Quadrieren von (x−2)2+(y−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√=|5x+6y+5|52+62√(x−2)2+( y−3)2=|5x+6y+5|52+62\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\frac{|5x+6y+5| }{\sqrt{5^{2}+6^{2}}} keine Informationen verliert?

Szenario 1:

(1) j = 3 X + 5

(2) j 2 = ( 3 X + 5 ) 2

Wenn beide Seiten quadratisch sind ( 1 ) , verlieren wir einige Informationen und bekommen ( 2 ) : die Graphen von ( 1 ) Und ( 2 ) sind nicht gleich.

Szenario 2:

(3) ( X − 2 ) 2 + ( j − 3 ) 2 = | 5 X + 6 j + 5 | 5 2 + 6 2

(4) ( X − 2 ) 2 + ( j − 3 ) 2 = ( 5 X + 6 j + 5 ) 2 5 2 + 6 2

Die Grafiken von ( 3 ) Und ( 4 ) sind genau gleich! Wenn beide Seiten quadratisch sind ( 3 ) , wir bekommen ( 4 ) , und dabei geht keine Information verloren: die beiden Graphen sind identisch!

Frage

  1. Warum bleiben Informationen in Szenario 2 erhalten, dh die Diagramme von ( 3 ) & ( 4 ) sind identisch, wenn Informationen in Szenario 1 verloren gehen, dh die Graphen von ( 1 ) & ( 2 ) sind nicht identisch?

Antworten (3)

Die gleichung " A 2 = B 2 " ist äquivalent zu " A = B oder A = − B ".

In Ihrem ersten Beispiel beides j = 3 X + 5 Und j = − ( 3 X + 5 ) sind durchaus möglich, und j 2 = ( 3 X + 5 ) 2 kombiniert diese.

In Ihrem zweiten Beispiel beides ( X − 2 ) 2 + ( j − 3 ) 2 Und | 5 X + 6 j + 5 | 5 2 + 6 2 sind garantiert positiv, also kann das eine nicht das Negativ des anderen sein; nur der A = B Fall ist für den Anfang eine Möglichkeit.

Mit anderen Worten: Indem wir beide Seiten quadrieren, addieren wir alle Punkte, die zufriedenstellend sind

( X − 2 ) 2 + ( j − 3 ) 2 = − | 5 X + 6 j + 5 | 5 2 + 6 2
aber es gibt keine solchen Punkte.

Beachten Sie, dass die letzte Gleichung eine Lösung in komplexen Zahlen hat, sodass dieselben Probleme wiederhergestellt werden, wenn wir zur „richtigen“ Einstellung gehen, um diese Probleme zu beurteilen.

Per Definition sind alle Terme in (3) und (4) bereits positiv: die Argument ist die Summe der Quadrate und der Absolutwertterm ist per Definition immer nichtnegativ.

Es gibt also keine negativen Werte für das Quadrieren, um positiv zu werden und daher eine fremde Wurzel zu erzeugen.

| A | = | B | ⟺ A 2 = B 2 ⧸ ⟹ A = B ⟹ A 2 = B 2 .

Quadrieren von (x−2)2+(y−3)2−−−−−−−−−−−−−−−√=|5x+6y+5|52+62√(x−2)2+( y−3)2=|5x+6y+5|52+62\sqrt{(x-2)^{2}+(y-3)^{2}}=\frac{|5x+6y+5| }{\sqrt{5^{2}+6^{2}}} keine Informationen verliert?
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