Ist es notwendig, die unquantifizierte Modallogik zu studieren, wenn man die quantifizierte PC-Logik sehr gut kennt? Es scheint eine offensichtliche Verbindung zwischen der Möglichkeit und dem existenziellen Quantifizierer und der Notwendigkeit und dem universellen Quantifizierer zu geben. Ja, Lehrbücher der Modallogik haben eine Alphabetsuppe verschiedener axiomatischer Systeme K, S4, S5 usw. ... aber am Ende des Tages können all diese auf einen quantifizierten PC reduziert werden, mit der richtigen Auswahl an Axiomen, die an Ihre angehängt werden Sprache.
Es wäre schön, eine minimale Theorie ohne unnötigen Jargon wie "mögliche Welten" zum Beispiel zu haben. ... es sei denn natürlich, Sie wollen nur diese Begriffe, das ist in Ordnung, ... aber es wäre schön zu sagen, dass diese Theorien in gewissem Sinne "isomorph" sind.
Gibt es wirklich einen Unterschied zwischen den beiden?
Eine mögliche Antwort ist, dass die Modallogik auch Dinge außerhalb von Möglichkeit und Notwendigkeit (P&N) abdeckt, zum Beispiel „Zeitliche Modallogik“ oder „Beweisbarkeit“ oder sogar Dinge wie „Obligation“ etc . Die Frage ist also zweifach: (1) Gibt es Grenzen für die quantifizierte PC-Logik (selbst mit hinzugefügten Axiomen), sodass sie nicht die P&N-Modallogiksysteme erhalten kann, die wir wollen, und separat (2a) gibt es WIRKLICH einen Unterschied zwischen P&N-Modallogiken und Nicht-P&N-Modallogik (dh können wir sie trotzdem wie P&N-Modallogik behandeln)? und (2b) selbst wenn sie unterschiedlich sind (dh die Antwort auf 2a lautet "ja"), gibt es eine Möglichkeit, diese (zumindest einige) auf PC zu reduzieren (eine Umformulierung von Frage (1) auf andere Systeme)
Philosophy.stackexchange scheint Mathjax nicht zuzulassen, daher ist diese Antwort etwas chaotisch; Wenn jemand weiß, wie man die mathematische Notation hier richtig anzeigt, können Sie sie gerne bearbeiten.
Du fragst:
Ist es notwendig, die unquantifizierte Modallogik zu studieren, wenn man die quantifizierte PC-Logik sehr gut kennt?
Dies deutet darauf hin, dass Sie die Rolle einer Logik darin sehen, dass Sie mehr Dinge ausdrücken können – damit ausdrucksstärkere Logiken besser sind. Dies ist jedoch nicht allgemein wahr: Es gibt viele Fälle, in denen wir uns tatsächlich um schwächere Logiken kümmern, die bessere Eigenschaften (z. B. Entscheidbarkeit) haben, sowohl aus mathematischer als auch aus philosophischer Sicht. Die Aussagenmodallogik ist in der Tat ein Fragment der Prädikatenlogik (= Logik erster Ordnung); Dieses Fragment ist ziemlich klein und viel besser benommen als die vollständige Prädikatenlogik und spielt eine wichtige Rolle beim allgemeinen Studium schöner Fragmente der Prädikatenlogik.
Mir wurde gesagt (obwohl ich es nicht gelesen habe), dass der hier zu empfehlende Text modale Sprachen und begrenzte Fragmente der Prädikatenlogik ist .
Wie können wir die Aussagenmodallogik als ein Fragment der Prädikatenlogik betrachten? Nun, Sie hatten die richtige Grundidee – Möglichkeit („Poss“) und Notwendigkeit („Nec“) sollten „existiert“ bzw. „für alle“ entsprechen; Lassen Sie mich die Details nennen.
Es gibt einen natürlichen Weg, einen Kripke-Rahmen mit einer Bewertung (W, R, V) in der Aussagensprache {p_i: i in I} in eine Struktur M im Sinne der Prädikatenlogik zu überführen: Die Sprache hat unäre Prädikate U_i für jedes p_i , eine binäre Relation S entsprechend R, und die Elemente der Struktur sind genau die Welten im Rahmen.
In diesem Sinne gibt es einen natürlichen Weg, einen Satz phi in der aussagenlogischen Modallogik in eine Formel phi'(x) in der Prädikatenlogik umzuwandeln, die intuitiv die Eigenschaft hat, die phi in der Welt w von (W, R, V) iff hat M erfüllt phi'(w). Die Details sind etwas langwierig, aber ich gebe ein Beispiel, das es verdeutlichen soll: Wenn phi der Satz ist
"Poss(p_0 impliziert Nec(p_1 impliziert p_2))",
dann ist phi'(x) die Formel
"Es gibt einige y, so dass xRy und (wenn U_0(y), dann für jedes z(wenn yRz, dann impliziert U_1(z) U_2(z)))."
Nun ist diese Übersetzung in folgendem Sinne getreu : Wenn jede Welt eines Rahmens mit Bewertung (W, R, V) phi erfüllt, dann erfüllt die zugehörige Struktur M "für alle x, phi'(x)". Es gibt auch andere Sinne, in denen diese Übersetzung treu ist; Die aussagenlogische Modallogik kann in jeder Hinsicht getreu in die Prädikatenlogik eingebettet werden.
(Ich habe mich auf Frame-orientierte Modallogik konzentriert, aber das geht wirklich weiter.)
Die Umkehrung ist extrem falsch!
Beachten Sie zuallererst, dass die meisten Strukturen in der Prädikatenlogik nicht aus Frames-mit-Bewertungen stammen – in welchem Sinne können Sie sich zB vorstellen, dass ein Feld aus einem Frame-mit-Bewertung stammt?
Selbst wenn wir die Aufmerksamkeit auf Strukturen beschränken, die von Rahmen mit Bewertungen im obigen Sinne stammen, ist die aussagenlogische Modallogik immer noch sehr schwach: Zum Beispiel, wie würden Sie versuchen, den prädikatenlogischen Satz auszudrücken
"Es gibt genau eine Welt w, so dass für jede Welt u entweder du w oder w dich sieht."
im Kontext der aussagenlogischen Modallogik?
All dies bedeutet, dass die aussagenlogische Modallogik im Vergleich zur Prädikatenlogik extrem schwach ist. Dies kann jedoch in vielerlei Hinsicht als positiv angesehen werden: Philosophisch gesehen können wir die "Bestimmtheit" von Prädikatssätzen im Allgemeinen anzweifeln (aus einem Zweifel an der Sinnhaftigkeit der iterierten Quantifizierung über den gesamten Bereich), während wir viel mehr Vertrauen in Sätze haben ausdrückbar in einem besonders schönen Fragment davon; Mathematisch weisen die Modallogik und ihre Varianten eine Reihe netter Eigenschaften (z. B. Entscheidbarkeit) auf, die die volle Prädikatenlogik nicht hat, was sie sowohl vom reinen als auch vom angewandten Standpunkt aus interessant macht.
Lassen Sie mich zwei verschiedene grundlegende Ziele (oder Richtungen, da keine Erwartung einer endgültigen Fertigstellung besteht) für die formale Logik gegenüberstellen:
Um eine möglichst breite Sammlung von Vorschlägen auszudrücken. In diesem Sinne hat die Aussagenlogik der Prädikatenlogik natürlich nichts zu bieten. (EDIT: Eigentlich ist das nicht ganz richtig; wenn wir fragen, welche Arten von Frames gegebene propositionale Modalsätze validieren, werden die Dinge sehr interessant: In einem genauen Sinne können wir tatsächlich eine vollständige Logik zweiter Ordnung aus Fragen der Validierung erhalten - Weitere Details / Zitate finden Sie in dieser Antwort von mir .)
Untersuchung der mathematischen Verpflichtungen/Kosten, die mit der Formalisierung von Klassen von Aussagen verbunden sind. Wollen wir zB alle Aussagen mit Quantifizierung erster Ordnung ausdrücken, müssen wir Unentscheidbarkeit in Kauf nehmen; Umgekehrt hat die Prädikatenlogik einige nette Eigenschaften wie Kompaktheit , die anderen ausdrucksstärkeren Logiken fehlen. Ein Sternsatz in dieser Hinsicht ist der Satz von Lindstrom , der ungefähr besagt, dass es keine Logik gibt, die streng ausdrucksstärker ist als die Prädikatenlogik, die sowohl die Kompaktheits- als auch die Lowenheim-Skolem- Eigenschaft hat. (Wer sich für so etwas interessiert, sollte sich die Sammlung Modelltheoretische Logiken ansehen .)
Meiner Meinung nach ist keines wichtiger als das andere (und natürlich gibt es noch viele, viele andere); Wo die Aussagenmodallogik wirklich glänzt, ist in Bezug auf das zweite Ziel.
Solltest du also die aussagenlogische Modallogik studieren? Es hängt davon ab: Was soll die Logik für Sie tun ?
Benutzer9166
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Konifold