Fremde Lösung beim Lösen von x2+x+1=0x2+x+1=0x^2+x+1=0 durch Erhalten von x2=1/xx2=1/xx^2=1/x

Question

Fremde Lösung beim Lösen von x2+x+1=0x2+x+1=0x^2+x+1=0 durch Erhalten von x2=1/xx2=1/xx^2=1/x

Mathematik
Probleme lösen
Algebra-Vorkalkül

Ransplito

Nehmen wir an, wir haben

\begin{matrix} (1) & X^{2} + X + 1 = 0. \end{matrix}

$x^2+x+1=0.\tag1$ Ersetzen

x = 0

$x=0$ , wir bekommen

1 = 0

$1=0$ , So

0

$0$ ist keine Wurzel für die quadratische Gleichung und daher

x \neq 0

$x\neq0$ . Daher existiert

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ , die wir mit beiden Seiten multiplizieren

(1)

$(1)$ , geben uns

X + 1 + \frac{1}{X} = 0.

$x+1+\frac{1}{x}=0.$ Dann ziehen wir um

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ auf die andere Seite und holen

X + 1 = - \frac{1}{X} .

$x+1=-\frac{1}{x}.$ Wenn wir hinzufügen

x^{2}

$x^2$ zu beiden Seiten und beachten Sie das

x^{2} + x + 1 = 0

$x^2+x+1=0$ , wir werden haben

x^{2} - \frac{1}{x} = 0

$x^2-\frac{1}{x}=0$ . Die eigentliche Wurzel dieser Gleichung ist

x = 1

$x=1$ , was keine Wurzel von ist

(1)

$(1)$ .

Ich habe mich gefragt, bei welchem Schritt ich etwas falsch gemacht habe, was zu dieser angeblichen Wurzel geführt hat.

Benutzer2661923

Um die bereits gegebenen Antworten zusammenzufassen, sei Gl. 2 bezeichnen

x^{2} - \frac{1}{x} = 0.

$x^2 - \frac{1}{x} = 0.$ Dann Gl. 1 ist eine Gleichung 2. Grades und Gl. 2 ist eine getarnte Form einer Gleichung 3. Grades. Jede Wurzel von Gl. 1 ist eine Wurzel von Gl. 2, aber nicht umgekehrt. In der Tat ist es so, als ob Sie die Gleichung genommen hätten

(x - r_{1}) (x - r_{2}) = 0

$(x - r_1)(x - r_2) = 0$ und in die Gleichung umgeformt

(x - r_{1}) (x - r_{2}) (x - r_{3}) = 0

$(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = 0$ .

Torsten Schöneberg

Ich finde es jedoch lustig, dass keine der Antworten oder der Kommentar die eigentliche Frage anspricht. OP scheint sich sehr bewusst zu sein, dass Gleichung 2 durch Gleichung 1 impliziert wird, aber nicht impliziert, aber sie fragen sich, welcher genaue Schritt, den sie gemacht haben, nicht umkehrbar ist. Niemand hat das eindeutig identifiziert (obwohl Emilios Hinweis in die richtige Richtung geht).

Torsten Schöneberg

... nun, während ich das tippte, hat Arturo Magidin es ausbuchstabiert: Es ist der Schritt, der eine Gleichung in zwei Gleichungen umwandelt und dann die erste dieser beiden fallen lässt, was uns mit der allgemeineren zweiten ("first" und " zweite" in der Reihenfolge, in der Arturo sie untereinander schreibt). Sie können dieses "Fallenlassen der ersten Gleichung" nicht rückgängig machen.

Arturo Magidin

Übrigens: Der einfachste Weg, den Schritt zu bestimmen, in dem die fremde Lösung eingeführt wird, besteht darin, einfach Schritt für Schritt zu gehen und zu sehen, wo Sie das plötzlich bekommen

1

$1$ ist eine Lösung. Wenn Sie das tun, wird sofort klar, dass dies der Schritt ist, in den Sie gehen

x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x} = x^{2}

$x^2+x+1+\frac{1}{x}=x^2$ (in welchem

1

$1$ ist keine Lösung) für den Schritt

\frac{1}{x} = x^{2}

$\frac{1}{x}=x^2$ (Wo

1

$1$ ist eine Lösung). Sobald Sie den Schritt genau bestimmt haben, in dem dies auftritt, müssen Sie herausfinden, warum dies auftritt.

Torsten Schöneberg

Übrigens, der Schritt, wo Sie mit multiplizieren

1 / x

$1/x$ braucht mehr Begründung als nur zu sagen

1 / x

$1/x$ existiert (und ist

\neq 0

$\neq 0$ ). Wenn Sie genau sind, müssen Sie auch dort zwei Gleichungen genau wie in Arturos Antwort schreiben. In diesem speziellen Fall sind diese beiden Gleichungen äquivalent und Sie können eine von beiden fallen lassen, ohne die Lösungen zu ändern. Zum Vergleich kann man das auch sagen

x = 7

$x=7$ ist keine Lösung für Gl.1, also

x - 7 \neq 0

$x-7 \neq 0$ existiert, sondern wenn man beide Seiten durch mit multipliziert

(x - 7)

$(x-7)$ , führen Sie eine andere Lösung ein.

Sil

Vielleicht möchten Sie überprüfen, wo der Fehler in diesem "Beweis" ist, dass 3 = 0 ist? und die verlinkten Beiträge.

Ryan

Um ganz klar zu sein, der Fehler tritt nur in der letzten Zeile "The real root of the eqn is..." auf, unmittelbar nachdem das System aus zwei Gleichungen erstellt wurde; Ihr Fehler bestand einfach darin, die erste der beiden Gleichungen, die Sie gerade erstellt hatten, zu ignorieren!

Ryan

@TorstenSchoeneberg Es behält immer die Äquivalenz bei, beide Seiten einer Gleichung durch eine Variable ungleich Null zu dividieren; OTOH, das Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Variablen ist immer gültig

(\Rightarrow)

$({\Rightarrow})$ bewahrt aber nicht die Äquivalenz

(⇍)

$({\not\Leftarrow})$ (also beide Seiten multiplizieren mit

(x - 7)

$(x-7)$ erzeugt eine fremde Wurzel

x = 7

$x=7$ es sei denn, es ist bereits eine Wurzel der ursprünglichen eqn).

Antworten (3)

Fremde Lösung beim Lösen von x2+x+1=0x2+x+1=0x^2+x+1=0 durch Erhalten von x2=1/xx2=1/xx^2=1/x

Um die bereits gegebenen Antworten zusammenzufassen, sei Gl. 2 bezeichnen $x^2 - \frac{1}{x} = 0.$ Dann Gl. 1 ist eine Gleichung 2. Grades und Gl. 2 ist eine getarnte Form einer Gleichung 3. Grades. Jede Wurzel von Gl. 1 ist eine Wurzel von Gl. 2, aber nicht umgekehrt. In der Tat ist es so, als ob Sie die Gleichung genommen hätten $(x - r_1)(x - r_2) = 0$ und in die Gleichung umgeformt $(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3) = 0$ .
Ich finde es jedoch lustig, dass keine der Antworten oder der Kommentar die eigentliche Frage anspricht. OP scheint sich sehr bewusst zu sein, dass Gleichung 2 durch Gleichung 1 impliziert wird, aber nicht impliziert, aber sie fragen sich, welcher genaue Schritt, den sie gemacht haben, nicht umkehrbar ist. Niemand hat das eindeutig identifiziert (obwohl Emilios Hinweis in die richtige Richtung geht).
... nun, während ich das tippte, hat Arturo Magidin es ausbuchstabiert: Es ist der Schritt, der eine Gleichung in zwei Gleichungen umwandelt und dann die erste dieser beiden fallen lässt, was uns mit der allgemeineren zweiten ("first" und " zweite" in der Reihenfolge, in der Arturo sie untereinander schreibt). Sie können dieses "Fallenlassen der ersten Gleichung" nicht rückgängig machen.
Übrigens: Der einfachste Weg, den Schritt zu bestimmen, in dem die fremde Lösung eingeführt wird, besteht darin, einfach Schritt für Schritt zu gehen und zu sehen, wo Sie das plötzlich bekommen $1$ ist eine Lösung. Wenn Sie das tun, wird sofort klar, dass dies der Schritt ist, in den Sie gehen $x^2+x+1+\frac{1}{x}=x^2$ (in welchem $1$ ist keine Lösung) für den Schritt $\frac{1}{x}=x^2$ (Wo $1$ ist eine Lösung). Sobald Sie den Schritt genau bestimmt haben, in dem dies auftritt, müssen Sie herausfinden, warum dies auftritt.
Übrigens, der Schritt, wo Sie mit multiplizieren $1/x$ braucht mehr Begründung als nur zu sagen $1/x$ existiert (und ist $\neq 0$ ). Wenn Sie genau sind, müssen Sie auch dort zwei Gleichungen genau wie in Arturos Antwort schreiben. In diesem speziellen Fall sind diese beiden Gleichungen äquivalent und Sie können eine von beiden fallen lassen, ohne die Lösungen zu ändern. Zum Vergleich kann man das auch sagen $x=7$ ist keine Lösung für Gl.1, also $x-7 \neq 0$ existiert, sondern wenn man beide Seiten durch mit multipliziert $(x-7)$ , führen Sie eine andere Lösung ein.
Vielleicht möchten Sie überprüfen, wo der Fehler in diesem "Beweis" ist, dass 3 = 0 ist? und die verlinkten Beiträge.
Um ganz klar zu sein, der Fehler tritt nur in der letzten Zeile "The real root of the eqn is..." auf, unmittelbar nachdem das System aus zwei Gleichungen erstellt wurde; Ihr Fehler bestand einfach darin, die erste der beiden Gleichungen, die Sie gerade erstellt hatten, zu ignorieren!
@TorstenSchoeneberg Es behält immer die Äquivalenz bei, beide Seiten einer Gleichung durch eine Variable ungleich Null zu dividieren; OTOH, das Multiplizieren beider Seiten mit einer beliebigen Variablen ist immer gültig $({\Rightarrow})$ bewahrt aber nicht die Äquivalenz $({\not\Leftarrow})$ (also beide Seiten multiplizieren mit $(x-7)$ erzeugt eine fremde Wurzel $x=7$ es sei denn, es ist bereits eine Wurzel der ursprünglichen eqn).

Arturo Magidin · Answer 1

Ab zu gehen $x^2+x+1+\frac{1}{x}=x^2$ Zu $\frac{1}{x}=x^2$ du vermutest auch $x^2+x+1=0$ . Sie ändern also die einzelne Gleichung $x^2+x+1+\frac{1}{x}=x^2$ zum Gleichungssystem

\begin{aligned} X^{2} + X + 1 & = 0 \\ X^{2} & = \frac{1}{X} . \end{aligned}

$\begin{align*} x^2+x+1&=0\\ x^2&=\frac{1}{x}. \end{align*}$

Dies entspricht dem System

\begin{aligned} X^{2} + X + 1 & = 0 \\ X^{3} & = 1. \end{aligned}

$\begin{align*} x^2+x+1&=0\\ x^3&=1. \end{align*}$

Dies wiederum entspricht dem System

\begin{aligned} X^{2} + X + 1 & = 0 \\ (X - 1) (X^{2} + X + 1) & = 0. \end{aligned}

$\begin{align*} x^2+x+1&= 0\\ (x-1)(x^2+x+1)&=0. \end{align*}$ Aber dieses System ist gleichwertig

x^{2} + x + 1 = 0

$x^2+x+1=0$ ... das heißt, Ihre ursprüngliche Gleichung.

Der Fehler (oder vielmehr der nicht umkehrbare Schritt) liegt im "Vergessen" der Bedingung $x^2+x+1=0$ die Sie annehmen, zu erreichen $x^2=\frac{1}{x}$ ; Wenn Sie es explizit fallen lassen, erhalten Sie die Gleichung $x^3-1=0$ , oder $(x-1)(x^2+x+1)=0$ ; das hat die Lösungen $x^2+x+1=0$ (die ursprüngliche Gleichung) plus die Lösung $x-1=0$ (Die Fremdlösung, die eingeführt wurde, als Sie vergessen haben, die globale Bedingung beizubehalten, dass $x^2+x+1=0$ ).

Danke @Arturo. Sie sind der einzige, der hier das wesentliche logische Problem begriffen hat.
@CheerfulParsnip: Genau. Leute, die die logische Argumentation (die eigentlich ziemlich einfach ist) nicht vollständig verstehen, sollten keine "Antworten" posten. Genauer gesagt bedeutet das Finden echter Lösungen für diese Gleichung das Finden einer Eigenschaft $Q$ so dass $∀x{∈}ℝ\ ( \ x^2+x+1 = 0 ⇔ Q(x) \ )$ . Jeder, der das tatsächlich begreift und richtig logisch ableiten kann, sieht leicht, dass der Versuch in der Frage nur nachgeben kann $∀x{∈}ℝ\ ( \ x^2+x+1 = 0 ⇒ x^2 = 1/x \ )$ , und keine Äquivalenz.

Emilio Novati · Answer 2

Hinweis:

$x^2+x+1=0$ gilt nur für einen gewissen Wert von $x$ nicht $\forall x$ .

Botnakow N. · Answer 3

Der erste Schritt, wenn wir eine fremde Wurzel bekommen haben, ist die Gleichung $x^2 - \frac{1}{x} = 0$ . Es ist eine logische Folge von Gleichung (1). Aber es ist nur die logische Folge: es ist nicht gleichbedeutend damit.

Ich denke, OP weiß das. Das ist ihre ganze Frage: Zu welchem der Schritte kommt man von Gleichung 1 $x^2-\frac{1}{x}$ ist nicht reversibel?
@TorstenSchoeneberg, der Schritt beim Schreiben $x^2 - \frac{1}{x} = 0$ : Es ist eine logische Folge und es ist das erste Mal, dass wir eine fremde Wurzel haben. Ich habe eine Ergänzung gemacht, um dies zu betonen.

Fremde Lösung beim Lösen von x2+x+1=0x2+x+1=0x^2+x+1=0 durch Erhalten von x2=1/xx2=1/xx^2=1/x

Ransplito

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