Angenommen, ein Kegel rollt rein (ohne Rutschen) um eine feste Achse. Aufwändig dreht es sich um eine feste Achse, die senkrecht zum Boden steht und durch seinen Scheitelpunkt geht und sich auch dreht, und der Scheitelpunkt ist stationär.
Jetzt ist die momentane Rotationsachse (IAR) des Kegels die „Linie“, die den Boden berührt, richtig? Wie finden Sie damit die Geschwindigkeit eines anderen Punktes? Ich meine, im rollenden Rad multiplizieren Sie die Winkelgeschwindigkeit mit der Entfernung vom IAR, um die Geschwindigkeit zu erhalten. Ist es hier genauso?
Wenn dies der Fall ist, betrachten Sie die Mitte der Basis des Kegels. Wenn die Höhe des Kegels ist dann ist sein Abstand zum IAR eindeutig Wo ist der halbe Spitzenwinkel des Kegels. So sollte seine Geschwindigkeit sein , Wo ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Kegel dreht. Ist das richtig?
Jetzt können wir auch die Bewegung des Kegels analysieren, indem wir sie in zwei Teilen betrachten: Rotation + Umdrehung, richtig? Betrachtet man also wieder das Zentrum der Basis des Kegels, hat es aufgrund der Rotation keine Geschwindigkeit (da sich der Kegel um eine Achse durch das Zentrum dreht), richtig? Und dadurch, dass es sich im Kreis dreht (mit Radius ) um die durch seinen Scheitelpunkt verlaufende Achse hat er Geschwindigkeit , Wo ist die Winkelgeschwindigkeit, mit der sich der Kegel dreht.
Jetzt müssen diese beiden gleich sein, also bekommen wir .
Aber Wikipedia gibt hier an , dass das Verhältnis ist .
Und gleichzeitig besagt dieses Video (das ich im Abschnitt mit externen Links auf der Wikipedia-Seite gefunden habe). das ist dasselbe wie das, was ich bekommen habe.
Ich bin wirklich verwirrt. Ist alles richtig, was ich gemacht habe? Wenn nicht, korrigiere mich bitte. Danke schön.
Wie finde ich die Geschwindigkeit eines beliebigen Punktes auf dem Kegel? Es sollte zwei Ansätze geben, einen mit IAR und einen anderen, indem Bewegung als Rotation + Revolution betrachtet wird, aber ich bin nicht in der Lage, dies zu tun.
Lassen Sie den Kegel auf dem liegen Ebene (z = 0) und lassen Sie die Achse diese Ebene an der Spitze des Kegels durchbohren. Wenn der halbe Winkel des Kegels ist , dann ist seine Symmetrieachse als Funktion der Zeit durch den Vektor definiert
Wo Und ist die Zeit, die der Kegel benötigt, um genau einen Kreis auf dem zu machen Ebene. Die Symmetrieachse des Kegels dreht sich also mit Winkelgeschwindigkeit . Ich definiere meine Richtungen und Symbole unten:
Wenn der Kegel nicht rutscht, bedeutet dies, dass die Drehung um die Achse hat eine Winkelgeschwindigkeit . Skizzieren Sie den Kegel in der Nähe der Spitze, um dies zu sehen: in der Ferne entlang der Kante (definiert durch den Vektor ) im Ebene, wo der Kegel auf die Ebene trifft, bewegt sich die Spitze dieser Kante mit Geschwindigkeit . Der kreisförmige Kegelquerschnitt (orthogonal zur Rotationssymmetrieachse des Kegels) durch diesen Punkt ist wie ein Radiusrad schräg nach innen gewölbt . Dieses "Rad" muss sich mit Winkelgeschwindigkeit drehen so dass die Geschwindigkeit seines Randes ist um die Geschwindigkeit auszugleichen der Kante an dieser Stelle und halten Sie die Radspitze, die den Boden berührt, stationär.
Wir addieren diese beiden Winkelgeschwindigkeiten und erhalten:
die, wie Sie richtig erraten haben, immer entlang der Linie verläuft, an der der Kegel auf die Ebene trifft.
Die momentane Geschwindigkeit eines Punktes auf der Symmetrieachse des Kegels in einer Entfernung von der Basis ist ( mal wie du sagst, der orthogonale abstand des Punktes von der momentanen Rotationsachse.
Beachten Sie, dass wir die gleiche Antwort erhalten, wenn wir diese Geschwindigkeit einfach für eine Winkelgeschwindigkeit ausrechnen , was gilt, weil die Kegelachse wegen der Drehung in der Richtung keine Geschwindigkeit hat . Der Punkt auf der Symmetrieachse des Kegels ist ein Abstand von dem Achse. Damit ist die Geschwindigkeit nach wie vor .
David Hammen
Ein Googler
Karl Witthöft
Ein Googler
Selene Rouley