Sind die Wahrheiten der euklidischen Ebenengeometrie kontingente Wahrheiten?

Eine notwendige Wahrheit ist eine, die aus der Logik folgt. Eine zufällige Wahrheit folgt aus dem Zufall.

Betrachten Sie einen Satz T der euklidischen Geometrie. Es hat keine Wahrheitswerte über die reale Welt; weil wir keine Interpretation angegeben haben. Theoreme sind syntaktische Einheiten; aber die Wahrheit ist eine semantische. Das Beste, was wir über einen Satz sagen können, ist, dass er anhand der Axiome beweisbar ist oder nicht.

Wenn wir also T behaupten, machen wir wirklich die Behauptung „T ist ein Theorem von E“, wobei E die Axiome der euklidischen Geometrie darstellt. „E beweist T“ ist eine wahre Aussage; und außerdem ist es eine notwendige Wahrheit, weil es direkt aus der Logik folgt. Tatsächlich könnten Sie ein Computerprogramm schreiben, das die Gültigkeit der Ableitung von E nach T überprüfen kann. Die Theoremprüfung ist ein algorithmisches Verfahren. [ Das Finden von Theoremen, insbesondere das Finden interessanter Theoreme, erfordert einen Menschen.]

Beachten Sie, dass wir nichts über den Wahrheitswert von T sagen können. T ist eine formale Aussage, sie hat keine Bedeutung. Wenn wir T relativ zur modernen Physik interpretieren, könnte es falsch sein. Wenn wir T im Newtonschen Universum interpretieren, könnte es wahr sein. Wahrheit ist immer relativ zu einer Interpretation.

Betrachten Sie nun die Aussage: "Ich bin Linkshänder." In dieser Welt ist das wahr. Aber was ist mit anderen möglichen Welten? Ich hätte als Rechtshänder geboren werden können und mein Leben wäre so ziemlich dasselbe. „Sokrates ist ein Philosoph“ ist in dieser Welt wahr; aber in einer anderen Welt war Sokrates ein Fischhändler.

Jetzt könnten Sie sagen: Was meinen Sie mit „möglicher Welt“? Ich gebe zu, dass dies ein sehr tiefgründiges Thema mit einer umfangreichen philosophischen Literatur ist; und dass ich das alles nicht kenne. Ich weiß, dass es eine düstere Vorstellung ist. Gibt es eine mögliche Welt, in der 2 + 2 = 5 ist? Wir neigen dazu, nein zu denken, weil 2 + 2 = 4 eine notwendige Wahrheit ist. Aber warum ist das so?

Ich kann mir eine Welt vorstellen, in der ich Rechtshänder bin. Aber ich kann mir keine Welt vorstellen, in der 2+2=5 ist. Meine Händigkeit ist also eine zufällige Wahrheit; und 2+2=5 ist eine notwendige Wahrheit.

Zusammenfassung: Jeder Satz T der euklidischen Geometrie ist für sich genommen weder wahr noch falsch . Wenn Sie mir eine Deutung geben, sage ich Ihnen, ob sie wahr oder falsch ist.

Aber die Aussage "E beweist T", wobei E die Sammlung euklidischer Axiome ist, ist tatsächlich eine notwendige Wahrheit; weil es logisch beweisbar ist.

„Euklid schrieb die Elemente“ ist eine zufällige Wahrheit. In einer anderen möglichen Welt hütete Euklid Ziegen und jemand anderes schrieb das erste moderne Mathematikbuch.

Betrachten Sie zwei Punkte auf der durch beschriebenen Fläche z = 1/x * 1/y. Gibt es eine Linie auf dieser Oberfläche, die sie verbindet?

Stellen Sie sich zwei Flugzeuge vor, die 500 Meilen voneinander entfernt in die gleiche Richtung fliegen. Wenn sie beide geradeaus fliegen, werden ihre Flugbahnen parallel sein?

Wenn ich einen Wassertropfen habe und einen Wassertropfen hinzufüge, wie viele Wassertropfen habe ich dann?

Unsere „natürliche intuitive Interpretation“ mathematischer Konzepte ist stark kontextabhängig. Wenn es um Äpfel geht, dann ist 1+1=2, aber wenn es um Wassertropfen geht, macht 1+1=2 keinen Sinn. Wenn Sie von flachen Oberflächen sprechen, folgt natürlich die euklidische Geometrie, aber nicht alle Oberflächen sind flach – und ich meine nicht nur, dass wir in drei statt in zwei Dimensionen leben. Der 3D-Raum selbst kann gekrümmt sein!

Die euklidische Geometrie erscheint uns wie die Newtonsche Physik intuitiv und natürlich, weil sie einfach ist und eine gute Annäherung an das Verhalten der Welt in den meisten Fällen darstellt. Dieses Verhalten ist jedoch keine notwendige Tatsache. In einem Universum, in dem die Physik ganz anders funktionierte, bezweifle ich, dass die Bewohner solche Dinge so offensichtlich finden würden wie wir.

Das Gesetz, das 1 + 1 = 2 behauptet, ist im Wesentlichen das Gesetz der Identität – das heißt, dies ist dies ; deshalb ist es notwendigerweise wahr. Um einen Kontext dafür zu spezifizieren, müssen wir genauer darauf eingehen, was wir identifizieren und wie .

In der Ontologie von Liebniz ist es das Gesetz der Ununterscheidbarkeit, über das er zuerst im Diskurs über Metaphysik geschrieben hat ; es wird typischerweise verstanden als:

keine zwei [unterscheidbaren] Objekte können die gleichen Eigenschaften haben

Dies erscheint durchaus sinnvoll: Wenn zwei Objekte unterscheidbar sind, müssen sie sich in einer oder mehreren Eigenschaften unterscheiden. Da können wir sagen:

ein Objekt wird durch seine Eigenschaften eindeutig bestimmt

Dann stellt sich die Frage, ob dieses Gesetz allgemeingültig ist? Gibt es konzeptionelle Schemata, in denen sie abgeschwächt werden kann?

Auf den ersten Blick ist 1+1 nicht gleich 2; sie sehen anders aus; der Kontext liefert jedoch einen Beweis dafür, dass das Erste in das Zweite und zurück umgewandelt werden kann; deshalb sage ich im Wesentlichen eher als genau in meinem ersten Satz. Man könnte in einer bestimmten Sprache sagen, dass sie homotop sind (um dies zu präzisieren - wir bewegen uns von der Typentheorie in den Bereich der Homotopie-Typentheorie)

Daher ist das Leibnizsche Gesetz, obwohl es im Wesentlichen wahr ist, nicht genau wahr; und dies kann formeller gemacht werden. In der Mengenlehre, die ZF für Präzision wählt, wird das Leibnizsche Gesetz in das Axiom der Extensionalität übersetzt :

Eine Menge wird durch ihre Mitglieder eindeutig bestimmt.

Die Entsprechung zwischen diesem und meiner Wiederholung des Liebnizschen Gesetzes ist offensichtlich.

Es ist möglich, eine andere Linie zu verfolgen, und diese entstand aus dem Begriff der Isomorphie in der Algebra; Das heißt, zwei Objekte können für alle Zwecke im Wesentlichen nicht unterscheidbar sein und dennoch unterschiedlich sein. dieser Begriff findet seinen richtigen Zusammenhang in der Kategorientheorie ; und in der Tat idealerweise Theorie höherer Kategorien.

Im Grunde ist die gesamte Mathematik (wie sie heute verstanden wird) geometrisierbar: Geometrie und Algebra sind dual. Zum Beispiel die ganzen Zahlen, die archetypische Algebra, wird (von Grothendieck) durch seinen Schemabegriff geometrisiert – und in dieser Sprache kann man von Überdeckungen, Bündeln und Krümmungen sprechen.

Angesichts dieser Einsicht überrascht es nicht, dass es nichteuklidische Geometrien gibt; sie wurden zufällig als erste entdeckt.

Daher sind die Wahrheiten der Euklidischen Geometrie notwendigerweise wahr, da man diese Geometrie im Raum aller Geometrien spezifiziert hat; aber wenn man an die Modalität der Notwendigkeit in Kripke oder Lewis' möglicher Weltsemantik denkt, wo eine Wahrheit notwendigerweise wahr ist, wenn sie in jeder Welt wahr ist – dann sollte man sagen, dass sie kontingent wahr sind.

Ich würde auch sagen, dass diese Dualität (die von Geometrie zu Algebra) für uns natürlich ist, wenn wir sehen (also Geometrie) und berühren (also zählen). In diesem Sinne bestimmt die physikalische Unmittelbarkeit der Welt, wie sie uns gegenwärtig ist - also phänomenologisch - diese beiden so eng miteinander verbundenen Kategorien des mathematischen Verstehens; In dieser Denkrichtung ist es ein philosophischer Fehler, sowohl die Welt als auch das Bewusstsein zu entfernen, um Zahl und Geometrie zu verstehen. In diesem Sinne ist die Geometrie von dieser Welt und von der Struktur des Bewusstseins abhängig . Dies ist hier nicht verwunderlich, da diese Sichtweise aus der Kantischen Philosophie hervorgegangen ist, wo sie ein wesentlicher Ausgangspunkt ist.

Ich denke, es gibt ein bisschen mehr, als es nach meinem Geschmack in den anderen Antworten geben sollte. Es ist eine einfache Antwort für eine Person mit ein wenig mathematischer Arbeit. Das fünfte Postulat steht nicht im 3D-gekrümmten Raum, wie es unsere Welt ist (siehe zum Beispiel die Winkel auf den Kugeln). Carl Friedrich Gauß hat einmal in einem Brief erklärt, dass er das fünfte Postulat anzweifelt und nicht die anderen 4 Axiome. Danach schuf János Bolyai eine neue Geometrie, bei der das fünfte Postulat nicht galt (genannt hyperbolische Geometrie).

Als abschließende Antwort, wenn ich die Frage richtig verstanden habe, sind die Axiome keine zufälligen Wahrheiten, da eine andere Geometrie basierend auf der euklidischen Geometrie hätte erstellt werden können.