Motivierende Komplexifizierung von Lie-Algebren?

Kurze Antwort: Komplexifizierungen erleichtern die Darstellungstheorie.

In der Physik wollen wir typischerweise Darstellungen einer Lie-Algebra finden$\mathfrak g$, und oft die Repräsentationen seiner Komplexität bestimmen$\mathfrak g_\mathbb C$ist einfacher. Darüber hinaus haben wir den folgenden Satz (siehe Lit. 1. Proposition 4.6), der uns sagt, dass die Bestimmung der Darstellungen der Komplexifizierung es uns ermöglicht, die Darstellungen der ursprünglichen Algebra zu bestimmen.

Satz. Lassen$\mathfrak g$eine echte Lie-Algebra sein, und lassen$g_\mathbb C$sei seine Komplexifizierung. Jede endlichdimensionale komplexe Darstellung$\pi$von$\mathfrak g$hat eine einzigartige Erweiterung zu einer komplex-linearen Darstellung$\pi_\mathbb C$von$\mathfrak g_\mathbb C$

$$\begin{align} \pi_\mathbb C(X+iY) = \pi(X) + i\pi(Y) \end{align}$$ für alle $X,Y\in\mathfrak g$. Außerdem, $\pi_\mathbb C$ist als Darstellung von irreduzibel $\mathfrak g_\mathbb C$dann und nur dann, wenn $\pi$es ist irreduzibel als Darstellung von $\mathfrak g$.

Beispiel. Drehimpuls in QM

Im Fall des Drehimpulses in der Quantenmechanik versuchen Physikbücher mathematisch, Darstellungen davon zu finden$\mathfrak {su}(2)$Einwirken auf den Hilbert-Raum eines gegebenen physikalischen Systems. Die Komplexbildung von$\mathfrak{su}(2)$ist$\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$, und$\mathfrak{sl}(2,\mathbb C)$hat eine schöne Basis$J_\pm, J_z$die kein Gegenstück in hat$\mathfrak{su}(2)$und was die Ermittlung von Repräsentationen wesentlich erleichtert. Die Strukturbeziehungen in der$J_\pm, J_z$Basis erlauben die Verwendung von "Heben"- und "Senken"-Operatoren.

Beispiel. Lorentz-Algebra

In der relativistischen Quantenfeldtheorie suchen wir nach Darstellungen von$\mathfrak{so}(1,3)$. Es stellt sich glücklicherweise heraus, dass, wenn wir diese Algebra komplexisieren, sie sich in eine direkte Summe von komplexifizierten Drehimpulsalgebren aufspaltet:

$$\begin{align} \mathfrak{so}(1,3)_\mathbb C \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb C)\oplus \mathfrak{sl}(2,\mathbb C), \end{align}$$ und da wir die Darstellungstheorie der komplexifizierten Drehimpulsalgebra bereits so gut kennen, macht dies das Studium der Darstellungen der Lorentzalgebra einfach.

Verweise:

1. Hall, Lie-Gruppen, Lie-Algebren und Repräsentationen

Aus mathematischer Sicht benötigen wir das Feld , um die Repräsentationstheorie der Lie-Algebra am effizientesten zu entwickeln $\mathbb{F}$der Lie-Algebra algebraisch abgeschlossen sein . Siehe z. B. Ref.-Nr. 1, wo diese Annahme bereits am Anfang von Kapitel II verwendet wird.

Die Situation für Lie-Algebren ist ähnlich wie wenn wir in der linearen Algebra versuchen, beispielsweise eine reelle Normalmatrix zu diagonalisieren . Eine solche Matrix ist in einem orthonormalen Satz von Eigenvektoren immer diagonalisierbar, aber die Eigenvektoren und Eigenwerte könnten komplex sein. Selbst für physikalische Systeme, die offensichtlich realer Natur sind, sind solche komplexen Eigenvektoren und komplexen Eigenwerte oft nützliche Konzepte.

Genauer gesagt für eine$n$-dimensionale Lie-Algebra$\frak{g}$, möchten wir, dass etwas Ähnliches wie eine Chevaller-Basis existiert. Dies bedeutet (unter anderem), dass es möglich sein sollte, eine Cartan-Subalgebra (CSA) auszuwählen.$\frak{h}$mit Generatoren$H_i$,$i=1,\ldots, r$; wo$r$ist der Rang von$\frak{g}$; und mit Basiselementen ergänzt$E_a$,$a=1, \ldots n-r$,

$${\frak g}~=~{\rm span}_{\mathbb{F}} \left( \{ H_i | i=1,\ldots, r\} \cup \{ E_a | a=1,\ldots, n- r\}\right) ,$$ mit der Eigenschaft, dass die Lie-Klammer $[E_a,H_i]$ist proportional zu $E_a$. Das $E_a$spielen die Rolle von Erhöhungs- und Senkungsoperatoren oder gleichwertig von Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren.

Alle endlichdimensionalen halbeinfachen komplexen Lie-Algebren haben eine Chevaller-Basis.

Beispiel: Die Lie-Algebra $sl(2,\mathbb{C})$: Denk an$H_i$wie$J_3$, und$E_a$wie$J_{\pm}$.

Aus physikalischer Sicht wiegt die Tatsache, dass zB

1. Die Quantentheorie verwendet komplexe Hilbert-Räume, vgl. dieser Phys.SE-Beitrag und darin enthaltene Links;

2. die komplexe Lie-Gruppe$SL(2,\mathbb{C})$ist zufällig die (doppelte Abdeckung der) eingeschränkten Lorentz-Gruppe$SO^{+}(3,1)$, vgl. zB dieser Phys.SE Beitrag;

3. man kann spekulieren, dass es einfacher ist, physikalisch vernünftige Theorien zu konstruieren, die auf der Kategorie der ( komplexen ) analytischen Funktionen beruhen, als beispielsweise auf der Kategorie der wirklichen glatten Funktionen.

Verweise:

1. JE Humphreys, Intro to Lie Algebras and Representation Theory, Graduate texts in Math 9, Springer Verlag.