Möglichkeiten, 505050 Kugeln in 666 verschiedene Urnen mit einer ungeraden Zahl in jeder Urne zu legen?

Sagen Sie, es gibt 50 identische Bälle. Wir haben 6 verschiedene Container (beachten Sie, dass diese nicht benannt oder so sind, einfach nur verschieden). Auf wie viele Arten können wir diese Kugeln in die Urnen legen, sodass jede Urne eine ungerade Nummer hat? Okay. Also hast du 23 ungerade Zahlen aus 1 − 50 und sechs verschiedene Urnen. Dies führt Sie zu sagen ( 23 6 ) , obwohl das nicht funktionieren wird, da diese Zahlen, die Sie auswählen, eine Eigenschaft haben: Sie müssen sich addieren 50 . Wie würde ich vorgehen, um diese Eigenschaft zu meiner Gleichung hinzuzufügen? Wie würde ich eine Gleichung auf dieser Grundlage erstellen? Nach welcher Art von Formel / Theorie fragt diese Frage? Was übersehe ich in meiner Gleichung oder meinem Denkprozess?

Nehmen Sie aus jedem Behälter eine Kugel (also jetzt eine gerade nicht negative Zahl in jedem und 44 in Summe). Halbiere nun die Anzahl der Bälle in jedem Behälter (also eine nicht negative ganze Zahl in jedem und 22 in Summe). Finden Sie heraus, wie viele mögliche Anordnungen dieses einfacheren Problems bestehen.

Antworten (2)

Lassen X ich sei die Anzahl der Bälle in der ich te Urne. Wir können unser Problem umschreiben als

X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 + X 6 = 50.

Der X ich müssen aber ungerade sein, also jeder X ich = 2 j ich + 1 , ohne Bedingung für die j ich außer dass es sich um nichtnegative ganze Zahlen handelt (also einschließlich Null). Unsere obige Gleichung wird (nach Umschreiben)

j 1 + … + j 6 = 50 − 6 ⋅ 1 2 = 22.

Wir können die Anzahl der Möglichkeiten zählen, eine Summe von 6 Zahlen zu schreiben, die gleich 22 sind, indem wir die Sterne-und-Balken-Methode verwenden . Wir 'trennen' die Zahlen mit 6 − 1 = 5 Balken und müssen 22 Sterne hinzufügen (die die Anzahl der Einheiten in jeder Zahl darstellen). Insgesamt sind nun 5 + 22 = 27 Stellen zu besetzen. Ein Beispiel: 22 = 4 + 1 + 8 + 0 + 9 + 0 dargestellt würde als

∗ ∗ ∗ ∗ | ∗ | ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ | | ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ | |

Unser Zählproblem hat sich zu einem Zählproblem entwickelt, bei dem wir zählen, auf wie viele Arten wir 22 Sterne in 27 Positionen platzieren können. Eine Wiederholung ist nicht möglich (jede Position darf nur einmal besetzt werden) und die Reihenfolge spielt keine Rolle (einen Stern an der ersten und dann einen an der zweiten Position setzen oder umgekehrt führt dazu, dass die erste und zweite Position ausgefüllt werden).

Die Anzahl der Möglichkeiten, dies zu tun, ist gleich ( 22 + 6 − 1 22 ) = ( 27 22 ) = 80730 .

Der j ich s müssen nichtnegative ganze Zahlen sein.
@NFTaussig Belgier hier drüben, meinst du wohl j ich könnte auch null sein, aber das meinte ich auch. In Belgien sprechen wir von „strikt positiv“ oder „strikt negativ“, wenn wir die Null nicht einbeziehen. Ich passe mich trotzdem an :)
Danke! Ich bin immer noch ein bisschen verwirrt darüber, wie Sie auf xi=2yi+1 gekommen sind, obwohl ich es irgendwie verstehe. Zwei beliebige ungerade Zahlen sind gleich einer geraden Zahl, ebenso wie zwei beliebige gerade Zahlen. Sie müssen also einen hinzufügen. Aber was bedeutet das 2yi? Wie funktioniert die Reduzierung meines Sets auf 22 Sterne?
@JJD die X ich sollten ungerade Zahlen sein. Ungerade Zahlen sind 'gerade Zahlen +1' und ich habe dies übersetzt in 2 ∗ j ich + 1 , Wo j ich ist eine Zahl.

Diese Arten von Problemen liegen im Bereich der Generierungsfunktionen. Erzeugende Funktionen sind ein sehr nützliches Werkzeug, um kombinatorische Probleme mit Potenzreihen zu lösen. Ich füge hier einen Link des sehr berühmten Generierungsfunktionsbuches ein. Link des Buches . Darüber hinaus finden Sie eine grundlegende Erklärung und Anwendung davon in Kenneth Rosens Discrete Mathematics and Applications book Grundlegendes Buch zum Generieren von Funktionen

Wie auch immer, ich gehe davon aus, dass Sie die Technik gelernt haben, also werde ich anfangen zu lösen. Es wird gesagt, dass die Boxen unterschiedlich sind und eine ungerade Anzahl von Bällen enthalten, wobei die Bälle identisch sind. Dann können wir schlussfolgern, dass jede Kiste eine solche Anzahl von Bällen enthalten kann: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . . , 43 , 45

Wie Sie sehen, halten wir bei an 45 Denn wenn jede Box eine ungerade Zahl enthält, kann eine Box mindestens eine haben 1 Bälle. Wenn wir jedoch die Form der Erzeugungsfunktion schreiben, brauchen wir unsere Erzeugungsfunktion nicht auf einzuschränken 45 in dieser Frage. (Wenn Sie möchten, können Sie einschränken, aber das macht den Prozess umständlich)

Die erzeugende Funktionsform einer beliebigen Box wird also sein

X 1 + X 3 + X 5 + X 7 + . . . . = X 1 − X 2

Denken Sie an Ihren Kalkülkurs, um die Bedeutung von zu verstehen X 1 − X 2 , weil 1 1 − X 2 = 1 + X 2 + X 4 + X 6 + . . . . . , Dann X 1 − X 2 = X ( 1 + X 2 + X 4 + X 6 + . . . ) = X + X 3 + X 5 + X 7 + . . .

Erkenne außerdem die Exponentialfunktion von Potenzreihen. Die Exponentiale stellen die gewünschte Anzahl von Bällen dar, die eine Kiste enthalten kann.

Nun, weil alle Boxen die gleiche Einschränkung haben und es gibt 6 Boxen sollten wir die Erweiterung der erzeugenden Funktion finden. Danach sollten wir den Koeffizienten von finden X 50 in dieser Erweiterung so, dass

[ X 50 ] ( X 1 − X 2 ) 6

Sie können das Ergebnis von Hand mit einigen Techniken in bestimmten Büchern finden, aber es ist ein umständlicher Prozess (aber nicht schwer). Daher würde ich Ihnen empfehlen, eine beliebige Software zu verwenden. Ich habe Wolfram-Alpha so verwendet, dass die Berechnung der Ausdehnung

Wie Sie im angegebenen Link sehen, ist das Ergebnis 80730

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