sein darf.

-1 ist eine Ganzzahl mit der von Ihnen angegebenen Eigenschaft. Im Allgemeinen denken Sie vielleicht an eine Einheit in einem Ring. Das ist ein invertierbares Element.

Ich habe dies nicht überprüft. Aber lassen Sie uns in einem möglichst einfachen algebraischen System arbeiten. Dies ist ein Monoid - das heißt, wir haben eine Multiplikation (nicht unbedingt assoziativ - sie sind es normalerweise) und eine Identität. Angenommen, es gibt sieben Elemente. Definieren Sie eine lineare Ordnung mit der Identität als erstem Element und der letzten als sieben.

In diesem Zusammenhang macht die Idee eines Primzahlenelements immer noch Sinn.

Füllen Sie nun den Rest der Multiplikation aus, wobei Sie nur festlegen, dass jedes Element sieben teilen muss. Da die Multiplikation nicht assoziativ ist, kann dies beliebig sein.

Damit haben wir ein algebraisches System, das Ihren Anforderungen genügen sollte.

(Voraussetzung: Natürlich hat dieses System nur vage Beziehungen zu den üblichen ganzen Zahlen).

Gibt es einen möglichen Weg der Counterpart-Theorie, wie wir das verstehen könnten? Angenommen, 7 in unserer Welt ist die natürliche Zahl 7, aber in einer anderen möglichen Welt befindet sich das richtige Gegenstück von 7 in einem "Hypokomplex"-Feld, so dass es eine Quadratwurzel hat. Nimmt man eine Lewissche Interpretation der Möglichkeit, wäre dies der richtige Weg, um die Behauptung zu bestätigen, dass 7 möglicherweise keine Primzahl ist.

Die Frage wäre dann die Entscheidung, ob es eine solche mögliche Welt gibt und ob es richtig wäre, ein Gegenstück zu 7 auszuwählen, das die entsprechenden relationalen Eigenschaften erfüllt.

Es scheint kein Problem zu sein zu sagen, dass es eine mögliche Welt gibt, in der es eine Quadratwurzel aus minus 1 gibt. Das liegt daran, dass die komplexen Zahlen effektiv eine Möglichkeit sind, Paare von reellen Zahlen zu beschreiben, was in der Mengenlehre möglich ist . Da dies in der Mengenlehre möglich ist und die Kripke-Standardsemantik möglicher Welten ebenfalls mengentheoretisch ist, welcher Zweifel kann da bestehen? Ihre Strategie braucht also zunächst eine formale Komponente; Sie müssen die Semantik der arithmetischen Sprache angeben, in der Ihre "quiimaginären" Zahlen existieren. Das scheint nicht unplausibel, aber Sie müssen die Arbeit machen.

Dann müssen Sie argumentieren, dass Sie nicht zweideutig sind, wenn Sie in diesem Modell von 7 als Gegenstück zur 7 des Standardmodells der Arithmetik sprechen. Dieses Argument schlägt viel wahrscheinlicher fehl, da wir dazu neigen, Primzahlen mit dem Studium der endlichen Arithmetik in Verbindung zu bringen, anstatt mit Funktionen über den unendlichen Bereichen der Mathematik wie komplexen Feldern. Ihre Gegenüberstellung muss sehr kompliziert sein, bis zu dem Punkt, an dem Sie wahrscheinlich die Einzigartigkeit oder Symmetrie der Gegenseitigkeit aufgeben müssen.