Was ist der grundlegende Grund für die imaginäre Einheit in Heisenbergs Kommutatorbeziehungen?

Question

Was ist der grundlegende Grund für die imaginäre Einheit in Heisenbergs Kommutatorbeziehungen?

Physik
Kommutator
komplexe Zahlen
Quantenmechanik

Jo Wehler

Die bekannte Heisenbergsche Kommutatorbeziehung

[P, Q] = \frac{ℏ}{ich} \cdot ICH

$[p,q]=\cfrac{\hbar}{i} \cdot \mathbb{I}$ führt die imaginäre Einheit ein

i

$i$ in die Quantenmechanik. Ich frage nach dem tieferen Grund:

Warum führt die Korrespondenz mit reellen Koordinaten q und p komplexe Zahlen für den Kommutator ein? Liegt der Grund in der Physik oder in der Mathematik?

Nebenbei: Ich bin vertraut mit komplexen Zahlen und damit, dass einige Resultate aus dem reellen Bereich erst durch Verallgemeinerung auf den komplexen Bereich eine zufriedenstellende Erklärung finden.

Kosmas Zachos

Nehmen Sie das hermiteisch Konjugierte der Relation.

ACuriousMind

Mögliche Duplikate: Physics.stackexchange.com/q/11396/50583 , Physics.StackExchange.com /q/46015/50583 , Physics.StackExchange.com /q/12983/50583 und ihre verknüpften Fragen (die viele sind)

Sidharth Ghoschal

Ehrlich gesagt bin ich hier nicht mehr in der Tiefe, aber in der Antwort von @JG wurde das erwähnt

i

$i$ hier bezieht sich auf die

i

$i$ In

e^{i \frac{p q}{h}}

$e^{i \frac{pq}{h}}$ und es ist der Fall, dass Sie jedes Mal, wenn Sie eine periodische Bewegung beschreiben möchten, wahrscheinlich komplexe Exponentiale aufrufen möchten. Ein wirklich langatmiger und halbgarer Gedanke wäre also: Es gibt einen

i

$i$ in der Kommutatorbeziehung, weil ein anderer Teil der Theorie Wellen/periodische Bewegung beinhaltet.

JG

@SidarthGhoshal Guter Fang. Einheitliche Transformationen haben eine offensichtliche Verbindung zu solchen periodischen Wellen. Tatsächlich können solche Faktoren als de Broglie-Beziehung interpretiert werden.

Jo Wehler

@SidarthGhoshal Wie du habe ich den Eindruck, dass ein tiefer Grund für die imaginäre Einheit ‚i‘ die Allgegenwart von Wellen ist. Das mathematische Werkzeug für Wellen ist die komplexe Exponential-Exp(it)- und Fourier-Analyse. Tatsächlich zeigen die wegweisenden Arbeiten von Heisenberg aus dem Jahr 1925 deutlich die Suche nach einer Erklärung des Spektralgesetzes als eines seiner Ziele.

Antworten (3)

Was ist der grundlegende Grund für die imaginäre Einheit in Heisenbergs Kommutatorbeziehungen?

Mögliche Duplikate: Physics.stackexchange.com/q/11396/50583 , Physics.StackExchange.com /q/46015/50583 , Physics.StackExchange.com /q/12983/50583 und ihre verknüpften Fragen (die viele sind)
Ehrlich gesagt bin ich hier nicht mehr in der Tiefe, aber in der Antwort von @JG wurde das erwähnt $i$ hier bezieht sich auf die $i$ In $e^{i \frac{pq}{h}}$ und es ist der Fall, dass Sie jedes Mal, wenn Sie eine periodische Bewegung beschreiben möchten, wahrscheinlich komplexe Exponentiale aufrufen möchten. Ein wirklich langatmiger und halbgarer Gedanke wäre also: Es gibt einen $i$ in der Kommutatorbeziehung, weil ein anderer Teil der Theorie Wellen/periodische Bewegung beinhaltet.
@SidarthGhoshal Guter Fang. Einheitliche Transformationen haben eine offensichtliche Verbindung zu solchen periodischen Wellen. Tatsächlich können solche Faktoren als de Broglie-Beziehung interpretiert werden.
@SidarthGhoshal Wie du habe ich den Eindruck, dass ein tiefer Grund für die imaginäre Einheit ‚i‘ die Allgegenwart von Wellen ist. Das mathematische Werkzeug für Wellen ist die komplexe Exponential-Exp(it)- und Fourier-Analyse. Tatsächlich zeigen die wegweisenden Arbeiten von Heisenberg aus dem Jahr 1925 deutlich die Suche nach einer Erklärung des Spektralgesetzes als eines seiner Ziele.

Thomas Fritsch · Answer 1

Weil Betreiber $p$ Und $q$ physikalische Observable darstellen (d. h. sie haben reelle Eigenwerte), müssen sie hermitesch sein (d. h $p^\dagger=p$ Und $q^\dagger=q$ ).

Daraus ist leicht zu zeigen, dass ihr Kommutator $[p,q]$ ist antihermiteanisch.

[P, Q]^{†} = (P Q - Q P)^{†} = (P Q)^{†} - (Q P)^{†} = Q^{†} P^{†} - P^{†} Q^{†} = Q P - P Q = - [P, Q]

$[p,q]^\dagger = (pq-qp)^\dagger = (pq)^\dagger-(qp)^\dagger = q^\dagger p^\dagger-p^\dagger q^\dagger = qp-pq = -[p,q]$

Sie können einen Hermitean-Operator von diesem Anti-Hermitean erhalten $[p,q]$ nur durch Multiplikation mit $i$ .

(ich [P, Q])^{†} = ich [P, Q]

$(i[p,q])^\dagger = i[p,q]$

Man kann also die Heisenbergsche Kommutatorbeziehung auch schreiben als

ich [P, Q] = ℏ ICH

$i[p,q]=\hbar\mathbb{I}$ mit hermiteschen Operatoren auf beiden Seiten. Der Operator auf der rechten Seite entspricht der ganz trivialen physikalischen Observable, die immer den gleichen Messwert liefert

ℏ

$\hbar$ .

Aber das wirft die Frage auf, warum der Kommutator hermetisch sein muss?
@Dave Ich denke, es ist nicht so, dass Sie den Kommutator "brauchen", um hermitesch zu sein (es ist sowieso anti-hermitesch). Eher weil $i[p,q]$ ist hermitesch, $[p,q]$ Ist $i$ mal ein hermitescher Operator.

JG · Answer 2

Liegt der Grund in der Physik oder in der Mathematik?

Argumentieren kann man so oder so. Um es als mathematisch zu betrachten, siehe die Antwort von @ThomasFritsch. Aber hier ist eine physikalische Einsicht, auch wenn es der Mathematik bedarf, um sie zu erklären. Ich werde einarbeiten $1$ Dimension der Einfachheit halber. Das echte klassische Observable $p$ entspricht einem Hermitian $\hat{p}$ , und führt zu $e^{ipq/\hbar}$ Faktoren des Eigenwerts $p$ . Warum aber dieser Faktor? Weil wir Impuls an beliebige Raumtranslationen binden müssen ( $[p,\,q]=-i\hbar\mathbb{I}$ hängt mit der Poisson-Klammer zusammen $\{p,\,q\}=-1$ ), muss die Quantenmechanik z. B. in der Lage sein, unitäre Transformationen zu wurzeln (wenn ich etwas einen Meter bewegen kann, kann ich es einen halben Meter bewegen, dann noch einen halben Meter). Dies ist wohl der Hauptgrund, warum QM komplexe Zahlen beinhaltet. Zum Glück, wenn $\hat{O}$ ist ein dimensionsloser hermitescher Operator, $\exp(i\hat{O})$ ist einheitlich.

Kann das Argument hier nicht ganz verstehen, aber ich interessiere mich für die Idee. Bitte erwägen Sie, dies näher auszuführen, um es klarer zu machen.

LTPCGO · Answer 3

Das ist seltsamerweise etwas, worüber ich gestern einen Vortrag gehalten habe. Das i entsteht aus den Fourier-Transformationen, und wir müssen nichts über Ort, Impuls oder die Wellenfunktion wissen, damit es ganz natürlich aus der Mathematik entsteht, wo es aus einem Ortsdifferential stammt. Ich füge die beiden Seiten meiner Vorlesungsnotizen unten bei:

Am besten wäre es, wenn Sie das Bild ersetzen und die LaTeX-Quelle ausschneiden und einfügen könnten, damit Ihre Antwort dann durchsuchbar wird.

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Jo Wehler

Kosmas Zachos

ACuriousMind

Sidharth Ghoschal

JG

Jo Wehler

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Thomas Fritsch

David

KugelschreiberBen

JG

Steven Sagona

LTPCGO

ZeroTheHero

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