Gibt es mathematische Eigenschaften, die ein mathematisches Objekt nur zufällig haben könnte?

Es hängt davon ab, wie Sie ein mathematisches Objekt beschreiben und was Sie "ein einzelnes" mathematisches Objekt nennen.

Kontigenz in Axiomen

Das Beispiel, dass die Null ein Nachfolger einer anderen Zahl ist, ist gut; Ich benutze es selbst ziemlich häufig, um meinen nicht mathematisch veranlagten Freunden etwas von der Mathematik zu erklären, an der ich arbeite. Manchmal lohnt es sich zu behaupten, dass 6+1 = 0; und manchmal nicht.

Wann unterscheiden wir ein mathematisches Objekt von einem anderen? Wenn wir innerhalb eines formalen Systems arbeiten, können wir uns dafür entscheiden, die Prämisse anzunehmen, dass 0 keine Vorgänger hat (wodurch die nicht negativen ganzen Zahlen entstehen) oder nicht (wodurch stattdessen eine Gruppe entsteht, die die ganzen Zahlen oder vielleicht ein Additiv sein kann zyklische Gruppe). Wenn wir irgendein Axiom aussetzen, um welches zu bestimmen, dann sind beide Systeme Modelle für die resultierende Menge von Axiomen. Was bedeutet Kontingenz, abgesehen davon, dass es deutlich unterschiedliche mögliche Modelle für die Axiome gibt?

Ist Null in den beiden Modellen ein unterschiedliches Objekt? Wenn Sie glauben, dass mathematische Objekte ihre „Identität“ durch ihre Beziehungen zu anderen erhalten, könnten Sie das sagen. Aber in der axiomatischen Theorie gibt es nur einen Namen für das Objekt in den verschiedenen möglichen Modellen; als ob wir Karls-Äquivalente in zwei verschiedenen alternativen Geschichten identifizieren könnten, die unterschiedliche Bedingungen für den Zusammenbruch des alexandrinischen Griechenlands beinhalten. Man könnte vielleicht sagen, dass das axiomatische System nur ein Objekt hat, dessen Eigenschaften unterbestimmt sind. Aber natürlich können wir, ohne beweisen zu können, ob das System konsistent ist oder nicht (oder ob das beschriebene Modell die Gruppe der Ordnung eins ist oder nicht), nicht sagen, ob 0 = 1 im axiomatischen System gilt oder nicht; Das ist eine ziemlich wichtige Beziehung, die man feststellen kann, und doch ist das Beste, was wir tun können, anzunehmen, dass sie nicht gilt (und zu hoffen, dass wir Recht haben). Tatsächlich ist also jedes konsistente System auf diese Weise unterbestimmt. Man kann dann gut argumentieren, dass es ein Objekt gibt, dessen Eigenschaften teilweise von weiteren Axiomen abhängen.

Als tieferes Beispiel kann man die Kontinuumshypothese in Gestalt der Frage betrachten: Sind alle Teilmengen der reellen Zahlen zählbar oder mit den reellen Zahlen selbst gleich stark? Wenn Sie Ihre Axiome auf die üblichen Verdächtigen von ZF±C (Zermelo-Frankl mit oder ohne Wahl) beschränken, gibt es einfach keine Antwort. Was versteht man hier unter „kontingent“ – meinen wir „in Abhängigkeit von Informationen, die wir nicht haben“? Unabhängigkeit von Axiomensystemen scheint ein etwas hohler Weg zu sein, um diese Abhängigkeit zu erreichen, aber es würde passen. Natürlich meinen wir normalerweise mit „kontingent“ etwas, das von etwas abhängt, das außerhalb unserer Kontrolle liegt, wie ein zufälliger Prozess oder sogar eine Art teuflischer Gegner. Vielleicht könnten Sie für die Kontingenz der Kontinuumshypothese argumentieren, wenn Sie an eine Art One True Set Theory glauben; der Wahrheitswert der Kontinuumshypothese wäre bestimmt, aber Ihnen unbekannt, und von noch unbekannten „Faktoren“ abhängig. Wenn Sie ein Formalist wären, der glaubte, dass es in gewissem ästhetischen Sinne eine Theorie der einen wahren Menge (oder vielleicht eine kleine Handvoll Theorien der wahren Menge) geben könnte, könnten einige dieser kontingenten Faktoren auf willkürliche Entscheidungen hinauslaufen, wie etwa die, ob Pluto oder nicht ist "ein Planet".

Wenn wir die Kontinuumshypothese für falsch erklären, existieren dann plötzlich für uns Objekte, deren Existenz vorher nur zufällig war? Ist die Potenzmenge der reellen Zahlen – ein analytisch definiertes Konstrukt – ein anderes Objekt , je nachdem, ob wir behaupten, dass die Kontinuumshypothese wahr ist oder nicht? Dies scheint keine besonders konstruktive Betrachtungsweise zu sein; aber Geschmäcker sind verschieden.

Kontingenz abseits von Axiomen

Betrachten Sie zum Beispiel die Zufallsgraphentheorie. In ihrer bahnbrechenden Arbeit zu diesem Thema betrachten Paul Erdős und Alfred Rényi ( Erdős+Rényi 1960, "On the evolution of random graphs" ) einen Prozess, bei dem man n abstrakte 'Punkte' oder 'Vertices' paarweise durch Kanten verbindet und bis zu selektiert eine Anzahl N von Paaren zum Verbinden, gleichmäßig zufällig und in zufälliger Reihenfolge. Die Beschreibung dessen, „was vor sich geht“, wird in einer höchst suggestiven zeitabhängigen Sprache präsentiert. (Die bloße Idee der Tatsache, dass es gibtetwas, das "vor sich geht", anstatt einfach nur statisch der Fall zu sein, ist bereits ein Hinweis darauf.) Das Wort "Evolution" im Titel ist wörtlich gemeint, zum Beispiel: Sie sprechen davon, dass sich der Graph mit der Zeit ändert, von verbundenen Komponenten, die ineinander "verschmelzen", und so weiter.

Das ist natürlich im Prinzip nicht anders, als wenn wir über die Position eines Irrläufers mit der Zeit sprechen oder sogar deterministisch über die Position eines Teilchens, das sich nach den Newtonschen Gesetzen gleichmäßig bewegt. Es wird ein mathematischer Prozess beschrieben, bei dem einer der Parameter die Zeit beschreibt; und dann neigen wir dazu, darüber zu sprechen, was für das Teilchen zu bestimmten Zeitpunkten gilt. Ist das eine Reihe von Fakten über das Objekt? Oder ist es eine Sammlung von Sätzen, von denen je nach „Zeit“ nur einer „wahr“ ist? Die Unterscheidung ist eine Frage der Semantik, die entweder hilfreich oder sinnlos sein kann: Die Hebelwirkung, die Mathematiker aus dem naiven mathematischen Platonismus gezogen haben, legt sicherlich nahe, dass es in bestimmten Szenarien einen gewissen Vorteil bringt, Dinge als absolut und statisch zu betrachten, aber offensichtlich Erdős und Rényi haben mehr Nutzen daraus gezogen, an ihre Graphen zu denken, die mit der Zeit wachsen und reifen, wenn Kanten hinzugefügt werden.

Etwas noch Provokanteres passiert für N = n ( n - 1)/4 (sodass jedes Punktpaar mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 verbunden ist), und nehmen Sie die Grenze, wenn n gegen unendlich geht. Dies ist als "der" unendliche Zufallsgraph bekannt; und der Grund, warum es "der" unendliche Zufallsgraph genannt wird, ist, dass, obwohl verschiedene Punktepaare verbunden sind, je nachdem, welche Kanten für den Graphen ausgewählt werden, das Ergebnis mit Wahrscheinlichkeit 1 ein bestimmter Graph ist, bis zur Umbenennung der Namen der Punkte. Das heißt, das Ergebnis ist genauso derselbe Graph, da alle Kreise mit festem Radius 1 in gewissem Sinne Darstellungen "desselben Kreises" sind. Und so stellt sich heraus, dass ein unendlich ausgedehnter Zufallsprozess zu dem führt, was man ein deterministisches Ergebnis nennen könnte. Es gibt jedoch andere unendliche Graphen, die Sie in Betracht ziehen könnten, die nicht mit "dem" unendlichen Zufallsgraphen identisch sind: aber die Wahrscheinlichkeit, sie durch diesen Prozess zu realisieren, ist Null, da dies eine Verschwörung unendlich vieler Ereignisse erfordern würde, die eine gewisse Wahrscheinlichkeit haben von Versagen. Gibt es dann irgendetwas Kontingentes an der Struktur dieses Graphen? Vieles ist darüber bekannt (siehe den oben verlinkten Artikel), aber es kommt wie durch eine unvermeidliche Häufung von Unfällen zustande. Und obwohl es "der" unendliche Zufallsgraph ist, ist es immer noch ein zufälliges Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1/2, ob eine bestimmte Realisierung davon (im Konstruktionsprozess) zwei bestimmte Punkte durch eine Kante verbindet oder nicht. Wir sprechen im Wesentlichen von einem einzelnen mathematischen Objekt, dessen Darstellung kontingent ist. Ob eine bestimmte Realisierung davon (im Konstruktionsprozess) zwei bestimmte Punkte durch eine Kante verbindet oder nicht, ist immer noch ein zufälliges Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Wir sprechen im Wesentlichen von einem einzelnen mathematischen Objekt, dessen Darstellung kontingent ist. Ob eine bestimmte Realisierung davon (im Konstruktionsprozess) zwei bestimmte Punkte durch eine Kante verbindet oder nicht, ist immer noch ein zufälliges Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1/2. Wir sprechen im Wesentlichen von einem einzelnen mathematischen Objekt, dessen Darstellung kontingent ist.

Zusammenfassung

Ob tatsächlich etwas Kontingentes vor sich geht, hängt zum Teil von Ihrer Philosophie der Mathematik ab, von Ihrer Interpretation der Wahrscheinlichkeit oder der Idee der „Kontingenz“, oder vielleicht nur davon, wie man am bequemsten über das Thema spricht.

Ich denke, Sie haben Recht, jedes mathematische Objekt hat einen stillschweigenden Kontext , in dem es betrachtet wird. Wie wäre es mit Geometrie, ein Dreieck in euklidischen, hyperbolischen und elliptischen Räumen ist anders. Vermutlich kann dies auf Mannigfaltigkeiten mit einer Metrik verallgemeinert werden (Patches sind lokal euklidisch, hyperbolisch & elliptisch). Dies können keine normalen glatten Mannigfaltigkeiten sein, da sie per Definition lokal euklidisch sind.

Eine Sache, die mich dabei interessiert, ist, ob ein mathematisches Objekt in einem Kontext als in einem anderen Kontext befindlich angesehen werden kann , so dass Sie mangels eines besseren Namens eine Kontingenz zweiter Ordnung haben .

Diskussionen über die Kontingenz mathematischer Eigenschaften sollten unbedingt die Existenz von Nicht-Standard-Modellen berücksichtigen (siehe die zugehörige MathOverflow-Referenzanfrage ). Die Idee ist folgende: Zusätzlich zu dem „Standard“-Modell einer mathematischen Theorie, von dem wir annehmen könnten, dass es aus eigenständigen mathematischen Objekten besteht, gibt es andere Strukturen, die dieselbe Theorie in ihrer Gesamtheit modellieren (wodurch all ihre Axiome und Sätze wahr), aber relativ zu denen wir auch andere Objekte und Eigenschaften spezifizieren können, die über das hinausgehen, was durch die unter logischer Konsequenz geschlossenen Axiome streng behauptet werden kann.

Hier ist ein Beispiel in Arithmetik. "Es gibt eine solche Zahl, dass wir ausgehend davon eine unendlich absteigende Kette von Vorgängern definieren können." Beim Standardmodell ist das falsch, denn irgendwann endet die Kette bei Null, die keine Vorgänger hat. Aber nicht jedes Modell der Peano-Arithmetik behauptet, dass das Anfangssegment von Zahlen, das man erhält, indem man bei Null beginnt und unter einer Folge schließt, den gesamten Bereich abdeckt; Die Existenz alternativer Modelle, die immer noch alles bestätigen, was die Peano-Arithmetik direkt aussagt, wurde 1934 von Skolem in einem Artikel bewiesen.

Wenn die Axiome es nicht sagen, kann es dann auf die Objekte der mathematischen Theorie zutreffen? Das hängt davon ab, ob Sie ein Realist in Bezug auf mathematische Objekte sind oder nicht. Der Platoniker wird auf die eine oder andere Weise herunterkommen, der Konstruktivist wird entweder sein Urteil aufheben oder Unbestimmtheit behaupten, und der Formalist wird vielleicht gerne die Existenz vieler verschiedener Arten von "Zahlen" -Systemen postulieren, die sich in dem, was sie sagen, unterscheiden.

Von diesen Positionen kann, glaube ich, nur der Platoniker sagen, dass es zufällige mathematische Eigenschaften gibt. Für den Konstruktivisten steht es fest, sobald wir festgestellt haben, dass ein Axiomensystem richtig ist, und für den Formalisten scheint es keine Frage zu geben, dass die Objekte selbst andere Möglichkeiten haben, da Eigenschaften alle streng an Systeme gebunden sind zu sein. Es ist der Platoniker, für den die Möglichkeit, Modelle auf die eine oder andere Weise zu fixieren, sinnvoll ist und für den ein Begriff der Modalität in Bezug auf mögliche mathematische Strukturen verständlich sein könnte. Es ist eine ganz andere Art von Platoniker als die theologische Standardansicht mathematischer Objekte, aber es passt gut zu Quines Art des naturalistischen Platonismus der Verpflichtung durch den Einsatz in den empirischen Wissenschaften.

Ich bin mit Moziburs Antwort teilweise nicht einverstanden. Ich stimme zu, dass jedes mathematische Objekt einen stillschweigenden Kontext hat. Wenn wir jedoch von einem Kontext in einen anderen wechseln, sprechen wir streng genommen nicht über dasselbe Objekt, da die Bedeutung der beteiligten Begriffe durch implizite Definition innerhalb der mathematischen Theorie als Ganzes gegeben ist. In dem gegebenen Beispiel sind die Null, die kein Nachfolger einer Zahl ist, und die Null, die der Nachfolger von -1 ist, zwei verschiedene abstrakte Objekte, die den gleichen Namen "0" tragen.

Meine Antwort klingt jedoch etwas formalistisch, und ich habe keine Ahnung, wie ich sie mit einer eher platonistischen Sichtweise in Einklang bringen soll.